有界逆写像定理

前提知識: Banach空間, ノルム空間, 開写像定理

逆が存在することと、安定して求められること

線形方程式 $Tx=y$ がどの $y$ に対してもただ一つ解けるなら、代数的な逆写像 $T^{-1}$ が存在する。しかし、$y$ を少し変えたとき解が少しだけ変わるとは、代数的な条件だけからは言えない。有界逆写像定理は、二つの Banach 空間の間で $T$ 自身が有界なら、この安定性も自動的に従うことを述べる。開写像定理 の系であり、逆写像を具体的に計算できない場合にも使える。
有限次元の可逆行列 $A$ については、逆行列 $A^{-1}$ も線形で連続である。無限次元では線形写像が連続とは限らないため、空間の完備性が要点になる。

定理と評価

以下、$X,Y$ は実数体または複素数体上のノルム空間とする。線形写像 $T\colon X\to Y$ が有界であるとは、ある $M\ge0$ があって $\|Tx\|_Y\le M\|x\|_X$ がすべての $x\in X$ について成り立つことをいう。これは連続であることと同値である（ノルム空間）。

逆写像の有界性は、$y=Tx$ と置けば次の下からの評価に言い換えられる。
$$ \|Tx\|_Y\ge c\|x\|_X\qquad(x\in X) $$
ここで $c>0$ である。$X\ne\{0\}$ なら $c=\|T^{-1}\|^{-1}$ と取れる。反対に、全単射な線形写像についてこの下界があれば、$\|T^{-1}y\|_X\le c^{-1}\|y\|_Y$ が直ちに従う。定理の働きは、この下界を連続な全単射という条件から保証するところにある。
$X\ne\{0\}$ のとき、最良の定数は
$$ \inf_{\|x\|_X=1}\|Tx\|_Y=\frac1{\|T^{-1}\|} $$
である。単位球面の像が原点にどれだけ近づけるかを測っている、と読める。有限次元で行列の最小特異値が担う役割に相当するが、ここでは特異値分解を仮定しない。この下限が $0$ なら、長さ $1$ の元 $x_n$ で $\|Tx_n\|_Y\to0$ となる列が選べる。するとデータは零に近づくのに対応する解は長さ $1$ のままなので、像の上の逆は有界ではない。下限が正かどうかを確かめることは、具体的な作用素で定理の適用範囲を見分ける一つの方法である。

積 $\|T\|\|T^{-1}\|$ は、そのノルムで測った方程式の感度の上界となる。定理はこの値が有限であることを保証するが、小さいことまでは保証しない。

ノルムを変えても同じ空間か

同じベクトル空間に二つのノルムを入れると、どの列が収束するか、どの写像が連続かが変わることがある。有界逆写像定理は、二つとも完備で、一方のノルムが他方で上から押さえられる場合には、そのような違いが起きないと教える。

この系は、あるノルムでは収束するが別のノルムでは発散する列を探して、後者のノルムが完備でないことを示すときにも使える。ただし定理の適用には、双方の完備性を先に確かめる必要がある。後述の積分と微分の例では、上限ノルムと導関数も測るノルムの違いがまさにこの点に現れる。
「同値」は単に集合として同じ空間を記述するという意味ではない。二つのノルムで収束列が一致し、開集合も一致し、連続な線形写像という性質も一致する。片側の不等式だけからこれらを結論するのは誤りで、両方が完備という条件が不可欠である。実際、後に使う $Y=\{u\in C^1([0,1]):u(0)=0\}$ では、導関数を測るノルムの方が上限ノルムより大きいにもかかわらず、その逆向きの評価はできない。

作用素を少し変えたとき

有界逆写像定理は、逆が存在すると分かった後の小さな摂動にも役立つ。行列の近似や積分方程式の係数を変えるときには、逆写像のノルムが許される誤差の大きさを決める。

この条件は十分条件であって必要条件ではない。逆に、$\|T^{-1}\|$ が大きい方程式では、定理から可逆性を保証できる摂動の範囲が狭くなる。例えば実数の掛け算 $T(x)=\varepsilon x$（$0<\varepsilon\ll1$）は可逆だが $\|T^{-1}\|=1/\varepsilon$ であり、摂動 $E(x)=-\varepsilon x$ によって $T+E=0$ になる。この例は、代数的に解けることだけでは安定した解法を意味しないことを端的に表す。
また、$T$ と $T+E$ の逆で同じデータ $y$ を解くとき、解の差は
$$ (T+E)^{-1}y-T^{-1}y=-(T+E)^{-1}ET^{-1}y $$
と表せる。上のノルム評価を代入すれば、作用素の誤差 $\|E\|$ が解に与える影響も明示できる。入力データの誤差と作用素そのものの誤差は別の問題だが、どちらにも逆写像のノルムが現れる。

例：関数の掛け算

この例では逆を明示できた。一方、定理の利点は、逆の式が得られなくても有界性を保証できる点にある。次の例では、積分方程式についてそれ以上の定量的な評価も導ける。

例：積分方程式の解

$X=C([0,1])$ に上限ノルムを入れ、Volterra 作用素
$$ (Vf)(t):=\int_0^t f(s)\,ds $$
を考える。$\|Vf\|_\infty\le\|f\|_\infty$ なので $V$ は有界である。積分方程式
$$ f(t)-\int_0^t f(s)\,ds=g(t) $$
は $(I-V)f=g$ と書ける。

この場合は逆を級数で構成でき、定理の結論に具体的な定数 $e$ を付けられる。$g$ の誤差が $\varepsilon$ 以下なら、解の誤差は $e\varepsilon$ 以下となる。

仮定が欠けるとき

両方の空間の完備性、$T$ の有界性、全単射性を区別する必要がある。単射でも全射でなければ、像の上の逆写像が非有界なことがある（開写像定理 の対角作用素の例）。ここでは、$T$ が有界な全単射でも値域が完備でないと逆が非有界になりうる例を見る。

小さな関数 $u_n$ の導関数は小さくならない。入力データを上限ノルムだけで測ると、微分による復元は不安定なのである。$Y$ を $\|u\|_\infty+\|u'\|_\infty$ というノルムで測れば完備になり、$T^{-1}u=u'$ は有界になる。ただし、これは別のノルム空間として問題を設定し直した結果である。
この反例では $X$ は Banach 空間で、$T$ は線形・有界・全単射という他の条件をすべて満たす。したがって、値域の完備性を定理の仮定から取り去ることはできない。一方、同じ関数集合 $Y$ に導関数も測るノルムを入れると、積分 $T$ と微分 $T^{-1}$ の双方が有界になる。どの量を誤差として許すか、すなわちデータにどのノルムを入れるかが、安定性の結論を左右している。

全射でない場合との境界

定理は全単射を仮定する。全射性を落としても、単射なら像 $T(X)$ の上に逆写像は定義できる。しかし、その像に $Y$ から受け継いだノルムを入れたとき完備かどうかが重要である。

この命題で「閉」は $Y$ の中で閉じている意味であり、単に像の元だけで極限を考えたときの性質ではない。全射の場合には $T(X)=Y$ が自動的に閉じているので、上の定理に戻る。
逆に、下からの評価があっても全射性は出てこない。$\ell^2$ 上の右シフト
$$ S(x_1,x_2,\ldots):=(0,x_1,x_2,\ldots) $$
は $\|Sx\|_2=\|x\|_2$ を満たす有界な単射で、像は第 1 成分が $0$ の閉部分空間である。しかし $(1,0,0,\ldots)$ は像に入らず、$S^{-1}$ を $\ell^2$ 全体に定義することはできない。このように「像の上で逆が安定」と「すべての右辺で方程式が解ける」は別の条件である。

使うときの確認

1. 定義域と値域がそれぞれ指定されたノルムで Banach 空間か。
2. $T$ は線形かつ有界か。
3. 方程式 $Tx=y$ が各 $y$ に対してただ一つ解けるか。
   三つが揃えば逆写像は有界で、解はデータに連続に依存する。定理の証明に用いた 開写像定理 は全射であればよく、解の一意性を要求しない。閉グラフ定理 は、全域に定義された線形写像の有界性をグラフの閉性から判定する。これらは同じ Banach 空間の枠組みに属するが、調べる条件と結論が異なる。
   刊行書 Axl20 の §6E、定理 6.83 に有界逆写像定理と開写像定理からの証明がある。上の乗算・積分方程式・積分と微分の例は、条件と評価を見分けるために本文で直接証明した。

関連項目

• Banach空間
• ノルム空間
• 開写像定理
• 閉グラフ定理