多角形の等周問題

段 1（中心）。正 $n$ 角形では、各頂点の内角の二等分線がすべて 1 点 $O$ で交わり、$O$ と各辺の両端を結ぶと、頂角が $\dfrac{2\pi}n$ の合同な $n$ 個の二等辺三角形に分かれる。

方針：面積と周の長さを、内接円の半径 $r$ と、中心で見た角で書く。周の長さは $\tan$ の和になり、$\tan$ が下に凸であることから下限が出る。
段 1（面積）。内接円の中心を $O$ とする。$O$ と各辺の両端を結ぶと、$n$ 角形は $n$ 個の三角形に分かれる。どの三角形も、底辺をその辺とすると高さは $r$（中心から接線までの距離）である。よって
$$ S=\frac12r\cdot(\text{辺の長さの和})=\frac12rL $$
である。
段 2（接線の長さ）。辺 $e_i$ が内接円に接する点を $T_i$ とし、頂点 $V_i$ は辺 $e_i$ と $e_{i+1}$ の共有点とする（$e_{n+1}=e_1$）。四角形 $OT_iV_iT_{i+1}$ は $T_i$、$T_{i+1}$ で直角で、$OT_i=OT_{i+1}=r$ なので、2 つの直角三角形 $OT_iV_i$、$OT_{i+1}V_i$ は合同である（斜辺 $OV_i$ が共通で、他の 1 辺が等しい）。$\angle T_iOT_{i+1}=2\beta_i$ とおくと、$\angle T_iOV_i=\beta_i$ で
$$ V_iT_i=V_iT_{i+1}=r\tan\beta_i $$
である。
段 3（角の条件）。角 $2\beta_1,\ldots,2\beta_n$ は $O$ のまわりを 1 周するので、$2\beta_1+\cdots+2\beta_n=2\pi$、つまり $\beta_1+\cdots+\beta_n=\pi$ である。四角形 $OT_iV_iT_{i+1}$ の角の和から、頂点 $V_i$ の内角は $2\pi-\dfrac\pi2-\dfrac\pi2-2\beta_i=\pi-2\beta_i$ で、これは正なので $0<\beta_i<\dfrac\pi2$ である。
段 4（周の長さ）。各辺は、両端の頂点から接点までの 2 つの線分に分かれる。段 2 から
$$ L=2r(\tan\beta_1+\tan\beta_2+\cdots+\tan\beta_n) $$
である。関数 $\tan x$ は $0< x<\dfrac\pi2$ で下に凸（2 階導関数 $\dfrac{2\sin x}{\cos^3x}>0$）なので、Jensenの不等式（高校数学） と段 3 により
$$ \tan\beta_1+\cdots+\tan\beta_n\ge n\tan\frac{\beta_1+\cdots+\beta_n}n=n\tan\frac\pi n $$
であり、等号は $\beta_1=\cdots=\beta_n$ のときに限る。よって $L\ge2rn\tan\dfrac\pi n$、つまり $r\le\dfrac L{2n\tan(\pi/n)}$ である。
段 5（面積の上限）。段 1 と段 4 から
$$ S=\frac12rL\le\frac12\cdot\frac L{2n\tan(\pi/n)}\cdot L=\frac{L^2}{4n\tan\frac\pi n} $$
である。
段 6（等号）。等号は段 4 で等号のとき、つまり $\beta_1=\cdots=\beta_n=\dfrac\pi n$ のときに限る。このとき、段 3 から内角はすべて $\pi-\dfrac{2\pi}n$ で等しく、段 2 から接点までの長さはすべて $r\tan\dfrac\pi n$ で、辺の長さはすべて $2r\tan\dfrac\pi n$ で等しい。よって正 $n$ 角形である。逆に正 $n$ 角形では prop-pip-regular により等号が成り立つ。$\square$

要点：$n$ 角形を囲む最小の凸多角形（凸包）を考える。凸でない $n$ 角形には、凸包の 1 辺 $P_iP_j$ と、$n$ 角形の辺の列 $P_i\to P_{i+1}\to\cdots\to P_j$ にはさまれた「へこみ」がある。この辺の列を直線 $P_iP_j$ に関して折り返すと、辺の長さの並びは変わらず、面積はへこみの面積の 2 倍だけ増える。ex-pip-flip はその例である。

要点：$P_2$ を、周を変えずに $P_1P_3$ を底辺とする二等辺三角形の頂点 $P_2'$ に取り替える。三角形の等周問題 の命題により三角形の面積が増え、凸なので残りの部分とは重ならない。

要点：対角線 $Q_2Q_4$ に 2 つの三角形で余弦定理を使うと $ad\cos\theta-bc\cos\varphi$ が一定になる。面積の式 $4K=2ad\sin\theta+2bc\sin\varphi$ と 2 乗して足すと (1) になり、$K$ は $\cos(\theta+\varphi)$ が小さいほど大きい。$Q_2$ を $Q_1$ のまわりに回して $\theta$ を増やすと $\varphi$ も増えるので、$\theta+\varphi$ を $180^\circ$ に近づけられる。

方針：面積が最大の $n$ 角形 $M$ をとり、3 つの補題で $M$ が正 $n$ 角形であることを示す。$n=3$ は 三角形の等周問題 の主定理なので、$n\ge4$ とする。
段 1（最大の $n$ 角形）。rem-pip-existence により、周の長さが $L$ の $n$ 角形の中に面積が最大のもの $M$ がある。
段 2（$M$ は凸）。$M$ が凸でなければ、lem-pip-convex により、辺の長さの並びが同じで（したがって周の長さも $L$ で）面積のもっと大きい $n$ 角形がある。これは $M$ が最大であることに反する。よって $M$ は凸である。
段 3（曲げても広くならない）。$M$ の続いた 4 頂点 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ で、$Q_1$ と $Q_3$ が直線 $Q_2Q_4$ の反対側にあり、$Q_2$、$Q_3$ がどちらも直線 $Q_1Q_4$ の上にないものをとる（$M$ に内角 $180^\circ$ の頂点がなければ、どの続いた 4 頂点もこの条件を満たす）。$M$ は凸なので、$M$ は四角形 $Q_1Q_2Q_3Q_4$ と、直線 $Q_1Q_4$ の反対側の残りの部分（$n=4$ なら何もない）に分かれる。もし $\angle Q_2Q_1Q_4+\angle Q_2Q_3Q_4\ne180^\circ$（lem-pip-bend の $\theta+\varphi\ne180^\circ$）なら、lem-pip-bend (2) で $Q_2$、$Q_3$ だけを少し動かし、四角形の面積 $K$ を大きくできる。動きが小さければ、四角形は直線 $Q_1Q_4$ の同じ側にとどまって残りの部分と重ならず、辺の長さはどれも変わらない。こうしてできた $n$ 角形は周が $L$ で面積が $M$ より大きく、最大であることに反する。よって $\angle Q_2Q_1Q_4+\angle Q_2Q_3Q_4=180^\circ$ である。$Q_1$ と $Q_3$ が直線 $Q_2Q_4$ の反対側にあって対角の和が $180^\circ$ なので、4 点 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ は同じ円の上にある（円に内接する四角形 の、対角の和による判定）。
段 4（$180^\circ$ の角はない）。$M$ に内角 $180^\circ$ の頂点があるとする。すべての頂点が一直線上にあることはない（面積が正）ので、頂点を順にたどると、内角 $180^\circ$ の頂点 $V$ で、次の頂点 $W$ の内角が $180^\circ$ より小さいものがある。$V$ の前の頂点を $U$、$W$ の次の頂点を $X$ とする。$U,V,W$ は一直線上にあり、$X$ はその直線の上にない（$W$ の内角が $180^\circ$ より小さい）ので、$U$ と $W$ は直線 $VX$ の反対側にあり、$V$、$W$ は直線 $UX$ の上にない。よって段 3 を $Q_1=U$、$Q_2=V$、$Q_3=W$、$Q_4=X$ に使うと、4 点 $U,V,W,X$ は同じ円の上にある。しかし $U,V,W$ は一直線上にあり、円と直線の共有点は 2 個以下なので、これは起こらない。よって $M$ のすべての内角は $180^\circ$ より小さい。
段 5（辺はすべて等しい）。段 4 により $M$ の内角はすべて $180^\circ$ より小さい。$M$ の隣り合う 2 辺の長さが違えば、lem-pip-equal により、周が $L$ で面積のもっと大きい $n$ 角形がある。これは最大であることに反する。よって隣り合う辺はすべて等しく、$M$ のすべての辺の長さは $\dfrac Ln$ である。
段 6（すべての頂点が 1 つの円の上）。段 4 により、段 3 はどの続いた 4 頂点にも使える。頂点を $P_1,\ldots,P_n$ とし、3 点 $P_1,P_2,P_3$（一直線上にない）を通る円を $\Gamma$ とする。段 3 により $P_4$ は $P_1,P_2,P_3$ を通る円、つまり $\Gamma$ の上にある。次に $P_2,P_3,P_4$ を通る円は $\Gamma$ で（3 点を通る円は 1 つ）、段 3 により $P_5$ も $\Gamma$ の上にある。これを続けると、すべての頂点が $\Gamma$ の上にある。
段 7（正 $n$ 角形）。$\Gamma$ の中心を $O$ とする。$M$ は $\Gamma$ に内接する凸 $n$ 角形なので、頂点は $\Gamma$ の上をこの順に 1 周し、隣り合う頂点ではさまれた $n$ 個の弧の中心角の和は $2\pi$ である。各辺は長さ $\dfrac Ln$ の弦なので、その弧の中心角は、ある $\gamma$（$0<\gamma\le\pi$）について $\gamma$ か $2\pi-\gamma$ である。中心角が $2\pi-\gamma$ で $\gamma$ と違う弧があるとすると、$2\pi-\gamma>\pi$ である。そのような弧が 2 つ以上なら、中心角の和が $2\pi$ を超えてしまう。ちょうど 1 つなら、和は $(2\pi-\gamma)+(n-1)\gamma=2\pi+(n-2)\gamma>2\pi$ となり、やはり矛盾する。よってすべての弧の中心角は $\gamma$ で、$n\gamma=2\pi$ から $\gamma=\dfrac{2\pi}n$ である。各頂点の内角は、その頂点を含まない $n-2$ 個の弧に対する円周角なので $\dfrac12(n-2)\cdot\dfrac{2\pi}n=\dfrac{(n-2)\pi}n$ で、すべて等しい。よって $M$ は正 $n$ 角形である。
段 8（結論）。段 7 と prop-pip-regular により、最大の面積は $\dfrac{L^2}{4n\tan(\pi/n)}$ である。どの $n$ 角形の面積もこれ以下である。等号が成り立つ $n$ 角形は面積が最大なので、段 2〜7 をその $n$ 角形に使えば正 $n$ 角形である。逆に正 $n$ 角形では等号が成り立つ。$\square$

$S_n(L)=\dfrac{L^2}{4n\tan(\pi/n)}$ なので、$n\tan\dfrac\pi n$ が $n$ について減少することを示せばよい。$f(x)=\dfrac{\tan x}x$（$0< x<\dfrac\pi2$）とおくと $n\tan\dfrac\pi n=\pi f\left(\dfrac\pi n\right)$ である。$f'(x)=\dfrac{x-\sin x\cos x}{x^2\cos^2x}=\dfrac{2x-\sin2x}{2x^2\cos^2x}$ で、$t>0$ のとき $\sin t< t$ なので $f'(x)>0$、$f$ は増加する。$\dfrac\pi{n+1}<\dfrac\pi n$ から $(n+1)\tan\dfrac\pi{n+1}< n\tan\dfrac\pi n$、つまり $S_n(L)< S_{n+1}(L)$ である。この証明は最大の存在を使わない。
後半は、$0< x<\dfrac\pi2$ で $\tan x>x$（正多角形で円周率を挟む の補題）を $x=\dfrac\pi n$ に使うと $n\tan\dfrac\pi n>\pi$ なので、$S_n(L)=\dfrac{L^2}{4n\tan(\pi/n)}<\dfrac{L^2}{4\pi}$ である。$\square$