ギャンブラーの破産

同義語：破産問題gambler's ruin

概要

前提知識: 期待値の漸化式と停止, 三項間漸化式の特性方程式, 確率漸化式と定常分布

高校での出発点：所持金が 0 円か 3 円になるまで賭ける

1 回ごとに、確率 $p$ で $1$ 円もらい、確率 $q=1-p$ で $1$ 円払う賭けを考える。所持金が $0$ 円になったら（破産したら）やめ、目標の金額に達してもやめる。はじめの所持金によって、目標に達する確率はどう変わるだろうか。まず小さな数で計算する。

目標 3 円、公平な賭け

$p=q=\dfrac12$、目標を $3$ 円とする。所持金 $i$ 円から始めて $3$ 円に達する確率を $P_i$ とする。$0$ 円では終わっているので $P_0=0$、$3$ 円でも終わっているので $P_3=1$ である。
所持金 $1$ 円から 1 回賭けると、確率 $\dfrac12$ で $2$ 円になり、確率 $\dfrac12$ で $0$ 円になる。$2$ 円になった後に $3$ 円に達する確率は $P_2$ なので、期待値の漸化式と停止と同じく最初の 1 回で場合を分けて
$$ P_1=\frac12P_2+\frac12P_0=\frac12P_2 $$
である。同じく所持金 $2$ 円からは
$$ P_2=\frac12P_3+\frac12P_1=\frac12+\frac12P_1 $$
である。1 つ目を 2 つ目に代入すると $P_2=\dfrac12+\dfrac14P_2$、$\dfrac34P_2=\dfrac12$ で、$P_2=\dfrac23$、$P_1=\dfrac13$ である。

目標 3 円、有利な賭け

$p=\dfrac23$、$q=\dfrac13$、目標を $3$ 円とする。ex-gr-small-fair と同じく最初の 1 回で分けると
$$ P_1=\frac23P_2+\frac13\cdot0,\qquad P_2=\frac23\cdot1+\frac13P_1 $$
である。1 つ目を 2 つ目に代入すると $P_2=\dfrac23+\dfrac29P_2$、$\dfrac79P_2=\dfrac23$ で、$P_2=\dfrac67$、$P_1=\dfrac47$ である。

公平な賭けでは $P_1,P_2$ が $\dfrac13,\dfrac23$ と所持金に比例した。有利な賭けでは比例しない。目標が $100$ 円なら未知数は $99$ 個になり、1 つずつ代入していくのは大変である。この記事で答える問いは次の 3 つである。

はじめの所持金 $i$ 円、目標 $N$ 円のとき、目標に達する確率を式で書けるか。→ thm-gr-prob
終わるまでに何回賭けることになるか。→ thm-gr-duration

相手の所持金が限りなく大きく、上の止まる所がないときはどうなるか。→ cor-gr-limit、prop-gr-symmetric

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
$P_1=\frac12P_2+\frac12P_0$	最初の 1 回で分けた式	調和関数の条件
所持金の増減	両端で止まる歩き方	吸収壁のある酔歩（ランダムウォーク）
3 つの項の関係	三項間漸化式と特性方程式	線形差分方程式
相手が限りなく金持ち	$N\to\infty$ の極限	再帰性

p = 1/2、所持金 10 円、目標 20 円で賭けを続けた 6 回の試行。所持金の動きは毎回違い、終わるまでの回数も大きくばらつく
図 1 は、$p=\dfrac12$、所持金 $10$ 円、目標 $20$ 円で、実際に硬貨を投げて賭けを続けた様子を計算機で 6 回まねたものである。この 6 回では 4 回が破産し、2 回が目標に達した。終わるまでの回数は $14$ 回から $212$ 回までばらついた。確率と回数の期待値を、以下で式にする。

設定と、最初の 1 回で分けた式

ギャンブラーの破産の設定

整数 $N\ge2$ と $0< p<1$ を決め、$q=1-p$ とする。状態を所持金 $0,1,\ldots,N$（円）とし、$1\le i\le N-1$ の状態からは確率 $p$ で $i+1$ に、確率 $q$ で $i-1$ に移る。$0$ と $N$ を目標の状態として、どちらかに着いたら止まる（期待値の漸化式と停止の定義で $Z=\{0,N\}$ とした場合）。
所持金 $i$ 円から始めたとき、

$N$ に着いて止まる確率を $P_i$、
止まるまでの回数の期待値を $D_i$
とする。$P_i$ は、$N$ で初めて止まる列の確率を、止まる回 $n=1,2,\ldots$ について足したものである。$P_0=0$、$P_N=1$、$D_0=D_N=0$ である。

この賭けは確率 $1$ で終わる。所持金 $i$ 円（$1\le i\le N-1$）から $N-i$ 回続けて勝てば $N$ 円に着き、その確率は $p^{N-i}\ge p^{N-1}$ である。$N-i\le N$ なので、どの状態から出発しても $N$ 回のうちに止まる確率は $p^{N-1}$ 以上である。期待値の漸化式と停止の主定理「止まることと期待値が有限であること」が $k=N$、$\delta=p^{N-1}$ で使えて、止まる確率は $1$、$D_i$ は有限である。

最初の 1 回で分けた式

$1\le i\le N-1$ について
$$ P_i=pP_{i+1}+qP_{i-1},\qquad D_i=1+pD_{i+1}+qD_{i-1} $$
が成り立つ。

段 1（$D_i$ の式）。期待値の漸化式と停止の定理「最初の 1 歩で分ける式」を、上で確かめた仮定のもとで使う。$i$ から移れるのは $i+1$（確率 $p$）と $i-1$（確率 $q$）だけなので、$D_i=1+pD_{i+1}+qD_{i-1}$ である。
段 2（$P_i$ の式）。$N$ で $n$ 回目に初めて止まる確率を $P_i^{(n)}$ とする（$P_i=\sum_{n\ge1}P_i^{(n)}$）。1 回目で止まるのは $i+1=N$ で勝つときだけなので、$P_i^{(1)}$ は $i=N-1$ なら $p$、それ以外なら $0$ である。$n\ge2$ のときは、1 回目の行き先 $j=i\pm1$ が $0$ でも $N$ でもなく、残りの列は「$j$ から始めて $N$ で $n-1$ 回目に初めて止まる列」である。列の確率は 1 回目の確率と残りの確率の積なので
$$ P_i^{(n)}=p\,P_{i+1}^{(n-1)}+q\,P_{i-1}^{(n-1)}\qquad(n\ge2) $$
である。ただし、$i+1=N$ や $i-1=0$ の項は $0$ とする（そこでは 1 回目で止まっている）。$n$ について足すと、$1\le i+1\le N-1$ なら $\sum_{n\ge2}P_{i+1}^{(n-1)}=P_{i+1}$ である。したがって、$i+1\le N-1$ かつ $i-1\ge1$ なら $P_i=pP_{i+1}+qP_{i-1}$ である。$i=N-1$ のときは、1 回目の $p$ と $P_N=1$ から $P_i=p\cdot1+qP_{i-1}=pP_N+qP_{i-1}$、$i=1$ のときは $q$ の項が $0=qP_0$ で、どちらも同じ形になる。$\square$

ex-gr-small-fair と ex-gr-small-unfair の式は、prop-gr-first-step で $N=3$ とおいたものである。

主定理 1：目標に達する確率

$P_i=pP_{i+1}+qP_{i-1}$ は、3 つの続いた項の関係なので、三項間漸化式として解ける（三項間漸化式の特性方程式）。以下、$r=\dfrac qp$ とおく。$r$ は「負ける確率と勝つ確率の比」で、$p=q$ のときに限り $r=1$ である。

目標に達する確率

def-gr-setting の設定で、所持金 $i$ 円（$0\le i\le N$）から始めて $N$ 円に達する確率は
$$ P_i=\begin{cases}\dfrac{1-r^i}{1-r^N}&(p\ne q)\\[2ex]\dfrac iN&\left(p=q=\dfrac12\right)\end{cases} $$
である。破産する確率は $1-P_i$ である。

方針：prop-gr-first-step の式を三項間漸化式に書きかえ、特性方程式の解から一般項の形を決め、両端の値 $P_0=0$、$P_N=1$ で定数を決める。
段 1（漸化式に書きかえる）。$P_i=pP_{i+1}+qP_{i-1}$ を $pP_{i+1}$ について解き、$p$ で割ると
$$ P_{i+1}=\frac1pP_i-\frac qpP_{i-1}\qquad(1\le i\le N-1) $$
である。$a_0=P_0$、$a_1=P_1$ から始めて、すべての $n\ge0$ で $a_{n+2}=\dfrac1pa_{n+1}-\dfrac qpa_n$ となる数列 $(a_n)$ を作る。$P_0,P_1,\ldots,P_N$ も同じ漸化式を満たすので、$n$ についての帰納法で $a_n=P_n$（$0\le n\le N$）である。$a_n$ の係数 $-\dfrac qp$ は $0$ でない。
段 2（特性方程式）。この漸化式の特性方程式は $t^2=\dfrac1pt-\dfrac qp$、両辺に $p$ を掛けて $pt^2-t+q=0$ である。左辺は
$$ pt^2-t+q=pt^2-(p+q)t+q=(t-1)(pt-q) $$
と因数分解できる（$p+q=1$ を使った）。解は $t=1$ と $t=\dfrac qp=r$ である。
段 3（$p\ne q$ のとき）。$r\ne1$ なので解は異なる 2 つである。三項間漸化式の特性方程式の定理「異なる 2 解のときの一般項」により、定数 $A,B$ を使って
$$ P_i=A\cdot1^i+B\,r^i=A+B\,r^i $$
と書ける。$P_0=0$ から $A+B=0$、$P_N=1$ から $A+Br^N=1$ である。1 つ目から $A=-B$ で、2 つ目に入れると $B(r^N-1)=1$ である。$r>0$、$r\ne1$ なので $r^N\ne1$ で、$B=-\dfrac1{1-r^N}$、$A=\dfrac1{1-r^N}$ となり
$$ P_i=\frac{1-r^i}{1-r^N} $$
である。
段 4（$p=q$ のとき）。$r=1$ で、特性方程式は重解 $1$ をもつ。三項間漸化式の特性方程式の定理「重解のときの一般項」により $P_i=(A+Bi)\cdot1^i=A+Bi$ と書ける。$P_0=0$ から $A=0$、$P_N=1$ から $BN=1$ で、$P_i=\dfrac iN$ である。
段 5（破産する確率）。賭けは確率 $1$ で終わり（def-gr-setting の後で確かめた）、終わるのは $0$ か $N$ のどちらかなので、$0$ で終わる確率は $1-P_i$ である。$\square$

漸化式の差をとる別の証明を開く

$P_i=(p+q)P_i$ と書きかえると、$P_i=pP_{i+1}+qP_{i-1}$ は $p(P_{i+1}-P_i)=q(P_i-P_{i-1})$、つまり $P_{i+1}-P_i=r(P_i-P_{i-1})$ となる。隣どうしの差は公比 $r$ の等比数列なので、$P_{k+1}-P_k=r^k(P_1-P_0)=r^kP_1$ である。$k=0,1,\ldots,i-1$ について足すと $P_i=(1+r+\cdots+r^{i-1})P_1$ である。$i=N$ とすると $1=(1+r+\cdots+r^{N-1})P_1$ なので

$$P_i=\frac{1+r+\cdots+r^{i-1}}{1+r+\cdots+r^{N-1}}$$

である。$r\ne1$ なら分子と分母に等比数列の和の公式を使うと $\dfrac{1-r^i}{1-r^N}$ に、$r=1$ なら $\dfrac iN$ になる。この方法は GS06 §12.2（pp.487–488）の導き方と同じである。

公式に数を入れる

ex-gr-small-unfair は $p=\dfrac23$、$r=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac12$、$N=3$ なので
$$ P_1=\frac{1-\frac12}{1-\frac18}=\frac{\frac12}{\frac78}=\frac47,\qquad P_2=\frac{1-\frac14}{1-\frac18}=\frac{\frac34}{\frac78}=\frac67 $$
で、代入して求めた値と一致する。
公平な賭け $p=\dfrac12$ で、所持金 $5$ 円、目標 $10$ 円なら $P_5=\dfrac5{10}=\dfrac12$ である。
わずかに不利な賭け $p=0.49$、$q=0.51$ で、所持金 $50$ 円、目標 $100$ 円とする。$r=\dfrac{51}{49}$ で、$1-r^{100}=(1-r^{50})(1+r^{50})$ と因数分解できるので
$$ P_{50}=\frac{1-r^{50}}{(1-r^{50})(1+r^{50})}=\frac1{1+\left(\frac{51}{49}\right)^{50}} $$
である。$\left(\dfrac{51}{49}\right)^{50}\approx7.391$ なので、$P_{50}\approx\dfrac1{8.391}\approx0.119$ である。

ex-gr-prob-values の (3) で、1 回の賭けで勝つ確率 $0.49$ と負ける確率 $0.51$ の差は $0.02$ しかない。それでも、所持金を倍にできる確率は $\dfrac12$ ではなく約 $0.119$ まで下がる。図 2 は、$N=100$ で $P_i$ を $i$ の関数として描いたものである。$p=\dfrac12$ では直線 $\dfrac i{100}$ だが、$p=0.49$ では大きく下に、$p=0.51$ では大きく上にたわむ。
N = 100 のとき、はじめの所持金 i と 100 円に達する確率。p = 0.50 は直線、p = 0.49 と p = 0.51 は大きく曲がる
多くの回数を賭けると、$1$ 回あたりの小さな差が積み重なる。$p=0.49$ で $50$ 円から $100$ 円に達するには、勝ちの回数が負けの回数を $50$ 回上回らなければならない。1 回あたりの平均の増え方が $p-q=-0.02$ 円なので、これは平均の動きに逆らって進むことを意味する（大数の法則とさいころの平均）。

主定理 2：終わるまでの回数の期待値

$D_i=1+pD_{i+1}+qD_{i-1}$ には定数 $1$ が付いているので、そのままでは三項間漸化式の特性方程式の形ではない。1 つの解（特殊解）を見つけて引くと、定数の付かない形になる。

終わるまでの回数の期待値

def-gr-setting の設定で、所持金 $i$ 円（$0\le i\le N$）から始めて賭けが終わるまでの回数の期待値は
$$ D_i=\begin{cases}\dfrac i{q-p}-\dfrac N{q-p}\cdot\dfrac{1-r^i}{1-r^N}&(p\ne q)\\[2ex]i(N-i)&\left(p=q=\dfrac12\right)\end{cases} $$
である。

方針：prop-gr-first-step の $D_i=1+pD_{i+1}+qD_{i-1}$ を満たす簡単な数列（特殊解）を 1 つ見つけ、$D_i$ から引く。差は定数の付かない漸化式を満たすので、thm-gr-prob の証明と同じく一般項が決まる。
段 1（$p=q=\frac12$ の特殊解）。$u_i=-i^2$ とおくと
$$ 1+\frac12u_{i+1}+\frac12u_{i-1}=1-\frac{(i+1)^2+(i-1)^2}2=1-\frac{2i^2+2}2=-i^2=u_i $$
なので、$u_i$ は $D_i$ と同じ式を満たす。
段 2（$p=q$ の差）。$e_i=D_i-u_i=D_i+i^2$ とおく。$D_i=1+\frac12D_{i+1}+\frac12D_{i-1}$ から段 1 の式を引くと、定数 $1$ が消えて
$$ e_i=\frac12e_{i+1}+\frac12e_{i-1}\qquad(1\le i\le N-1) $$
である。これは thm-gr-prob の証明で $p=q=\frac12$ とした漸化式と同じなので、段 1〜段 4 と同じく $e_i=A+Bi$ と書ける。$e_0=D_0+0=0$ から $A=0$、$e_N=D_N+N^2=N^2$ から $BN=N^2$、$B=N$ である。よって $D_i=Ni-i^2=i(N-i)$ である。
段 3（$p\ne q$ の特殊解）。$v_i=\dfrac i{q-p}$ とおく。$p(i+1)+q(i-1)=(p+q)i+(p-q)=i-(q-p)$ なので
$$ 1+pv_{i+1}+qv_{i-1}=1+\frac{p(i+1)+q(i-1)}{q-p}=1+\frac{i-(q-p)}{q-p}=\frac i{q-p}=v_i $$
である。
段 4（$p\ne q$ の差）。$e_i=D_i-v_i$ は、段 2 と同じく定数が消えて $e_i=pe_{i+1}+qe_{i-1}$ を満たす。thm-gr-prob の証明の段 1〜段 3 と同じく $e_i=A+Br^i$ と書ける。$e_0=D_0-0=0$ から $A=-B$、$e_N=D_N-\dfrac N{q-p}=-\dfrac N{q-p}$ から $B(r^N-1)=-\dfrac N{q-p}$、つまり $B=\dfrac N{(q-p)(1-r^N)}$ である。よって
$$ D_i=v_i+e_i=\frac i{q-p}+B(r^i-1)=\frac i{q-p}-\frac N{q-p}\cdot\frac{1-r^i}{1-r^N} $$
である。$\square$

終わるまでの回数を計算する

ex-gr-small-fair の $p=\dfrac12$、$N=3$ では $D_1=1\cdot2=2$、$D_2=2\cdot1=2$ である。所持金 $1$ 円からは、1 回目に負ければ $1$ 回で終わり、勝てば $2$ 円になる。最初の 1 回で分けた式 $D_1=1+\frac12D_2+\frac12\cdot0=1+\frac12\cdot2=2$ とも合う。
$p=\dfrac12$、所持金 $5$ 円、目標 $10$ 円では $D_5=5\cdot5=25$ である。所持金 $50$ 円、目標 $100$ 円では $D_{50}=50\cdot50=2500$ である。
$p=0.49$、所持金 $50$ 円、目標 $100$ 円では、$q-p=0.02$ と ex-gr-prob-values の $P_{50}\approx0.119175$ を使って
$$ D_{50}=\frac{50}{0.02}-\frac{100}{0.02}\times P_{50}\approx2500-5000\times0.119175\approx1904 $$
である。公平な場合の $2500$ 回より少し少ない。

N = 100 のとき、はじめの所持金 i と、終わるまでの回数の期待値。p = 1/2 では放物線 i(100 − i) で、真ん中で最大 2500 回になる
$p=\dfrac12$ のとき、$D_i=i(N-i)$ は図 3 のように $i$ の 2 次関数で、$i=\dfrac N2$ で最大値 $\dfrac{N^2}4$ をとる。所持金と目標をともに $2$ 倍にすると、終わるまでの回数の期待値は $2i(2N-2i)=4i(N-i)$ で $4$ 倍になる。$1$ 回ごとに $\pm1$ 円ずつしか動かないのに、$N$ 円の幅を行き来し終えるまでには $N$ 回ではなく $N^2$ の程度の回数がかかる。

期待値の式の読み方

$p\ne q$ の式は、thm-gr-prob の $P_i$ を使うと
$$ D_i=\frac{i-N\,P_i}{q-p} $$
と書ける。分子の $N\,P_i+0\cdot(1-P_i)$ は「終わったときの所持金の期待値」なので、$i-N\,P_i$ は「所持金が減る量の期待値」である。分母の $q-p$ は「1 回あたりに減る量の期待値」である。つまり「全体で減る量の期待値＝ 1 回あたりに減る量の期待値 × 回数の期待値」が成り立っている。ex-gr-duration-values の (3) では、$\dfrac{50-100\times0.119175}{0.02}\approx\dfrac{38.08}{0.02}\approx1904$ である。

主定理 1・2 の値を表にまとめる。

$p$	$i$	$N$	目標に達する確率 $P_i$	回数の期待値 $D_i$
$\frac12$	$1$	$3$	$\frac13$	$2$
$\frac23$	$1$	$3$	$\frac47$	$\frac{15}7$
$\frac12$	$5$	$10$	$\frac12$	$25$
$0.49$	$5$	$10$	約 $0.450$	約 $24.9$
$0.49$	$50$	$100$	約 $0.119$	約 $1904$
$0.47$	$50$	$100$	約 $0.0025$	約 $829$
$0.45$	$50$	$100$	約 $0.000044$	約 $500$

所持金と目標が小さいうち（$i=5$、$N=10$）は、$p=0.49$ でも公平な場合とほとんど変わらない。所持金と目標を $10$ 倍にすると、同じ $p=0.49$ で目標に達する確率は約 $0.450$ から約 $0.119$ に下がる。

相手が限りなく金持ちのとき

目標 $N$ 円を「相手の所持金を全部取った状態」と考えると、$N$ を大きくすることは、相手がもっと金持ちになることにあたる。所持金 $i$ を決めたまま $N\to\infty$ とすると、主定理 1 の値はどうなるだろうか。

目標を限りなく大きくしたときの破産の確率

所持金 $i$ 円を決めて $N\to\infty$ とすると、thm-gr-prob の破産する確率 $1-P_i$ は
$$ 1-P_i\longrightarrow\begin{cases}1&(p\le q)\\r^i=\left(\dfrac qp\right)^i&(p>q)\end{cases} $$
に近づく。

段 1（$p< q$）。$r>1$ なので $r^N\to\infty$ である。$P_i=\dfrac{1-r^i}{1-r^N}=\dfrac{r^i-1}{r^N-1}$ の分子は $N$ によらない定数なので、$P_i\to0$ で、$1-P_i\to1$ である。
段 2（$p=q$）。$P_i=\dfrac iN\to0$ なので $1-P_i\to1$ である。
段 3（$p>q$）。$0< r<1$ なので $r^N\to0$ である。$P_i=\dfrac{1-r^i}{1-r^N}\to1-r^i$ で、$1-P_i\to r^i$ である。$\square$

公平な賭け（$p=q$）でも、相手が限りなく金持ちなら、破産の確率は $1$ に近づく。1 回ごとには損も得もしない賭けなのに、相手の所持金の多さだけで結果が一方に偏る。一方、自分に有利な賭け（$p>q$）なら、破産の確率は $r^i$ で $1$ より小さい。たとえば $p=\dfrac23$ なら $r=\dfrac12$ で、所持金 $3$ 円なら破産の確率は $\dfrac18$ に近づく。
期待値の漸化式と停止の反例「状態が無限にある」では、$0,1,2,\ldots$ の上を $\dfrac12$ ずつ左右に動き $0$ で止まる歩き方で、止まるまでの回数の期待値を求める方程式に $0$ 以上の有限の解がないことを見た。その歩き方で実際に何が起こるかを、ここで確かめる。

上に止まる所がない公平な歩き方

$0,1,2,\ldots$ の上を、$i\ge1$ からは確率 $\dfrac12$ ずつで $i+1$ と $i-1$ に移り、$0$ に着いたら止まる歩き方を考える。正の整数 $s$ から出発して $0$ に着くまでの回数を $T$ とする。このとき
(1) 止まる確率は $1$ である。つまり $P(T>n)\to0$（$n\to\infty$）である。
(2) $T$ の期待値は無限大である。

方針：上に $N$ を止まる所として付け加えた def-gr-setting の歩き方（$p=\dfrac12$）と比べる。$0$ にも $N$ にも着いていない間は、2 つの歩き方で列の確率は同じである。止まる回を $T_N$ とする。
段 1（比べる）。$N$ のある歩き方で、途中で $N$ に着かずに $n$ 回のうちに $0$ で止まる列は、止まる所がない歩き方でも $n$ 回のうちに $0$ に着く列で、確率も同じである。よって $P(T\le n)$ は「$N$ のある歩き方で $n$ 回のうちに $0$ で止まる確率」以上である。$n\to\infty$ とすると、右辺は $0$ で止まる確率 $1-P_s=1-\dfrac sN$ に近づく（$N>s$ とする）。
段 2（(1) の証明）。$P(T\le n)$ は $n$ とともに増え、$1$ 以下なので、極限 $L$ がある。段 1 から、$N>s$ のどの $N$ でも $L\ge1-\dfrac sN$ である。$N$ はいくらでも大きくとれるので $L=1$ で、$P(T>n)=1-P(T\le n)\to0$ である。
段 3（(2) の証明）。$T$ の期待値が有限の値 $E$ だったとして矛盾を導く。$a_n=P(T>n)$ とおく。$N$ のある歩き方で $n$ 回のうちに $0$ にも $N$ にも着いていない列は、止まる所がない歩き方で $T>n$ となる列でもある。よって $a_n\ge P(T_N>n)$ である。一方、$a_n=\sum_{m>n}P(T=m)$ なので（段 2 から止まる確率は $1$）
$$ 0\le n\,a_n=\sum_{m>n}n\,P(T=m)\le\sum_{m>n}m\,P(T=m) $$
で、右辺は収束する和 $E=\sum_m m\,P(T=m)$ の $n$ 番目から先の部分なので $0$ に近づく。$P(T=m)=a_{m-1}-a_m$ を使って部分和を並べかえると
$$ \sum_{m=1}^{n}m\,P(T=m)=\sum_{m=1}^{n}m(a_{m-1}-a_m)=a_0+a_1+\cdots+a_{n-1}-n\,a_n $$
である。$n\to\infty$ とすると
$$ E=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\ge\sum_{n=0}^{\infty}P(T_N>n)=D_s=s(N-s)\ge N-s $$
である。最後の 2 つの等号は、期待値の漸化式と停止の補題「期待値を『まだ止まっていない確率』の和で書く」（$N$ のある歩き方に使う）と thm-gr-duration による。$N$ はいくらでも大きくとれるので、$E$ が有限であることに反する。よって $T$ の期待値は無限大である。$\square$

止まる確率は $1$ なのに、止まるまでの回数の期待値は無限大である。「いつかは必ず $0$ に着く」が、「平均して何回で着く」とは言えないほど、ときどき非常に長くかかる。

反例：条件を外すと何が崩れるか

外す条件	反例	成り立たなくなること
$p\ne q$	$p=q=\frac12$ で $\frac{1-r^i}{1-r^N}$ を使う	公式が値をもつ
上に止まる所 $N$ がある	$p=q=\frac12$、$0$ だけで止まる	終わったときの所持金の期待値が、はじめの所持金 $i$ に等しい
上に止まる所 $N$ がある	$p=q=\frac12$、$0$ だけで止まる	終わるまでの回数の期待値が有限
$p\le q$	$p=\frac23$	相手が限りなく金持ちなら破産の確率が $1$ に近づく

反例：公平な賭けに不公平な場合の式を使う

$p=q$ のとき $r=1$ で、$\dfrac{1-r^i}{1-r^N}$ は $\dfrac{1-1}{1-1}=\dfrac00$ となり値をもたない。thm-gr-prob の証明の段 3 は $r\ne1$ を使って $r^N\ne1$ としていた。
ただし、$r\ne1$ のとき分子と分母を $1-r$ で割ると
$$ \frac{1-r^i}{1-r^N}=\frac{1+r+\cdots+r^{i-1}}{1+r+\cdots+r^{N-1}} $$
で、$r\to1$ とすると右辺は $\dfrac{i}{N}$ に近づく（分子は $i$ 個の項、分母は $N$ 個の項がそれぞれ $1$ に近づく）。たとえば $i=3$、$N=7$ なら $\dfrac37$ である。$p\ne q$ の式で $p$ を $\dfrac12$ に近づけた極限は、$p=q$ の式に一致する。

反例：公平でも、終わったときの所持金の期待値が変わる

$p=q=\dfrac12$ で上に止まる所 $N$ があるとき、終わったときの所持金は確率 $P_i=\dfrac iN$ で $N$ 円、確率 $1-\dfrac iN$ で $0$ 円なので、その期待値は
$$ N\cdot\frac iN+0\cdot\left(1-\frac iN\right)=i $$
で、はじめの所持金と等しい。1 回ごとの増え方の期待値が $0$ の賭けなので、そうなってほしいところである。
ところが上に止まる所がないと、prop-gr-symmetric の (1) により、確率 $1$ で $0$ 円になって終わる。終わったときの所持金の期待値は $0$ で、はじめの所持金 $i\ge1$ と等しくない。しかも prop-gr-symmetric の (2) により、終わるまでの回数の期待値は無限大である（表の 3 行目）。1 回ごとには公平でも、「$0$ になったらやめる」という止め方と、上限のない長さが組み合わさると、公平さが崩れる。

反例：有利な賭けでは破産しないこともある

$p=\dfrac23$、$q=\dfrac13$ では $r=\dfrac12$ で、cor-gr-limit により、所持金 $i$ 円での破産の確率は $N\to\infty$ で $\left(\dfrac12\right)^i$ に近づく。$i=1$ なら $\dfrac12$、$i=3$ なら $\dfrac18$、$i=10$ なら約 $0.001$ で、$1$ より小さい。目標 $N$ 円を十分大きくしても、破産の確率は $\left(\dfrac12\right)^i$ より大きくならない（$1-P_i=\dfrac{r^i-r^N}{1-r^N}$ は $r^i$ 以下）。

大学数学で見る：マルチンゲールと酔歩

thm-gr-prob の $r^i$ という形には、次の意味がある。所持金が $x$ 円のとき、次の 1 回の後の $r^{(\text{所持金})}$ の期待値は
$$ p\,r^{x+1}+q\,r^{x-1}=r^x\left(p\cdot\frac qp+q\cdot\frac pq\right)=r^x(q+p)=r^x $$
で、今の値 $r^x$ と等しい。このように「次の値の期待値が今の値に等しい」確率変数の列を マルチンゲール という。賭けが終わったときにも $r^{(\text{所持金})}$ の期待値が $r^i$ のままだと認めると、$P_i\,r^N+(1-P_i)\,r^0=r^i$ となり、これを解くと主定理 1 の式 $P_i=\dfrac{1-r^i}{1-r^N}$ が出る。この考え方は GS06 §12.2（pp.489–490）に、de Moivre による破産の確率の導き方として紹介されている。

止めても期待値が変わらないための条件と、酔歩の再帰性を開く

「終わったときにも期待値が変わらない」ことは、いつも成り立つわけではない。ex-gr-cx-fair では、公平な賭け（所持金そのものがマルチンゲール）でも、上に止まる所がないと終わったときの期待値が $i$ から $0$ に変わった。GS06 §12.2（p.490）も、de Moivre の導き方が使う「終わったときにも公平さが保たれる」ことには証明が要り、それがマルチンゲールの理論の中心的な定理の 1 つであると注意している。$r^{(\text{所持金})}$ の期待値が 1 回ごとに変わらないことを確かめ、それを使って破産の確率を求める問題は、同じ節の Exercise 9（p.492）にある。この記事では、止めても期待値が変わらないための条件は証明しない。

prop-gr-symmetric の (2) については、GS06 §12.2 の Exercise 1（p.490）が、所持金 $1$ からの破産までの回数の母関数を求めさせ、その微分係数から、回数の期待値が $p=q$ のとき無限大、$q>p$ のとき $\dfrac1{q-p}$ であることを読み取らせている。

上に止まる所がない公平な歩き方が確率 $1$ で $0$ に着くこと（prop-gr-symmetric の (1)）は、数直線の上の酔歩が確率 $1$ で出発点にもどることにつながる。GS06 §12.1 の Example 12.1・12.2（pp.475–478）は、上下左右に動く平面の酔歩も確率 $1$ で原点にもどるが、3 次元の空間の酔歩では原点にもどる確率が $1$ より小さい（約 $0.34$）ことを示している。

さらに先へ

酔歩の道の数を数えると、$n$ 回後の所持金の分布が二項係数で書ける。道の数え上げと、境界に触れる道を折り返して数える方法は最短経路の数え上げと鏡像原理にある。回数が多いときの分布の形は二項分布から正規分布へで扱う。
取り出すたびに中身が変わる壺で、「並べ方によらない確率」を調べるのが次の Pólyaの壺である。