畳み込みとLaplace変換

同義語：畳み込み定理（Laplace変換）Duhamelの原理

概要

前提知識: Laplace変換、逆Laplace変換、畳み込み、Fubiniの定理、線形微分方程式

畳み込みとLaplace変換（convolution and the Laplace transform）とは、時間領域での積分による組合せを変換領域での積として計算する方法である。片側の畳み込み定理、入力に対する線形系の応答、畳み込み型の積分方程式を扱う。積の逆変換を単なる関数の積にしてはならず、積分の順序を交換できる条件も必要になる。

片側の畳み込み

因果的な関数の畳み込み

$[0,\infty)$ 上の区分的に連続な関数 $f,g$ に対し、
$$ (f*g)(t)=\int_0^t f(v)g(t-v)\,dv\qquad(t\ge0) $$
を片側の畳み込みと呼ぶ。固定した $t\ge0$ について両関数を $[0,t]$ に制限し、その外で零にした関数を $\widetilde f_t,\widetilde g_t$ とする。畳み込みの定義「畳み込み」は対称正規化を用いているため、その演算を $*_{\mathrm{sym}}$ と書くと、本記事の値は $(f*g)(t)=\sqrt{2\pi}\,(\widetilde f_t*_{\mathrm{sym}}\widetilde g_t)(t)$ となる。

区分的に連続なら有限区間でこの積分は存在する。例えば指数的に増える関数でも、固定した $t$ については有限な区間しか使わないので畳み込みは定義できる。ただし、この事実だけではLaplace変換の存在を保証しない。変換の積に移るには、無限区間での重み付き絶対積分の有限性を確認する。
変数を $r=t-v$ とすれば、$f*g=g*f$ となる。これは、時刻 $t$ までの二つの履歴を、和が $t$ になる組で組み合わせる積分である。$f(v)$ と $g(t-v)$ の同じ時刻の値を掛ける点ごとの積 $f(t)g(t)$ とは違う。畳み込みは過去のすべての時刻の寄与を加えるため、記憶を持つ系の応答を表す。
全実数上の畳み込みの可換性と結合性は畳み込みの命題「可換性と結合性」を参照する。指数的に増える関数は全実数で $L^1$ に属さないことがあるが、固定した時刻 $t$ までに関数を切れば $L^1$ 関数になる。$[0,t]$ 上の値はこの切断で変わらない。同じ非零の正規化定数が結合性の両辺に二度ずつ掛かるので、そこで得た結合性を片側の畳み込みにも使える。切断した関数は有界で有限な台を持つため、その畳み込みには積分で与えられる各点の代表を用いる。

積分の順序を交換する条件

畳み込みの指数オーダー

$f,g$ が区分的に連続で、$t\ge0$ に対して
$$ |f(t)|\le M e^{at},\qquad |g(t)|\le N e^{bt} $$
を満たすとする。$c=\max(a,b)$ と置くと
$$ |(f*g)(t)|\le MNt e^{ct}. $$
従って任意の $\eta>0$ に対し $f*g$ は $c+\eta$ の指数オーダーを持つ。また $f*g$ は連続である。

各 $0\le v\le t$ で
$$ |f(v)g(t-v)|\le MN e^{av+b(t-v)}\le MN e^{ct} $$
だから、積分すれば表示した上界を得る。$t e^{-\eta t}$ の最大値は $1/(e\eta)$ なので、
$$ |(f*g)(t)|\le\frac{MN}{e\eta}e^{(c+\eta)t} $$
となる。
連続性は有限区間で確認する。$t_n\to t\ge0$ とし、すべての $t_n$ を含む $[0,T]$ を選ぶ。$f,g$ をこの区間の外で零に延長すると有界である。$g$ は区分的に連続なので、有限区間内の跳びの点以外で $g(t_n-v)\to g(t-v)$ となる。跳びに対応する $v$ の集合は有限で積分に影響しない。積分区間の違いも、その長さが $|t_n-t|$ で被積分関数が有界なので零へ収束する。従って有界収束によって畳み込みの値が収束する。$t=0$ でも $|f*g(t)|\le C t$ から連続である。

ここで区分的連続とは、各有限区間を有限個の小区間に分け、各小区間で連続で有限な片側極限を持つという意味である。連続性の証明で無視できるのは有限区間内の有限個の跳びであり、無条件にすべての不連続点を無視しているわけではない。

片側の畳み込み定理

上の指数オーダーの条件の下で、$F=\mathcal L[f]$、$G=\mathcal L[g]$ とすれば、
$$ \mathcal L[f*g](s)=F(s)G(s) \qquad(\operatorname{Re}s>\max(a,b)). $$

$\sigma=\operatorname{Re}s>\max(a,b)$ と置く。二重積分の絶対値の上界は、変数 $r=t-v$ を使って
$$ \begin{aligned} &\int_0^\infty\int_0^t e^{-\sigma t}|f(v)g(t-v)|\,dv\,dt\\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-\sigma(v+r)}|f(v)g(r)|\,dr\,dv\\ &=\left(\int_0^\infty e^{-\sigma v}|f(v)|\,dv\right) \left(\int_0^\infty e^{-\sigma r}|g(r)|\,dr\right)\\ &\le\frac{M}{\sigma-a}\frac{N}{\sigma-b}<\infty. \end{aligned} $$
この絶対可積分性により、Fubiniの定理を適用できる。三角形 $0\le v\le t$ は $v,r\ge0$ の第一象限に変わり、
$$ \begin{aligned} \mathcal L[f*g](s) &=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-s(v+r)}f(v)g(r)\,dr\,dv\\ &=\left(\int_0^\infty e^{-sv}f(v)\,dv\right) \left(\int_0^\infty e^{-sr}g(r)\,dr\right) =F(s)G(s). \end{aligned} $$
複素数の指数についても絶対値は $e^{-\sigma(v+r)}$ なので同じ評価が使える。

prop-clt-order では指数 $c+\eta$ の上界を得たが、定理の定義域は $\operatorname{Re}s>c$ である。任意の $\sigma>c$ に対して $0<\eta<\sigma-c$ を選べるから矛盾しない。さらに二重積分の評価では直接 $\sigma>c$ の収束が示されている。
逆向きには、$F G$ が $f*g$ の変換であることと逆Laplace変換の定理「Lerchの一意性定理」から、連続な逆変換として $f*g$ を得る。この使い方では、二つの変換が共通の半平面で存在することが前提になる。別々の式を掛けるだけで、存在しない変換を作れるわけではない。

積の逆変換を求める

$f(t)$	$g(t)$	$(f*g)(t)$	条件・根拠
$e^{at}$	$e^{bt}$	$(e^{at}-e^{bt})/(a-b)$	$a\ne b$、直接積分
$e^{at}$	$e^{at}$	$t e^{at}$	同じ指数、積分区間の長さが残る
$1$	$f(t)$	$\int_0^t f(v)\,dv$	積分の変換 $F/s$
$\sin\omega t$	$\sin\omega t$	$(\sin\omega t-\omega t\cos\omega t)/(2\omega)$	$\omega>0$、積和公式
$t^m$	$t^n$	$m!n!t^{m+n+1}/(m+n+1)!$	$m,n$ は非負整数、Beta積分

指数が一致する場合の行は、異なる指数の行の分母を零にして使うのではなく、積分から直接求めるか、$b\to a$ の極限を取る。重根が現れると時間領域に $t$ の因子が付くという逆変換の規則とも一致する。
三角関数の行を確認すると、積和公式により
$$ \sin\omega v\sin\omega(t-v) =\frac12\{\cos(2\omega v-\omega t)-\cos\omega t\}. $$
第一項の積分は $\sin\omega t/(2\omega)$、第二項は $-t\cos\omega t/2$ なので表の式になる。この計算では、積の変換と畳み込みの変換を区別したことが式の形に現れる。
多項式の行は $v=tu$ と変数を換えると、積分が
$$ t^{m+n+1}\int_0^1 u^m(1-u)^n\,du $$
になる。部分積分を $n$ 回行えば積分値は $m!n!/(m+n+1)!$ と分かる。変換の側では $m!/s^{m+1}$ と $n!/s^{n+1}$ の積になり、その逆変換と同じ係数を得る。
計算を進める際は、次の順が使いやすい。

逆変換したい式を二つの因子 $F(s)G(s)$ に分ける。
各因子の逆変換 $f,g$ と共通の収束半平面を確認する。
$\int_0^t f(v)g(t-v)\,dv$ を書き、積分を実行する。
直接積分が複雑なら、同じ有理式の部分分数による逆変換とも比較する。
得た関数を再変換し、積 $FG$ と一致することを確かめる。

異なる二つの減衰

$$ F(s)G(s)=\frac1{(s+2)(s+3)} $$
の逆変換は
$$ \int_0^t e^{-2v}e^{-3(t-v)}\,dv =e^{-2t}-e^{-3t}. $$
$t=1$ の値は $(f*g)(1)\approx0.085548$（小数第6位まで）である。点ごとの積 $e^{-5t}$ ではない。部分分数 $1/(s+2)-1/(s+3)$ から求めても同じ式になる。

同じ振動の畳み込み

$$ \mathcal L^{-1}\left[\frac4{(s^2+4)^2}\right](t) =(\sin2t*\sin2t)(t) =\frac{\sin2t-2t\cos2t}{4}. $$
$t=1$ の値は $(f*g)(1)\approx0.435398$（小数第6位まで）である。$t\cos2t$ が現れるので、二つの有界な関数の畳み込みが有界になるとは限らない。各時刻までの積分区間の長さも増えるためである。

積分としての畳み込み

$f(t)=t e^{-t}$ とすると、
$$ (1*f)(t)=\int_0^t v e^{-v}\,dv =1-(t+1)e^{-t}. $$
変換は $1/[s(s+1)^2]$ である。$t=1$ の値は $(1*f)(1)\approx0.264241$（小数第6位まで）となる。積分の変換公式は、畳み込み定理で一方の関数を $1$ に選んだ場合とも読める。

入力と応答の組合せ

零初期状態の二階系
$$ y''+cy'+ky=g(t) $$
を考える。変換すると $Y=HG$、$H=1/(s^2+cs+k)$ になる。$h=\mathcal L^{-1}[H]$ とすれば、畳み込み定理により $y=h*g$ である。$c=0$、$k=\omega^2>0$ の場合には、$h$ はデルタ関数とLaplace変換の定義「振動系のインパルス応答」に一致する。一般の $c,k$ では、それぞれの $H$ の逆変換を用いる。
この表示は線形微分方程式の定理「定数変化法の公式（Duhamel の公式）」と系「2 階の方程式の定数変化法」の時間領域の表示に一致する。ここで新しく使ったのは、時間領域の積分を変換の積 $HG$ として導く方法である。既存の存在・一意性定理を別に立て直す必要はない。
例えば $y''+4y=g$ なら $h(t)=\sin2t/2$ で、
$$ y(t)=\frac12\int_0^t\sin2(t-v)g(v)\,dv. $$
連続な $g$ について一回微分すると、端点の項は $h(0)g(t)=0$ になる。しかし二回目には $h'(0)g(t)=g(t)$ が残る。従って
$$ y''(t)=g(t)-4\int_0^t h(t-v)g(v)\,dv=g(t)-4y(t). $$
この端点の項を落とすと、非零入力にもかかわらず斉次方程式しか得られない。積分区間の上端が変わる微分では、積分内の微分と端点の項の両方を数える必要がある。
入力が区分的に連続なら同じ表示で $y$ と $y'$ は連続となり、各連続区間で方程式を満たす。入力の跳びは $y''$ の跳びへ現れる。入力にデルタが含まれる場合は通常の関数の畳み込みだけでなく測度との積分へ拡張する。例えば $h*\delta_a=h(t-a)u(t-a)$ となるが、その正当化はデルタ関数とLaplace変換の矩形近似の議論による。

畳み込み型の積分方程式

過去の値を用いる積分方程式

連続な $f,k$ が与えられたとき、未知関数 $y$ が
$$ y(t)=f(t)+\int_0^t k(t-v)y(v)\,dv $$
を満たす問題を考える。これは畳み込み型のVolterra積分方程式の一例である。以下ではこの形だけを扱う。

積分は時刻 $t$ より後の $y$ を使わない。従って初期時刻では $y(0)=f(0)$ が決まり、後の値は過去の履歴から順に決まる。これは固定区間全体を積分する積分方程式とは異なる構造である。

連続な核に対する存在と一意性

連続な $f,k$ に対して、上の方程式には $[0,\infty)$ 上で唯一の連続解がある。さらに $|f(t)|\le M e^{at}$、$|k(t)|\le N e^{bt}$ なら解は指数オーダーであり、その変換は、十分右側の半平面で
$$ Y(s)=\frac{F(s)}{1-K(s)} $$
を満たす。

まず有限区間 $[0,T]$ を固定し、$|f|\le B$、$|k|\le C$ とする。作用素 $Aq=k*q$ と置く。反復積分を行うと、$\|q\|_\infty\le D$ に対して
$$ |(A^nq)(t)|\le D\frac{C^n t^n}{n!} $$
となる。$n=0$ では明らかで、$n$ の式を積分すれば $n+1$ の式が得られる。
従って級数 $y=\sum_{n=0}^\infty A^n f$ は $[0,T]$ で絶対かつ一様に収束する。各項は連続なので $y$ も連続であり、項別に $A$ を作用させて $Ay=\sum_{n=1}^\infty A^n f$ を得る。従って $y=f+Ay$ を満たす。
二つの解の差 $z$ は $z=Az$ となるので、すべての $n$ に対して
$$ |z(t)|\le\|z\|_\infty\frac{C^nT^n}{n!}. $$
右辺は $n\to\infty$ で零になる。従って解は一意である。区間を長くしても、共通部分の解は一意性により一致するので全半直線の解が定まる。
指数オーダーの仮定の下では $c=\max(a,b)$ と置き、同じ反復積分を指数重み付きで評価する。各積分で現れる指数の積は $e^{ct}$ 以下なので、
$$ |(A^nf)(t)|\le M e^{ct}\frac{N^n t^n}{n!}. $$
級数を足すと $|y(t)|\le M e^{(c+N)t}$ である。従って変換は十分大きな実部で存在する。畳み込み定理を適用して $Y=F+KY$ を得る。一方 $|K(s)|\le N/(\operatorname{Re}s-b)$ なので、$\operatorname{Re}s>b+N$ では $|K(s)|<1$、従って $1-K(s)\ne0$ である。この共通の半平面で式を解けば表示した $Y$ となる。

この順序は、変換の式から解の存在を推測するだけの議論と異なる。まず時間領域で唯一の解と指数評価を得た後で変換する。式 $F/(1-K)$ に零点や極があっても、変換の存在する十分右側では分母が零にならないことまで確認できる。

定数核の方程式

$$ y(t)=1+2\int_0^t y(v)\,dv $$
では $F=1/s$、$K=2/s$ だから、$Y=1/(s-2)$ となり $y(t)=e^{2t}$ を得る。元の式に代入すると $1+2\int_0^t e^{2v}\,dv=e^{2t}$ で確かめられる。$t=1/2$ の値は $e\approx2.718282$（小数第6位まで）である。変換の収束領域は $\operatorname{Re}s>2$ となり、入力と核が有界でも解が増大することが分かる。

条件を落としたときの問題

誤り	原因	確認する点
積 $FG$ の逆変換を $fg$ とする	積と畳み込みの取り違え	時間領域では積分をする
積分の順序を無条件に交換する	絶対積分の条件を省く	指数重みの二重積分を評価する
$h*g$ を二回微分して $g$ を落とす	端点の項を忘れる	$h'(0)g(t)$ を残す
有界な入力と核なら解も有界とする	履歴の累積を無視する	核の反復作用を調べる
外す条件	反例	成り立たなくなること
:--	:--	:--
積と畳み込みの区別	$f=g=1$	$f*g=t$ だが $fg=1$、変換はそれぞれ $1/s^2$ と $1/s$
局所可積分性	$f(v)=1/v$、$g=1$	$\int_0^t dv/v$ が発散する
変換の存在	$f(t)=e^{t^2}$、$g=1$	有限時刻の畳み込みは存在してもLaplace変換は存在しない
解の有界性の検討	核 $k=2$、入力 $f=1$	ex-clt-volterra の解は $e^{2t}$ で増大する

三番目の反例では、$t>1$ のとき畳み込みは $\int_0^t e^{v^2}\,dv\ge e^{(t-1)^2}$ である。従ってどの指数重みを掛けても無限区間の積分は発散する。有限区間の積分が存在することと、変換が存在することは別の条件である。
LebDQ26 §6.3には畳み込み定理とVolterra方程式の例がある。本記事では変換の積を使う前に、二重積分の絶対収束と未知の解の指数オーダーを確認する形にした。

支持と時間推移

畳み込みの積分区間は因果性を表すだけでなく、応答が始まる時刻も決める。$f(t)=0$ が $0\le t< a$ で成り立ち、$g(t)=0$ が $0\le t< b$ で成り立つなら、$f*g$ は $t< a+b$ で零である。実際、積分の中で両因子が非零になるには、$v\ge a$ と $t-v\ge b$ が同時に必要で、従って $t\ge a+b$ でなければならない。
より具体的に $f_a(t)=f(t-a)u(t-a)$、$g_b(t)=g(t-b)u(t-b)$ とすると、
$$ (f_a*g_b)(t)=(f*g)(t-a-b)u(t-a-b). $$
$t\ge a+b$ のとき非零になる積分区間は $a\le v\le t-b$ であり、$r=v-a$ とすれば
$$ \int_0^{t-a-b}f(r)g(t-a-b-r)\,dr $$
になる。$t< a+b$ では両辺とも零である。従って二つの遅れは畳み込みの中で足し合わされる。
変換の側でも、時間推移による $e^{-as}F(s)$ と $e^{-bs}G(s)$ の積は $e^{-(a+b)s}F(s)G(s)$ である。時間領域の積分から得た開始時刻と一致する。この確認は、途中で複数の入力が始まる問題で、応答を早く開始してしまう誤りを防ぐ。
有限の台を持つ場合も同様である。$f$ が $[a,A]$、$g$ が $[b,B]$ の外で零なら、畳み込みは $[a+b,A+B]$ の外で零である。特に矩形と矩形の畳み込みが三角形や台形になるのは、二つの区間の重なる長さを積分が数えるためである。二つの矩形を点ごとに掛けた場合に得られる矩形とは形が異なる。
一方の関数だけが有限の台を持っていても、もう一方が減衰しながら永久に続けば、畳み込みも一般には永久に続く。有限時間だけ力を加えた系で、入力終了後も応答が残ることはこの構造で説明できる。入力の台と出力の台が同じになると決めつけず、核であるインパルス応答の台も見る必要がある。
連続な $f,g$ については $(f*g)(0)=0$ である。積分区間が一点に縮むためで、片側の畳み込みで生じた零状態応答が原点の値を持たないことと一致する。ただしデルタとの畳み込みは測度との積分なので、この説明をそのまま適用できない。$f*\delta_0=f$ では $f(0)$ が零である必要はない。通常の関数と測度を同じ積分の規則で扱ってしまわないよう、入力の種類を確認する。
図の重なりを考える際にも、片側の条件 $0\le v\le t$ を保つ。負の時刻の寄与を加えると、別の積分になってしまう。