複素解析空間

$A$ が $D$ 内に集積点 $a$ をもつとする。$A$ は閉集合なので $a\in A$ である。$a$ の連結な開近傍 $U$ と $g_1,\dots,g_s\in\mathcal{O}(U)$ で $A\cap U=\{g_1=\cdots=g_s=0\}$ となるものをとる。各 $g_i$ は、$U$ 内に集積点 $a$ をもつ集合 $A\cap U$ の上で消えるので、一致の定理（一致の定理）により $U$ 上で恒等的に $0$ である。よって $U\subset A$ である。したがって $A$ の内部 $A^{\circ}$ は $A$ のすべての集積点を含む。$A^{\circ}$ は開集合であり、その $D$ での閉包の点は $A$ の集積点なので $A^{\circ}$ に属する。ゆえに $A^{\circ}$ は $D$ の開かつ閉な部分集合（開かつ閉集合）であり、$D$ の連結性と $A\ne D$ から $A^{\circ}=\emptyset$ である。すると $A$ は集積点をもたず、離散である。局所有限性は、各点 $x\in D$ のコンパクトな近傍が $A$ と交わる点は有限個であること（無限なら集積点をもつ）から従う。

$f=\sum_{\alpha}a_{\alpha}z^{\alpha}$ とし、$\rho=(\rho_1,\dots,\rho_n)$（各 $\rho_i>0$）を $\sum_{\alpha}|a_{\alpha}|\rho^{\alpha}<\infty$ となるようにとる（収束冪級数の定義）。仮定は、$\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$ となるすべての $\alpha$ について $a_{\alpha}=0$ ということである。$i=1,\dots,k$ に対し、$\alpha_1=\cdots=\alpha_{i-1}=0$ かつ $\alpha_i\ge1$ となる $\alpha$ の全体を $S_i$ とおくと、$S_1,\dots,S_k$ は互いに交わらず、$a_{\alpha}\ne0$ となる $\alpha$ はいずれかの $S_i$ に属する。
$$ g_i:=\sum_{\alpha\in S_i}a_{\alpha}z^{\alpha-e_i}\qquad(e_i\text{ は第 }i\text{ 単位ベクトル}) $$
とおくと、$\sum_{\alpha\in S_i}|a_{\alpha}|\rho^{\alpha-e_i}=\rho_i^{-1}\sum_{\alpha\in S_i}|a_{\alpha}|\rho^{\alpha}<\infty$ なので $g_i\in\mathbb{C}\{z\}$ であり、$\sum_iz_ig_i=\sum_{\alpha}a_{\alpha}z^{\alpha}=f$ である。制限写像が全射であることは、$h\in\mathbb{C}\{z_{k+1},\dots,z_n\}$ を $z_1,\dots,z_k$ を含まない級数と見ればよい。核が $(z_1,\dots,z_k)$ を含むことは明らかで、逆の包含が前半の主張である。

$R$ が Noether 環であることは Rückert の基底定理（GR84 第 2 章、GuR65 第 II 章）による。$R$ が整域であることは、$R$ が形式的冪級数環 $\mathbb{C}[\![z_1,\dots,z_n]\!]$ の部分環であることから従う。定数項が $0$ でない収束冪級数は $R$ の単元であり（逆級数もまた収束する。Hor90 第 2 章）、定数項が $0$ の級数の全体は $\mathfrak{m}=(z_1,\dots,z_n)$ に等しい（lem-complex-analytic-space-hadamard の $k=n$ の場合）。単元でない元がすべて $\mathfrak{m}$ に属するので、$R$ は $\mathfrak{m}$ を唯一の極大イデアルとする局所環である。
次元を求める。$k=0,1,\dots,n$ に対し $P_k:=(z_1,\dots,z_k)$ とおく（$P_0=0$）。lem-complex-analytic-space-hadamard により $R/P_k\cong\mathbb{C}\{z_{k+1},\dots,z_n\}$ は整域なので、$P_k$ は素イデアルである。$z_{k+1}$ の $R/P_k$ での像は $0$ でないので $P_k\subsetneq P_{k+1}$ である。よって $0=P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_n=\mathfrak{m}$ は長さ $n$ の素イデアルの鎖であり、$\dim R\ge n$ である。他方、Krull の高さ定理（Krullの単項イデアル定理の一般形）により、$n$ 個の元で生成される $\mathfrak{m}$ の高さは $n$ 以下なので $\dim R\le n$ である（AM69 第 11 章）。ゆえに $\dim R=n$ である。$\mathfrak{m}^2$ は 2 次以上の項からなる級数の全体なので（2 次以上の級数 $f$ を lem-complex-analytic-space-hadamard で $f=\sum z_ig_i$ と書くと各 $g_i$ の定数項は $0$）、$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $z_1,\dots,z_n$ の像を基底とする $n$ 次元のベクトル空間であり、$\dim R=\dim_{\mathbb{C}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$、すなわち $R$ は正則局所環である。

(1 $\Rightarrow$ 2)：$\mathcal{O}_{X,x}\cong\mathcal{O}_{E,x}\cong\mathbb{C}\{z_1,\dots,z_m\}$ であり、これは lem-complex-analytic-space-power-series により正則局所環である。
(3 $\Rightarrow$ 1)：座標を並べ替えて、$r\times r$ 小行列 $(\partial f_i/\partial z_j)(0)_{1\le i,j\le r}$ が可逆であるとしてよい。写像
$$ \Phi:=(f_1,\dots,f_r,z_{r+1},\dots,z_n)\colon D\to\mathbb{C}^n $$
は正則で、$0$ での Jacobi 行列は可逆である。多変数の正則な逆関数定理（Hor90 第 2 章）により、$0$ の開近傍 $D'\subset D$ と $\Phi(0)$ の開近傍 $D''$ があって $\Phi\colon D'\to D''$ は双正則（双正則写像）である。$D''$ の座標を $u=(u_1,\dots,u_n)$ とすると $f_i=u_i\circ\Phi$（$1\le i\le r$）なので、$\Phi$ が誘導する同型 $(D',\mathcal{O}_{D'})\cong(D'',\mathcal{O}_{D''})$ はイデアル層 $(f_1,\dots,f_r)\mathcal{O}_{D'}$ を $(u_1,\dots,u_r)\mathcal{O}_{D''}$ に写し、局所模型 $V(f)\cap D'$ を局所模型 $V(u_1,\dots,u_r)\cap D''$ の上に同型に写す。$E:=\{u''\in\mathbb{C}^{n-r}\mid(0,u'')\in D''\}$ は $\mathbb{C}^{n-r}$ の開集合で、$V(u_1,\dots,u_r)\cap D''=\{0\}\times E$ は $E$ と同相である。制限 $g\mapsto g(0,u'')$ は層の射 $\rho\colon\mathcal{O}_{D''}/(u_1,\dots,u_r)\to\iota_*\mathcal{O}_E$（$\iota\colon E\to D''$、$u''\mapsto(0,u'')$）を定め、各点 $(0,p)$ での茎の写像 $\mathbb{C}\{u-(0,p)\}/(u_1,\dots,u_r)\to\mathbb{C}\{u''-p\}$ は lem-complex-analytic-space-hadamard（原点を $(0,p)$ に平行移動したもの）により同型である。よって $\rho$ は $\{0\}\times E$ 上で層の同型であり、$V(u_1,\dots,u_r)\cap D''\cong(E,\mathcal{O}_E)$ を得る。$m=n-r$ である。
(2 $\Rightarrow$ 3)：$x$ のまわりの局所模型 $V(f_1,\dots,f_r)\subset D\subset\mathbb{C}^n$ を 1 つとり、$x=0$ とする。$R:=\mathbb{C}\{z\}$、$I:=(f_1,\dots,f_r)R$、$A:=\mathcal{O}_{X,0}=R/I$ とおく。$s:=\operatorname{rank}(\partial f_i/\partial z_j)(0)$ とし、$f_i$ を並べ替えて $df_1(0),\dots,df_s(0)$ が一次独立（線形独立）であるとする。$j>s$ に対し、$df_j(0)$ は $df_1(0),\dots,df_s(0)$ の一次結合（線形結合）$\sum_{i\le s}c_{ji}df_i(0)$ なので、$f_j$ を $f_j-\sum_{i\le s}c_{ji}f_i$ に取り替える。これはイデアル層 $(f_1,\dots,f_r)\mathcal{O}_D$ も零点集合も変えないので、局所模型は変わらず、$df_j(0)=0$（$j>s$）としてよい。
$f_1,\dots,f_s$ だけが定める局所模型 $V':=V(f_1,\dots,f_s)$ は、(3 $\Rightarrow$ 1) の議論により、$0$ の近傍 $W\subset D$ 上で $(E,\mathcal{O}_E)$（$E\subset\mathbb{C}^{n-s}$ 開）と同型である。この同型のもとで $f_j$（$j>s$）の $V'$ への制限は $E$ 上の正則関数 $g_j$ に対応し、$g_j(0)=0$、$dg_j(0)=0$ である（$df_j(0)=0$ と、双正則写像・制限が微分を線形に写すことによる）。$V(f_1,\dots,f_r)\cap W$ は $V'\cap W$ の中で $f_{s+1},\dots,f_r$ が定める閉解析的部分空間なので、
$$ A\cong\mathcal{O}_{E,0}/(g_{s+1},\dots,g_r)=R'/J,\qquad R':=\mathbb{C}\{u_1,\dots,u_{n-s}\},\quad J:=(g_{s+1},\dots,g_r)R' $$
である。$\mathfrak{m}'$ を $R'$ の極大イデアルとすると $dg_j(0)=0$ から $J\subset\mathfrak{m}'^2$ であり、$A$ の極大イデアルを $\mathfrak{m}_A=\mathfrak{m}'/J$ とすると
$$ \mathfrak{m}_A/\mathfrak{m}_A^2=\mathfrak{m}'/(\mathfrak{m}'^2+J)=\mathfrak{m}'/\mathfrak{m}'^2 $$
は $n-s$ 次元である。仮定 2 により $\dim A=\operatorname{emb}_0X=n-s=\dim R'$ である（lem-complex-analytic-space-power-series）。
ここで $J=0$ を示す。$J\ne0$ とする。$R'/J$ の次元は $J$ を含む素イデアル $P$ にわたる $\dim R'/P$ の最大値なので、$\dim R'/P=n-s$ となる素イデアル $P\supset J$ があり、$R'$ は整域で $J\ne0$ だから $P\ne0$ である。$R'/P$ の長さ $d$ の素イデアルの鎖 $P=P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_d$ の前に $0\subsetneq P_0$ を付け加えると $R'$ の長さ $d+1$ の鎖になるので、$\dim R'/P+1\le\dim R'=n-s$ となり矛盾する。ゆえに $J=0$ である。
$J=0$ は、各 $g_j$ が $0$ の近傍 $E'\subset E$ 上で恒等的に $0$ であることを意味する。$E'$ に対応する $V'$ の開集合を $V'\cap W'$（$W'\subset W$ は $0$ の開近傍）とすると、各点 $p\in V'\cap W'$ で $f_j$ の芽は $V'$ 上で $0$ なので、lem-complex-analytic-space-hadamard（(3 $\Rightarrow$ 1) の同型を通して $p$ に平行移動したもの）により $f_j\in(f_1,\dots,f_s)\mathcal{O}_{D,p}$ である。$V'$ の外の点では $(f_1,\dots,f_s)\mathcal{O}_{D,p}$ は単位イデアルである。よって $W'$ 上でイデアル層 $(f_1,\dots,f_r)\mathcal{O}_{W'}$ と $(f_1,\dots,f_s)\mathcal{O}_{W'}$ は一致し、局所模型 $V(f_1,\dots,f_r)\cap W'$ と $V(f_1,\dots,f_s)\cap W'$ は一致する。後者の Jacobi 行列 $(\partial f_i/\partial z_j)(0)_{i\le s}$ の階数は $s$、すなわち関数の個数に等しいので、条件 3 が成り立つ。
最後の主張：(3 $\Rightarrow$ 1) で $m=n-r$ を得た。(2 $\Rightarrow$ 3) の議論で $\dim_xX=\dim A=n-s=\operatorname{emb}_xX$ であり、条件 3 の局所模型では $r=s$ である。

1. $\nu(t)=(t^3,t^2)$ は $z^2-w^3=t^6-t^6=0$ を満たすので、正則写像 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}^2$ の $\nu$ は閉解析的部分空間 $C$ を経由し、$C$ への正則写像である。$(z,w)\in C$ に対し、$w=0$ なら $z=0$ で $t=0$ が唯一の逆像である。$w\ne0$ なら $t:=z/w$ とおくと $t^2=z^2/w^2=w^3/w^2=w$、$t^3=tw=z$ であり、逆に $\nu(t)=(z,w)$ なら $t=t^3/t^2=z/w$ なので逆像はただ 1 つである。逆写像 $\nu^{-1}(z,w)=z/w$（$w\ne0$）、$\nu^{-1}(0,0)=0$ は $(0,0)$ 以外で連続であり、$(0,0)$ でも $|z/w|=|t|=|w|^{1/2}\to0$ から連続である。よって $\nu$ は同相写像である。
2. $z^2-w^3$ は $z$ について $2$ 次の Weierstrass 多項式（$z^2+0\cdot z-w^3$）なので、Weierstrass の割り算定理（Weierstrassの予備定理。GR84 第 2 章、Hor90 第 6 章）により、任意の $h\in\mathbb{C}\{z,w\}$ は
   $$ h=q\cdot(z^2-w^3)+a(w)+b(w)z\qquad(q\in\mathbb{C}\{z,w\},\ a,b\in\mathbb{C}\{w\}) $$
   と一意的に書ける。$\nu^{\sharp}(h)=a(t^2)+b(t^2)t^3$ であり、$a(t^2)$ は偶数次の項だけ、$b(t^2)t^3$ は奇数次の項だけからなるので、$\nu^{\sharp}(h)=0$ なら $a(t^2)=0$ かつ $b(t^2)t^3=0$、すなわち $a=b=0$ で $h\in(z^2-w^3)$ である。よって $\nu^{\sharp}$ は単射である。像は $\{a(t^2)+b(t^2)t^3\}$、すなわち $t^1$ の係数が $0$ の級数の全体である（$t^{2k}$ は $a$ から、$t^{2k+3}$ は $b$ から出る。逆に $t^1$ の係数が $0$ の収束級数 $\sum c_kt^k$ は、部分和の級数として収束する $a(w)=\sum c_{2k}w^k$、$b(w)=\sum c_{2k+3}w^k$ から得られる）。$\mathbb{C}\{t\}$ は整域なので、その部分環と同型な $\mathcal{O}_{C,0}$ は整域、とくに被約である。
3. $\mathfrak{m}_0/\mathfrak{m}_0^2$ は $\mathbb{C}\{z,w\}$ の $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\cong\mathbb{C}^2$ を $z^2-w^3$ の 1 次の部分（$=0$）で割ったものなので 2 次元、すなわち $\operatorname{emb}_0C=2$ である。$\dim_0C$ を求める。2 により $\mathcal{O}_{C,0}\cong S:=\mathbb{C}\{t^2,t^3\}\subset\mathbb{C}\{t\}$ である。$\mathbb{C}\{t\}$ は $S$ 上整である。実際、$\sum_ka_kt^k=\sum_ka_{2k}t^{2k}+t\sum_ka_{2k+1}t^{2k}$ で、$\sum_k a_{2k}t^{2k}$ と $\sum_k a_{2k+1}t^{2k}$ は $S$ の元なので $\mathbb{C}\{t\}=S+St$ は有限生成 $S$ 加群（有限生成加群）であり、$t$ は $S$ 上整である。整拡大（整拡大）は Krull 次元を保つので（AM69 第 5 章）、$\dim S=\dim\mathbb{C}\{t\}=1$（lem-complex-analytic-space-power-series）である。よって $\dim_0C=1<2=\operatorname{emb}_0C$ であり、原点は特異点である。prop-complex-analytic-space-smooth-point により $C$ は原点の近傍で複素多様体でない。$\mathbb{C}$ は複素多様体なので $\nu$ は同型でない（同型なら $\mathcal{O}_{C,0}\cong\mathbb{C}\{t\}$ が正則局所環になる）。

正則写像 $(\varphi,\varphi^{\sharp})\colon D_2\to Y$ は、点 $y:=\varphi(0)\in Y$ と、$\mathbb{C}$ 代数の層の射 $\varphi^{\sharp}\colon\mathcal{O}_Y\to\varphi_*\mathbb{C}[\varepsilon]$ からなる。$\varphi_*\mathbb{C}[\varepsilon]$ は $y$ を含む開集合上で $\mathbb{C}[\varepsilon]$、含まない開集合上で $0$ の層（1 点 $y$ の上の摩天楼層）なので、$\varphi^{\sharp}$ を与えることは茎での $\mathbb{C}$ 代数準同型 $\theta\colon\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathbb{C}[\varepsilon]$ を与えることと同じである。局所準同型の条件は $\theta(\mathfrak{m}_y)\subset\mathbb{C}\varepsilon$ である。$\mathbb{C}[\varepsilon]=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\varepsilon$ の分解に従って $\theta(f)=\theta_0(f)+\delta(f)\varepsilon$ と書くと、$\varepsilon^2=0$ により $\theta(f)\theta(g)=\theta_0(f)\theta_0(g)+(\theta_0(f)\delta(g)+\theta_0(g)\delta(f))\varepsilon$ なので、$\theta$ が $\mathbb{C}$ 代数の準同型であることは、$\theta_0\colon\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathbb{C}$ が $\mathbb{C}$ 代数の準同型で、$\delta$ が $\mathbb{C}$ 線形かつ $\delta(fg)=\theta_0(f)\delta(g)+\theta_0(g)\delta(f)$ を満たすことと同値である。$\mathcal{O}_{Y,y}=\mathbb{C}\oplus\mathfrak{m}_y$ なので、局所準同型の条件により $\theta_0(f)=f(y)$（$f$ の値）でなければならず、$\theta_0$ は一意である。$\delta$ は $\mathbb{C}$ 上で $0$（$\delta(1)=\delta(1\cdot1)=2\delta(1)$）、$\mathfrak{m}_y^2$ 上で $0$（$f,g\in\mathfrak{m}_y$ なら $\delta(fg)=f(y)\delta(g)+g(y)\delta(f)=0$）なので、$\delta$ は線形写像 $v\colon\mathfrak{m}_y/\mathfrak{m}_y^2\to\mathbb{C}$、すなわち $T_yY$ の元を定め、$v$ で決まる。逆に $v\in T_yY$ が与えられたとき、$\delta(c+f):=v(f\bmod\mathfrak{m}_y^2)$（$c\in\mathbb{C}$、$f\in\mathfrak{m}_y$）とおくと、$\delta$ は $\mathbb{C}$ 線形で、$(c+f)(c'+f')=cc'+(cf'+c'f)+ff'$ から $\delta((c+f)(c'+f'))=cv(f')+c'v(f)=\theta_0(c+f)\delta(c'+f')+\theta_0(c'+f')\delta(c+f)$ を満たす。よって $\theta:=\theta_0+\delta\varepsilon$ は局所準同型で、$(y,v)$ から正則写像が定まる。2 つの構成は互いに逆である。
$Y$ が $y$ の近くで $m$ 次元の複素多様体なら $\mathcal{O}_{Y,y}\cong\mathbb{C}\{u_1,\dots,u_m\}$ で、$\mathfrak{m}_y/\mathfrak{m}_y^2$ は $u_1,\dots,u_m$ を基底とする $m$ 次元空間なので、$T_yY\cong\mathbb{C}^m$ である。この対応で $v$ に対応する $\theta$ は $f\mapsto f(y)+\sum_iv_i(\partial f/\partial u_i)(y)\varepsilon$、すなわち「$y$ での値と方向 $v$ への方向微分」である。