Lie群

1. $\mathbb{R}^n$ は加法について $n$ 次元の Lie 群である（積 $(x,y)\mapsto x+y$ と逆元 $x\mapsto-x$ は線形写像）。
2. 円周 $S^1=\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z\rvert=1\}$ は複素数の積について 1 次元の Lie 群であり、$U(1)$ とも書く。$S^1\subset\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ は $x^2+y^2=1$ で定まる部分多様体で、積と逆元（$z^{-1}=\bar z$）は $\mathbb{R}^2$ 上の多項式写像の制限なので滑らかである（lem-lg-into-submanifold）。$S^1$ は $2\times2$ の回転行列の群 $SO(2)=\{R_\theta\}$ と、$x+iy\mapsto\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}$ によって Lie 群として同型である。
3. $n$ 次元トーラス $T^n=S^1\times\cdots\times S^1$ は、積多様体として $n$ 次元の可換な Lie 群である。トーラス の定理「トーラスの基本的な性質」のとおり、$T^n\cong\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ である。

$GL_n(\mathbb{R})$ は $n^2$ 次元、$SL_n(\mathbb{R})=\{\det=1\}$ は $n^2-1$ 次元、直交群 $O(n)=\{A^{\mathsf T}A=I\}$ と特殊直交群 $SO(n)=O(n)\cap SL_n(\mathbb{R})$ は $\frac{n(n-1)}2$ 次元の行列 Lie 群である（thm-lg-matrix-groups）。Lie 環はそれぞれ
$$ \mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})=M_n(\mathbb{R}),\qquad\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})=\{X\mid\operatorname{tr}X=0\},\qquad\mathfrak{so}(n)=\{X\mid X^{\mathsf T}=-X\} $$
である。$SO(3)$ は 3 次元空間の回転の群で 3 次元、$\mathfrak{so}(3)$ は交代行列の全体で、各座標軸のまわりの無限小回転の 3 つの行列を基底にもつ。

複素行列の群も、$M_n(\mathbb{C})=\mathbb{R}^{2n^2}$ とみれば同じように扱える。$SU(2)=\{A\in M_2(\mathbb{C})\mid A^*A=I,\ \det A=1\}$ の元はちょうど $\begin{pmatrix}\alpha&-\bar\beta\\\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}$（$\lvert\alpha\rvert^2+\lvert\beta\rvert^2=1$）の形の行列であり（SO(3)とSU(2) の命題「二つの複素数による表示」）、$(\alpha,\beta)$ を $\mathbb{C}^2=\mathbb{R}^4$ の点とみると $SU(2)$ は 3 次元球面 $S^3$ と同じものである。したがって $SU(2)$ は 3 次元のコンパクトな Lie 群である。$SU(2)$ から $SO(3)$ への 2 対 1 の全射準同型があり（SO(3)とSU(2) の定理「二重被覆 $\mathrm{SU}(2)\to\mathrm{SO}(3)$」）、これは後の ex-lg-same-algebra で使う。

$$ H:=\left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b,c\in\mathbb{R}\right\} $$
は $GL_3(\mathbb{R})$ の部分群で、3 つの成分が $0$、対角成分が $1$ という 1 次式の条件で定まる $M_3(\mathbb{R})$ のアフィン部分空間なので、3 次元の行列 Lie 群である。$(a,b,c)$ で書くと積は $(a,b,c)(a',b',c')=(a+a',\,b+b',\,c+c'+ab')$ であり、可換でない。Lie 環 $\mathfrak{h}$ は対角と下の成分が $0$ の行列 $N=\begin{pmatrix}0&x&z\\0&0&y\\0&0&0\end{pmatrix}$ の全体で、$N^3=0$ なので
$$ e^{N}=I+N+\frac12N^2=\begin{pmatrix}1&x&z+\frac{xy}2\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix} $$
である。したがって $\exp\colon\mathfrak{h}\to H$ は全単射である（$(x,y,z)$ は $(a,b,c)$ から $x=a$、$y=b$、$z=c-\frac{ab}2$ と一意に決まる）。$X=E_{12}$、$Y=E_{23}$（$E_{ij}$ は $(i,j)$ 成分だけが $1$ の行列）とおくと $[X,Y]=E_{13}$ であり、括弧積は $0$ でない。

有理数の加法群 $\mathbb{Q}$（$\mathbb{R}$ からの相対位相）と、位相群 の例「整数の $p$ 進位相」の $\mathbb{Z}$ は位相群である（前者は 位相群 の命題「部分群の位相」の 1 による）。しかしどちらも、どの次元の多様体とも局所的に同相でないので、どんな滑らかな構造を入れても Lie 群にならない。
どちらも可算集合で、1 点集合は開集合でない（$\mathbb{Q}$ では $0$ のどの近傍も $0$ 以外の有理数を含み、$p$ 進位相では $p^k\mathbb{Z}$ が無限集合）。0 次元の多様体は離散空間なので、どちらも 0 次元の多様体でない。$d\ge1$ なら $\mathbb{R}^d$ の空でない開集合は非可算なので、可算集合の開集合はそれと同相にならない。満たす性質は「群演算が連続（位相群）」、満たさない性質は「局所 Euclid（多様体）」であり、Lie 群の定義の多様体の条件を破る。

$SL_2(\mathbb{R})$ は連結であるが、$A=\operatorname{diag}\bigl(-2,-\frac12\bigr)\in SL_2(\mathbb{R})$ は $e^X$（$X\in\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$）の形に書けない。すべての $X\in\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ について $\operatorname{tr}e^X\ge-2$ であり、$\operatorname{tr}A=-\frac52<-2$ だからである。
$\operatorname{tr}e^X\ge-2$ の証明：$\operatorname{tr}X=0$ なので固有多項式は $\lambda^2+\det X$ であり、2 次の Cayley–Hamilton の定理から $X^2=-(\det X)I$ である。

• $\det X<0$ のとき、$\mu:=\sqrt{-\det X}>0$ とおくと $X$ は相異なる実固有値 $\pm\mu$ をもち、実行列 $P$ で $X=P\operatorname{diag}(\mu,-\mu)P^{-1}$ と対角化される。常微分方程式 の命題「行列の指数関数の性質」の (iv) から $e^X=P\operatorname{diag}(e^\mu,e^{-\mu})P^{-1}$ であり、$\operatorname{tr}e^X=e^\mu+e^{-\mu}>2$ である。
• $\det X>0$ のとき、$\nu:=\sqrt{\det X}$ とおくと $X^2=-\nu^2I$ なので、偶数番目と奇数番目の項をまとめて $e^X=\cos\nu\cdot I+\frac{\sin\nu}\nu X$ となり、$\operatorname{tr}e^X=2\cos\nu\ge-2$ である。
• $\det X=0$ のとき、$X^2=0$ なので $e^X=I+X$ であり、$\operatorname{tr}e^X=2$ である。
  一方 $e^{\pi J}=-I$（$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$）と $e^{D}=\operatorname{diag}(2,\frac12)$（$D=\operatorname{diag}(\log2,-\log2)$）の積は $A$ に等しいので、$A$ は 2 つの指数の積である（cor-lg-exp-generates と整合する）。満たす性質は「連結な Lie 群」、満たさない性質は「$\exp$ の全射性」であり、破る含意は「連結な Lie 群では指数写像は全射である」である（Heisenberg 群 ex-lg-heisenberg や $U(1)$ では全射である）。
  $SL_2(\mathbb{R})$ が連結であることの証明を開く

  $A\in SL_2(\mathbb{R})$ の 2 本の列に Gram–Schmidt の直交化を行うと、$A=QR$（$Q\in O(2)$、$R$ は対角成分が正の上三角行列）と書ける。$\det R>0$、$\det A=1$ なので $\det Q>0$ であり、$Q=R_\theta\in SO(2)$ である。$R=\begin{pmatrix}r&s\\0&r^{-1}\end{pmatrix}$（$r>0$、$\det R=\det A/\det Q=1$）なので、$0\le\tau\le1$ について $\gamma(\tau):=R_{\tau\theta}\begin{pmatrix}r^\tau&\tau s\\0&r^{-\tau}\end{pmatrix}$ は $SL_2(\mathbb{R})$ の中の連続な道で、$\gamma(0)=I$、$\gamma(1)=A$ である。よって $SL_2(\mathbb{R})$ は弧状連結、とくに連結である。

$\alpha$ を無理数とし、トーラス の記号 $e(s)=(\cos2\pi s,\sin2\pi s)$ を使って $\varphi\colon\mathbb{R}\to T^2$、$\varphi(t):=\bigl(e(t),e(\alpha t)\bigr)$ とおく。$\varphi$ は Lie 群の準同型で単射である（$\varphi(t)=\varphi(0)$ なら $t$ と $\alpha t$ がともに整数で、$\alpha$ が無理数なので $t=0$）。トーラス の命題「平坦トーラスの上の直線」から像は $T^2$ で稠密である（図 2）。一方、像の点で第 1 成分が $e(0)$ のものは $t\in\mathbb{Z}$ に対応する可算個の点 $\bigl(e(0),e(k\alpha)\bigr)$ だけなので、像は $T^2$ 全体でない。稠密で全体でない部分集合は閉集合でないので、像は閉部分群でない。
したがって「単射な Lie 群の準同型の像は閉部分群で、閉部分群定理により部分多様体である」とは言えない。満たす性質は「Lie 群の単射な準同型の像」、満たさない性質は「閉」であり、thm-lg-closed-subgroup の仮定を満たさない。傾き $\alpha$ が有理数なら像は閉じた曲線（$T^2$ の中の円周）になる。

$\mathbb{R}$ と $S^1$ はどちらも 1 次元の可換な Lie 群で、Lie 環はどちらも 1 次元で括弧積が $0$ なので、Lie 環として同型である。しかし $S^1$ はコンパクトで $\mathbb{R}$ はコンパクトでないので、同相ですらない。準同型 $\mathbb{R}\to S^1$、$t\mapsto e^{it}$ は単位元の近くでは微分同相だが、全体では単射でない。
同じことが非可換な場合にも起こる。$SU(2)$ から $SO(3)$ への 2 対 1 の全射準同型 $\mathrm{Ad}$ の単位元での微分は、Lie 環の同型 $\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$ を与える（SO(3)とSU(2) の注意「Lie 群の言葉での位置づけ」）。しかし $SU(2)\cong S^3$ は単連結で、$SO(3)$ の基本群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である（SO(3)とSU(2) の定理「回転群の基本群」）ので、$SU(2)$ と $SO(3)$ は同相でない。満たす性質は「Lie 環が同型」、満たさない性質は「Lie 群として同型」であり、破る含意は「Lie 環が群を決める」である。Lie 環が決めるのは、単位元の近くの群の構造である。