冨田–竹崎理論
概要
冨田–竹崎理論（Tomita–Takesaki theory）とは、von Neumann 環 $M$ と、$M$ に対して巡回的かつ分離的なベクトル $\xi$ から、$x\xi\mapsto x^*\xi$ の閉包 $S$ の極分解 $S=J\Delta^{1/2}$ によってモジュラー共役 $J$ とモジュラー作用素 $\Delta$ を作り、$JMJ=M'$ と $\Delta^{it}M\Delta^{-it}=M$ を示す理論である。後者からモジュラー自己同型群 $\sigma_t$ が得られ、$\xi$ の定める状態は $\sigma_t$ について KMS 条件を満たす。状態が跡なら $\Delta=1$ で $\sigma_t$ は自明であり、行列環では $\Delta a=\rho a\rho^{-1}$ と書ける。
前提知識: von Neumann環, Hilbert空間, 極分解, Stoneの定理(一径数ユニタリ群)
冨田–竹崎理論（Tomita–Takesaki theory）とは、von Neumann環 $M$ と、$M$ に対して巡回的かつ分離的なベクトル $\xi$ の組から、反ユニタリな対合 $J$ と正の自己共役作用素 $\Delta$ を作り、それによって $M$ とその可換子 $M'$ を結びつける理論である。出発点は、$x\xi\mapsto x^*\xi$ という $*$ 演算をベクトルの上の写像とみなすことである。この写像は一般に有界でないが閉包 $S$ をもち、その極分解 $S=J\Delta^{1/2}$ から モジュラー共役 $J$ と モジュラー作用素 $\Delta$ が得られる。
理論の中心は、$JMJ=M'$ と、すべての実数 $t$ について $\Delta^{it}M\Delta^{-it}=M$ が成り立つという定理である。後者から、$M$ の上の 1 径数の自己同型群 $\sigma_t(x)=\Delta^{it}x\Delta^{-it}$（モジュラー自己同型群）が得られる。$\sigma_t$ は状態 $\varphi(x)=\langle x\xi,\xi\rangle$ の「非可換性」を測る。$\varphi$ が跡（$\varphi(xy)=\varphi(yx)$）なら $\sigma_t$ は自明であり、一般には $\varphi(xy)$ と $\varphi(yx)$ を $\sigma_t$ の解析接続で結ぶ KMS 条件が成り立つ。この理論は冨田稔（Minoru Tomita）の 1967 年の未刊行の論文に始まり、竹崎正道（Masamichi Takesaki）による 1970 年の整理を経て、作用素環論の基本的な道具になった（Sum05 p. 1）。
この記事では、巡回性と分離性の関係、$S$ が閉包をもち対合であること、$\varphi$ が $\sigma_t$ で不変であること、跡の場合の計算を証明し、行列環の場合にすべてを具体的に確かめる。主定理と KMS 条件の一般の場合は引用する。
設定
以下 $H$ は複素 Hilbert空間 で、内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は第 1 成分について線形とする。$B(H)$ の部分集合 $X$ について $X'$ はその可換子、$M\subset B(H)$ は von Neumann 環（$M=M''$）とする。
$\xi\in H$ は、$M\xi=\{x\xi\mid x\in M\}$ が $H$ で稠密なとき $M$ に対して 巡回的（cyclic）、$x\in M$ と $x\xi=0$ から $x=0$ が従うとき $M$ に対して 分離的（separating）であるという。
$\xi$ が $M$ に対して巡回的であることと、$M'$ に対して分離的であることは同値である。$M''=M$ なので、$\xi$ が $M'$ に対して巡回的であることと、$M$ に対して分離的であることも同値である。
要点：閉部分空間 $\overline{M\xi}$ への射影は $M'$ に属する。
証明を開く
$\xi$ が $M$ に対して巡回的とし、$x'\in M'$ で $x'\xi=0$ とする。$y\in M$ について $x'y\xi=yx'\xi=0$ なので、$x'$ は稠密な $M\xi$ の上で $0$ であり、有界なので $x'=0$ である。
逆に $\xi$ が $M'$ に対して分離的とし、$Q$ を閉部分空間 $\overline{M\xi}$ への直交射影とする。$M\xi$ は $M$ の作用で閉じているので $\overline{M\xi}$ も閉じており、$M$ は随伴で閉じているので直交補空間も $M$ で閉じている。よって $yQ=QyQ$、$y^*Q=Qy^*Q$ から $Qy=yQ$（$y\in M$）となり、$Q\in M'$ である。$1\in M$ より $\xi\in\overline{M\xi}$ なので $(1-Q)\xi=0$ で、$1-Q\in M'$ だから分離性により $1-Q=0$ である。よって $M\xi$ は稠密である。後半は前半を von Neumann 環 $M'$（$(M')'=M''=M$）に当てたものである。$\square$
以下、$\xi$ は $M$ に対して巡回的かつ分離的とする。補題により $\xi$ は $M'$ に対しても巡回的かつ分離的である。たとえば忠実な正規状態の GNS構成 の巡回ベクトルはこの条件を満たす。
反線形作用素 $S_0$ を、定義域 $M\xi$ の上で $S_0(x\xi)=x^*\xi$ と定める。同様に $F_0(x'\xi)=x'^*\xi$（$x'\in M'$）を定義域 $M'\xi$ の上で定める。
$\xi$ が分離的なので $x\xi$ から $x$ が定まり、$S_0$ はよく定まる。$F_0$ についても同じである。反線形作用素 $T$ の随伴 $T^*$ は、すべての $a\in D(T)$ について $\langle Ta,b\rangle=\langle c,a\rangle$ となる $c$ が存在する $b$ の全体を定義域とし、$T^*b=c$ とおいて定める（$\langle Ta,b\rangle$ も $\langle c,a\rangle$ も $a$ について反線形である）。
- $F_0\subset S_0^*$ である。とくに $S_0^*$ は稠密に定義されている。
- $S_0$ は可閉である。その閉包を $S$ と書くと、$S$ は単射で、値域は定義域 $D(S)$ に等しく、$S^{-1}=S$ である。
要点：$M$ と $M'$ が可換であることを内積の計算に使う。
証明を開く
1. $x\in M$、$x'\in M'$ について$$\langle S_0x\xi,x'\xi\rangle=\langle x^*\xi,x'\xi\rangle=\langle\xi,xx'\xi\rangle=\langle\xi,x'x\xi\rangle=\langle x'^*\xi,x\xi\rangle=\langle F_0x'\xi,x\xi\rangle$$である。よって $x'\xi\in D(S_0^*)$ で $S_0^*x'\xi=F_0x'\xi$ である。$M'\xi$ は稠密である（lem-tt-cyclic-separating）。
2. $a_n\in M\xi$ で $a_n\to0$、$S_0a_n\to c$ とする。$b\in D(S_0^*)$ について $\langle c,b\rangle=\lim\langle S_0a_n,b\rangle=\lim\langle S_0^*b,a_n\rangle=0$ なので、$c$ は稠密な $D(S_0^*)$ と直交し $c=0$ である。よってグラフの閉包はある作用素 $S$ のグラフであり、$S_0$ は可閉である。$S_0^2=\mathrm{id}$ なので、$S_0$ のグラフ $\Gamma=\{(a,S_0a)\}$ は入れ替え $\tau(a,b)=(b,a)$ で $\Gamma$ 自身に写る（$(S_0a,a)=(S_0a,S_0(S_0a))$）。$\tau$ は $H\oplus H$ の等長写像なので、閉包 $\overline\Gamma$（$S$ のグラフ）も $\tau$ で閉じている。$(a,b)\in\overline\Gamma$ なら $(b,a)\in\overline\Gamma$ なので、$Sa=0$ なら $(0,a)\in\overline\Gamma$ から $a=S0=0$ となり $S$ は単射である。同じ理由で値域は $D(S)$ に含まれ、$S(Sa)=a$ なので値域は $D(S)$ に等しく、$S^{-1}=S$ である。$\square$
$\Delta=S^*S$ を モジュラー作用素（modular operator）という。$\Delta$ は正の自己共役作用素で、$S$ は極分解
$$
S=J\Delta^{1/2}
$$
をただ一通りにもつ。ここで $J$ は反ユニタリ作用素であり、モジュラー共役（modular conjugation）という（Sum05 p. 1）。
$S$ は単射で値域が稠密なので、極分解の部分等長な因子は反ユニタリになり、$\Delta$ は単射である。さらに $J^2=1$、$J=J^*$ が成り立ち、$F_0$ の閉包を $F$ とすると $\Delta=FS$、$\Delta^{-1}=SF$、$F=J\Delta^{-1/2}$ である（Sum05 pp. 1–2）。$\Delta$ は正の自己共役作用素なので、関数計算により $\Delta^{it}$（$t\in\mathbb R$）は強連続な 1 径数ユニタリ群になる（Stoneの定理(一径数ユニタリ群)）。
主定理
$M$ を von Neumann 環、$\xi$ を $M$ に対して巡回的かつ分離的なベクトルとし、$J,\Delta$ を上のとおりとする。このとき
$$
JMJ=M',\qquad \Delta^{it}M\Delta^{-it}=M\quad(t\in\mathbb R)
$$
が成り立つ。
主定理の 1 つ目は、$x\mapsto JxJ$ が $M$ から $M'$ への反線形な $*$-同型であることを意味し、$M$ と $M'$ が「鏡像」の関係にあることを述べる。2 つ目により
$$
\sigma_t(x)=\Delta^{it}x\Delta^{-it}\qquad(x\in M,\ t\in\mathbb R)
$$
は $M$ の $*$-自己同型の 1 径数群になる。これを $(M,\xi)$ の モジュラー自己同型群 という（Sum05 p. 2）。$\xi$ が定める状態を $\varphi(x)=\langle x\xi,\xi\rangle$ とおく。
$S\xi=\xi$、$\Delta\xi=\xi$、$\Delta^{it}\xi=\xi$ であり、すべての $x\in M$、$t\in\mathbb R$ について $\varphi(\sigma_t(x))=\varphi(x)$ が成り立つ。
要点：$\xi$ は $1\in M$ と $1\in M'$ の両方から来るベクトルである。
証明を開く
$x=1$ とすると $S\xi=S_0\xi=1^*\xi=\xi$ である。$1\in M'$ なので $\xi\in M'\xi$ で、prop-tt-closable の 1 から $S^*\xi=F_0\xi=\xi$ である。よって $\Delta\xi=S^*S\xi=\xi$ である。$\xi$ は自己共役作用素 $\Delta$ の固有値 $1$ の固有ベクトルなので、関数計算により $f(\Delta)\xi=f(1)\xi$ で、とくに $\Delta^{\pm it}\xi=\xi$ である。したがって$$\varphi(\sigma_t(x))=\langle\Delta^{it}x\Delta^{-it}\xi,\xi\rangle=\langle x\Delta^{-it}\xi,\Delta^{-it}\xi\rangle=\langle x\xi,\xi\rangle=\varphi(x)$$である（$\Delta^{it}$ はユニタリで $(\Delta^{it})^*=\Delta^{-it}$）。$\square$
KMS 条件
モジュラー自己同型群は、状態 $\varphi$ の「積の順序の入れ替え」を解析接続で記述する。
$x,y\in M$ について、帯 $\{z\in\mathbb C\mid0\le\operatorname{Im}z\le1\}$ の上で有界かつ連続で、内部で正則な関数 $F_{x,y}$ で
$$
F_{x,y}(t)=\varphi(\sigma_t(x)y),\qquad F_{x,y}(t+i)=\varphi(y\,\sigma_t(x))\qquad(t\in\mathbb R)
$$
となるものが存在する。逆に、$M$ の $*$-自己同型の強連続な 1 径数群で、$\varphi$ についてこの条件を満たすものは $\sigma_t$ だけである。
存在は Sum05 Theorem 2.1（p. 3）、一意性は同 Theorem 2.2（p. 3）による。この条件は量子統計力学で熱平衡状態を特徴づける Kubo–Martin–Schwinger 条件（逆温度 $1$）の形をしている（同 p. 2）。RvD77 Theorem 4.10（pp. 206–207）は、帯 $-1\le\operatorname{Im}z\le0$ の上で $f(t)=\varphi(y\sigma_t(x))$、$f(t-i)=\varphi(\sigma_t(x)y)$ という同じ内容の形で、忠実な正規状態について存在と一意性を示している。この記事では一般の場合を証明しない。
$y=1$ とすると $F_{x,1}(t)=F_{x,1}(t+i)$ となり、これを使うと $\varphi$ の $\sigma_t$ による不変性も導かれる（RvD77 p. 207）。次の節で、行列環の場合にこの関数を具体的に書き下す。
跡の場合
$\varphi$ が跡、すなわちすべての $x,y\in M$ で $\varphi(xy)=\varphi(yx)$ であるとする。このとき $S$ は $H$ 全体で定義された反ユニタリ作用素で、$\Delta=1$、$J=S$ であり、$\sigma_t$ は恒等写像である。さらに、すべての $x\in M$ について $JxJ\in M'$ である。
要点：跡の性質は $S_0$ が等長であることと同じである。
証明を開く
$\|S_0x\xi\|^2=\langle x^*\xi,x^*\xi\rangle=\varphi(xx^*)=\varphi(x^*x)=\|x\xi\|^2$ なので、$S_0$ は稠密な $M\xi$ の上の反線形な等長写像である。よって $H$ 全体の上の反線形な等長写像に一意に延び、これが閉包 $S$ である。prop-tt-closable の 2 から $S^{-1}=S$ で $S$ は全射なので、$S$ は反ユニタリである。反ユニタリ作用素 $U$ は $\langle Ua,Ub\rangle=\langle b,a\rangle$ を満たすので $U^*=U^{-1}$ であり、$\Delta=S^*S=1$ である。極分解の一意性から $J=S$ で、$\Delta^{it}=1$ なので $\sigma_t=\mathrm{id}$ である。
$x,y,z\in M$ について $JxJ(y\xi)=Jx(y^*\xi)=(xy^*)^*\xi=yx^*\xi$ である。よって$$(JxJ)z(y\xi)=(zy)x^*\xi=z\bigl((JxJ)(y\xi)\bigr)$$であり、有界作用素 $(JxJ)z$ と $z(JxJ)$ は稠密な $M\xi$ の上で一致するので等しい。よって $JxJ\in M'$ である。$\square$
逆に、$\sigma_t$ がすべての $t$ で恒等写像なら $\varphi$ は跡である。より詳しく、$B\in M$ がすべての $t$ で $\sigma_t(B)=B$ を満たすことは、すべての $A\in M$ で $\varphi(AB)=\varphi(BA)$ となることと同値である（Sum05 p. 2）。この意味で、$\sigma_t$ は状態が跡からどれだけずれているかを測る。
$(X,\mu)$ を確率空間とし、$M=L^\infty(\mu)$ を $L^2(\mu)$ の上の掛け算作用素として考え、$\xi=\mathbf 1$ とする。$M\mathbf 1=L^\infty$ は $L^2$ で稠密で、$g\in L^\infty$ について $g\mathbf 1=0$ なら $g=0$ なので、$\mathbf 1$ は巡回的かつ分離的である。$M$ は可換なので状態 $\varphi$ は跡であり、prop-tt-trace により $\Delta=1$、$J=S$ は $S(g\mathbf 1)=\overline g\mathbf 1$ の延長、すなわち複素共役 $Jf=\overline f$ である。$JM_gJ=M_{\overline g}$ なので $JMJ=M$ であり、$M'=M$（von Neumann環 の命題「基本的な例」の 2）と合わせて主定理の $JMJ=M'$ がこの場合に確かめられる。
行列環の場合
主定理のすべての主張が、有限次元では具体的な計算で確かめられる。
$H=M_n(\mathbb C)$ に Hilbert–Schmidt 内積 $\langle a,b\rangle=\operatorname{Tr}(b^*a)$ を入れ、$M=\{L_x\mid x\in M_n(\mathbb C)\}$（$L_xa=xa$）とする。可逆な密度行列 $\rho$（正定値で $\operatorname{Tr}\rho=1$）をとり、$\xi=\rho^{1/2}$ とおく。$\rho$ を対角化する正規直交基底をとり、固有値を $p_1,\dots,p_n>0$、対応する行列単位を $E_{kl}$ とする。このとき次が成り立つ。
- $\xi$ は $M$ に対して巡回的かつ分離的で、$\varphi(L_x)=\operatorname{Tr}(\rho x)$ である。
- $M'=\{R_y\mid y\in M_n(\mathbb C)\}$（$R_ya=ay$）である。
- $\Delta a=\rho a\rho^{-1}$、$Ja=a^*$ である。とくに $\Delta E_{kl}=(p_k/p_l)E_{kl}$ である。
- $JL_xJ=R_{x^*}$ で、$JMJ=M'$ である。
- $\Delta^{it}L_x\Delta^{-it}=L_{\rho^{it}x\rho^{-it}}$ で、$\sigma_t(x)=\rho^{it}x\rho^{-it}$ である（$L_x$ と $x$ を同一視する）。
- $F_{x,y}(z)=\operatorname{Tr}(\rho\,\rho^{iz}x\rho^{-iz}\,y)$ は整関数で、thm-tt-kms の条件を満たす。
要点：$\Delta=L_\rho R_{\rho^{-1}}$ は行列単位の基底で対角になる。
証明を開く
1. $\rho^{1/2}$ は可逆なので $M\xi=\{x\rho^{1/2}\}=M_n(\mathbb C)$ であり、$x\rho^{1/2}=0$ なら $x=0$ である。$\varphi(L_x)=\operatorname{Tr}(\rho^{1/2}x\rho^{1/2})=\operatorname{Tr}(\rho x)$ である。
2. $\langle L_xa,b\rangle=\operatorname{Tr}(b^*xa)=\langle a,L_{x^*}b\rangle$ なので $L_x^*=L_{x^*}$ である。$R_y$ は $L_x$ と可換である。逆に $T$ がすべての $L_x$ と可換なら、$T(a)=T(L_a1)=L_aT(1)=aT(1)$ なので $T=R_{T(1)}$ である。
3. $\Delta_1:=L_\rho R_{\rho^{-1}}$、$J_1a:=a^*$ とおく。$E_{kl}$ は正規直交基底で $\Delta_1E_{kl}=p_kp_l^{-1}E_{kl}$ なので、$\Delta_1$ は正の自己共役作用素で、$\Delta_1^{1/2}=L_{\rho^{1/2}}R_{\rho^{-1/2}}$ である。$\langle J_1a,J_1b\rangle=\operatorname{Tr}(ba^*)=\langle b,a\rangle$ で $J_1^2=1$ なので、$J_1$ は反ユニタリである。$J_1\Delta_1^{1/2}(x\rho^{1/2})=J_1(\rho^{1/2}x)=x^*\rho^{1/2}=S(x\rho^{1/2})$ なので $S=J_1\Delta_1^{1/2}$ であり、$S^*S=\Delta_1^{1/2}J_1^*J_1\Delta_1^{1/2}=\Delta_1$ である。よって $\Delta=\Delta_1$ で、$J=S\Delta^{-1/2}=J_1$ である。
4. $JL_xJa=(xa^*)^*=ax^*=R_{x^*}a$ である。$x$ が $M_n(\mathbb C)$ 全体を動けば $x^*$ も全体を動くので、2 と合わせて $JMJ=M'$ である。
5. 関数計算により $\Delta^{it}E_{kl}=(p_k/p_l)^{it}E_{kl}=\rho^{it}E_{kl}\rho^{-it}$ なので $\Delta^{it}a=\rho^{it}a\rho^{-it}$ である。よって $\Delta^{it}L_x\Delta^{-it}a=\rho^{it}x\rho^{-it}a\rho^{it}\rho^{-it}=\rho^{it}x\rho^{-it}a$ である。
6. $\rho^{iz}=\sum_kp_k^{iz}P_k$（$P_k$ は固有射影）とすると、$F_{x,y}$ は $p_k^{iz}p_l^{-iz}=e^{iz\log(p_k/p_l)}$ の 1 次結合なので整関数で、$0\le\operatorname{Im}z\le1$ では各指数関数の絶対値が $\max(1,p_l/p_k)$ 以下なので有界である。$F_{x,y}(t)=\varphi(\sigma_t(x)y)$ は定義そのものである。$z=t+i$ では $\rho^{i(t+i)}=\rho^{it}\rho^{-1}$、$\rho^{-i(t+i)}=\rho^{-it}\rho$ なので、跡の巡回性から$$F_{x,y}(t+i)=\operatorname{Tr}(\rho\rho^{-1}\rho^{it}x\rho^{-it}\rho y)=\operatorname{Tr}(\sigma_t(x)\rho y)=\operatorname{Tr}(\rho y\sigma_t(x))=\varphi(y\sigma_t(x))$$である。$\square$
3 から、$\Delta=1$ となるのは $p_1=\cdots=p_n$、すなわち $\rho=\frac1n1$ のときに限る。これは $\varphi$ が正規化された跡 $\frac1n\operatorname{Tr}$ であることと同値であり、prop-tt-trace と合っている。
具体的に $n=2$、$\rho=\operatorname{diag}(p,1-p)$（$0< p< 1$）とすると、$\Delta$ は基底 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ で対角になり、固有値はそれぞれ $1$、$\lambda$、$\lambda^{-1}$、$1$（$\lambda=p/(1-p)$）である。$\Delta$ のスペクトル $\{1,\lambda,\lambda^{-1}\}$ は $\lambda\mapsto\lambda^{-1}$ で閉じており、これは $J\Delta J=\Delta^{-1}$ の反映である。実際 $J$ は $E_{12}$ と $E_{21}$ を入れ替える。モジュラー自己同型群は対角行列を動かさず、非対角の行列単位を位相 $\lambda^{\pm it}$ で回す。対角成分だけを見れば $\varphi$ は跡のようにふるまい、跡からのずれはちょうど非対角の部分に現れる。
名前の由来と直観
「モジュラー」の名は、局所コンパクト群の積分論のモジュラー関数との類似による（Sum05 p. 3）。局所コンパクト群の左 Haar 測度は一般に右移動で不変でなく、そのずれをモジュラー関数が測る。同じように、状態 $\varphi$ は一般に $\varphi(xy)=\varphi(yx)$ を満たさず、そのずれを $\Delta$ が測る。thm-tt-kms は、$\varphi(xy)$ と $\varphi(yx)$ が $\sigma_t$ の解析接続で結ばれるという形で、このずれを正確に述べたものである。
定義域についても注意しておく。$S_0$ は有界とは限らず、有界になるのは跡の場合のように $\|x^*\xi\|$ が $\|x\xi\|$ で抑えられるときである。一般には $\Delta$ も有界でなく、$\Delta^{1/2}$ の定義域は $S$ の定義域と一致する（極分解の性質）。一方、$\Delta^{it}$ と $J$ は常に有界であり、主定理はこれらの有界作用素だけで述べられている。RvD77 の方法は、非有界作用素の定義域の議論を避けて、これらの有界作用素を直接作るものである（同 pp. 187–188）。
反例
主定理の仮定と、跡の場合の結論が成り立たない例である。
| 外す条件 | 例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\xi$ が分離的である | $M=M_2(\mathbb C)$ を $\mathbb C^2$ に、$\xi=e_1$ | $S_0$ が定まらない。$JMJ=M'$ となる反ユニタリ $J$ がない |
| $\xi$ が巡回的である | $M=\mathbb C1$ を $\mathbb C^2$ に、$\xi=e_1$ | $S_0$ の定義域が稠密でない。$JMJ=M'$ となる反ユニタリ $J$ がない |
| $\varphi$ が跡である | ex-tt-matrix で $n=2$、$\rho=\operatorname{diag}(p,1-p)$、$p\ne\frac12$ | $\Delta\ne1$ で、$\sigma_t$ が恒等写像でない |
1 行目：$M_2(\mathbb C)e_1=\mathbb C^2$ なので $e_1$ は巡回的である。行列単位 $x=E_{12}$ は $xe_1=0$ だが $x^*e_1=E_{21}e_1=e_2\ne0$ なので、$S_0(0)$ が $0$ と $e_2$ の両方になり $S_0$ が定まらない。$M'=\mathbb C1$ であり（von Neumann環 の命題「基本的な例」の 1）、反ユニタリ $J$ について $JMJ$ は 4 次元なので $M'$ と一致しない。
2 行目：$\lambda e_1=0$ なら $\lambda=0$ なので $e_1$ は分離的だが、$M\xi=\mathbb Ce_1$ は稠密でない。$M'=M_2(\mathbb C)$ は 4 次元、$JMJ=\mathbb CJ^2$ は 1 次元なので一致しない。
3 行目：ex-tt-matrix の 3 から $\Delta E_{12}=\frac{p}{1-p}E_{12}\ne E_{12}$、5 から $\sigma_t(E_{12})=\bigl(\frac{p}{1-p}\bigr)^{it}E_{12}$ で、$t\ne0$ が十分小さければ $E_{12}$ と異なる。実際 $\varphi(E_{12}E_{21})=\operatorname{Tr}(\rho E_{11})=p$、$\varphi(E_{21}E_{12})=\operatorname{Tr}(\rho E_{22})=1-p$ で、$\varphi$ は跡でない。
発展：状態の取り替えと因子環の型
モジュラー自己同型群は状態に依存するが、その依存の仕方は内部自己同型で制御される。$M$ の上の 2 つの巡回的かつ分離的なベクトルが定める状態 $\varphi,\psi$ のモジュラー自己同型群を $\sigma_t^\varphi,\sigma_t^\psi$ とすると、$M$ のユニタリ元の強連続な族 $U_t$ で、$U_{t+s}=U_t\sigma_t^\varphi(U_s)$ かつ $\sigma_t^\psi(x)=U_t\sigma_t^\varphi(x)U_t^*$ となるものがある（Connes の cocycle 微分。Sum05 Theorem 2.3、p. 3）。とくに $\sigma_t$ の外部自己同型群での類は状態によらず、$M$ の不変量になる。
この不変量から III 型の因子環が分類される。忠実な正規状態 $\varphi$ にわたるモジュラー作用素のスペクトルの共通部分 $S(M)$ は $M$ の代数的な不変量であり、可分な Hilbert 空間の上の III 型の因子環 $M$ では $0\in S(M)$ であり、III 型の因子環は $S(M)=\{0\}\cup\{\lambda^n\mid n\in\mathbb Z\}$（$0<\lambda<1$）、$\{0,1\}$、$[0,\infty)$ に応じて III$_\lambda$ 型、III$_0$ 型、III$_1$ 型に分かれる（Sum05 Theorem 3.1、pp. 4–5）。この記事ではこれらを証明しない。因子環の型は von Neumann環 の注意「因子環の型」を参照。
関連項目
- 前提: von Neumann環, Hilbert空間, 極分解, Stoneの定理(一径数ユニタリ群)
- 比較: 作用素環, GNS構成
- 直後に読む: スペクトル定理
参考文献
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