有限多重ゼータ値
概要
有限多重ゼータ値（finite multiple zeta value）とは、多重調和和 $\sum_{0<n_1<\cdots<n_r<p}n_1^{-k_1}\cdots n_r^{-k_r}$ を素数 $p$ を法として見た値をすべての素数にわたって束ねた環 $\mathcal{A}=(\prod_p\mathbb{F}_p)/(\bigoplus_p\mathbb{F}_p)$ の元のことである。Kaneko と Zagier が導入した多重ゼータ値の類似で、収束条件を必要とせず、深さ $1$ の値はすべて $0$ になり、調和関係式・シャッフル関係式・対称和公式・和公式など多重ゼータ値と平行する関係式を満たす。$\zeta(2)$ を法とした対称多重ゼータ値との間に代数の同型があるという Kaneko–Zagier 予想が研究の動機である。
前提知識: 多重ゼータ値, 有限体, 素数, 環, イデアル, Bernoulli数
定義
インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$（正整数の有限列）、重さ $\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})$、深さ $\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})$、縮約インデックス $\preceq$、逆転インデックス $\overleftarrow{\boldsymbol{k}}$、Hoffman 双対インデックス $\boldsymbol{k}^{\vee}$、$\oplus$、$\{X\}^r$、Hoffman 代数 $\mathfrak{H}^1$ と調和積 $\ast$・シャッフル積 $\mathbin{\text{ш}}$ の記法は公開記事 多重ゼータ値 のものを用いる。有限多重ゼータ値では和が有限なので、収束のための許容条件（$k_r\ge 2$）は不要である。
正整数 $M$ とインデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し、有限和
$$\zeta_{< M}(\boldsymbol{k}):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< M}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}},\qquad\zeta^{\star}_{< M}(\boldsymbol{k}):=\sum_{0< n_1\le\cdots\le n_r< M}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$$
を多重調和和（multiple harmonic sum）およびそのスター版という（$\zeta_{< M}(\emptyset)=\zeta^{\star}_{< M}(\emptyset)=1$）。これらは有理数である。$M=p$ が素数のとき、各 $n_i$ は $1\le n_i\le p-1$ を満たすので $p$ と互いに素であり、$\zeta_{< p}(\boldsymbol{k})$、$\zeta^{\star}_{< p}(\boldsymbol{k})$ は分母が $p$ で割れない有理数、したがって $p$ を法とした剰余として有限体 $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元を定める。
すべての素数 $p$ にわたる有限体の直積を、有限個の成分を除いて $0$ である元全体のなすイデアルで割った商環
$$\mathcal{A}:=\Bigl(\prod_{p}\mathbb{F}_p\Bigr)\Big/\Bigl(\bigoplus_{p}\mathbb{F}_p\Bigr)$$
を考える。$\mathcal{A}$ の元は「有限個の素数を除いて定まる」$(a_p)_p$ の族であり、有理数 $a$ の分母を割らない素数 $p$ について $a\bmod p$ を並べることで $\mathbb{Q}\to\mathcal{A}$ が定まる（この写像は単射で、$\mathcal{A}$ は $\mathbb{Q}$ 代数である。以下 $\mathbb{Q}\subset\mathcal{A}$ とみなす）。インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し
$$\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k}):=\bigl(\zeta_{< p}(\boldsymbol{k})\bmod p\bigr)_p\in\mathcal{A},\qquad\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k}):=\bigl(\zeta^{\star}_{< p}(\boldsymbol{k})\bmod p\bigr)_p\in\mathcal{A}$$
をそれぞれ有限多重ゼータ値（finite multiple zeta value、$\mathcal{A}$-多重ゼータ値）、有限多重ゼータスター値という。有限多重ゼータ値全体が生成する $\mathcal{A}$ の $\mathbb{Q}$ 部分代数を $\mathcal{Z}_{\mathcal{A}}$ と書く。$\zeta_{\mathcal{A}}$、$\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}$ はインデックスの $\mathbb{Q}$ 線形結合に対し線形に拡張し、$\mathbb{Q}$ 線形写像 $Z_{\mathcal{A}}\colon\mathfrak{H}^1\to\mathcal{A}$ を $z_{\boldsymbol{k}}\mapsto\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})$、$1\mapsto 1$ で定める。
正整数 $n$ に対し $\mathcal{A}_n:=\Bigl(\prod_p\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}\Bigr)\Big/\Bigl(\bigoplus_p\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}\Bigr)$ とおき（$\mathcal{A}_1=\mathcal{A}$）、自然な射影 $\mathcal{A}_{n+1}\to\mathcal{A}_n$ に関する射影極限を $\widehat{\mathcal{A}}:=\varprojlim_n\mathcal{A}_n$ とおく。$\boldsymbol{p}:=(p)_p\in\widehat{\mathcal{A}}$ とおくと $\mathcal{A}_n=\widehat{\mathcal{A}}/\boldsymbol{p}^{n}\widehat{\mathcal{A}}$ である。インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し
$$\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k}):=\bigl(\zeta_{< p}(\boldsymbol{k})\bmod p^{n}\bigr)_{p,n}\in\widehat{\mathcal{A}},\qquad\zeta_{\mathcal{A}_n}(\boldsymbol{k}):=\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k})\bmod\boldsymbol{p}^{n}\in\mathcal{A}_n$$
を $p$ 進有限多重ゼータ値（$\widehat{\mathcal{A}}$-多重ゼータ値）、$\mathcal{A}_n$-多重ゼータ値という。スター版 $\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{A}}}$、$\zeta^{\star}_{\mathcal{A}_n}$ も同様に定める。$\zeta_{\mathcal{A}_1}=\zeta_{\mathcal{A}}$ である。
直感
多重ゼータ値の級数 $\sum_{0< n_1<\cdots< n_r}$ を素数 $p$ の手前で打ち切った有限和 $\zeta_{< p}(\boldsymbol{k})$ を $p$ を法として見ると、各素数ごとに有限体の元が得られる。個々の素数 $p$ に対する値は $p$ に強く依存して規則性が見えにくいが、「有限個の素数の違いは無視する」という環 $\mathcal{A}$ の中で束ねると、多重ゼータ値の関係式と平行する関係式（調和積、対称和公式、和公式、双対性、Ohno 型関係式など）が現れる。しかも深さ $1$ の値はすべて $0$ になり（prop-finite-multiple-zeta-value-depth-one）、実数値の多重ゼータ値の世界で「$\zeta(2)$ を $0$ とみなす」ことに対応する。この対応を精密に述べたものが Kaneko–Zagier 予想（conj-finite-multiple-zeta-value-kaneko-zagier）であり、対称多重ゼータ値が実数側の相手役である。
例
任意の正整数 $k$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(k)=0$ である（prop-finite-multiple-zeta-value-depth-one）。例えば $k=1$ では、$p=5$ のとき $\zeta_{<5}(1)=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}\equiv 0\pmod 5$、$p=7$ のとき $\zeta_{<7}(1)=\frac{49}{20}\equiv 0\pmod 7$ である。実際には Wolstenholme の定理により $p\ge 5$ で $\zeta_{< p}(1)\equiv 0\pmod{p^2}$ が成り立つ（thm-finite-multiple-zeta-value-p-adic-depth-one）。
$\zeta_{\mathcal{A}}(1,1)=0$ である（cor-finite-multiple-zeta-value-depth-two-symmetric）。一方、深さ $2$ の各素数成分は一般には消えない。実際、$p=5$ では $\mathbb{F}_5$ で $1^{-2}=1$、$2^{-2}=4$、$3^{-2}=4$、$4^{-2}=1$、$2^{-1}=3$、$3^{-1}=2$、$4^{-1}=4$ なので
$$\zeta_{<5}(2,1)=\sum_{0< n_1< n_2<5}\frac{1}{n_1^2n_2}\equiv 1\cdot 3+1\cdot 2+1\cdot 4+4\cdot 2+4\cdot 4+4\cdot 4\equiv 3+2+4+3+1+1=14\equiv 4\pmod 5$$
であり（組 $(n_1,n_2)$ を $(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)$ の順に並べた）、同様の計算で $p=7$ でも $\zeta_{<7}(2,1)\equiv 4\pmod 7$ である。これは thm-finite-multiple-zeta-value-depth-two の成分公式 $\zeta_{< p}(2,1)\equiv-B_{p-3}\pmod p$ と整合する（$p=5$: $-B_2=-\frac16\equiv 4$、$p=7$: $-B_4=\frac{1}{30}\equiv 4$）。ただし、有限個の素数成分の計算から商環 $\mathcal A$ における非零性は結論できない。
任意の正整数 $k,r$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(\{k\}^r)=\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\{k\}^r)=0$ である（prop-finite-multiple-zeta-value-repeated）。例えば $\zeta_{\mathcal{A}}(2,2)=0$ であり、これは実数側の $\zeta(2,2)=\frac{3}{4}\zeta(4)\in\zeta(2)\mathcal{Z}$ が「$\zeta(2)$ を法として $0$」であることに対応している。
深さ $1$ の合同式 $\zeta_{< p}(k)\equiv 0\pmod p$ は、$p-1$ が $k$ を割るときには成り立たない。例えば $k=4$、$p=5$ では Fermat の小定理により $n^{-4}\equiv 1$ なので $\zeta_{<5}(4)\equiv 4\not\equiv 0\pmod 5$ である。したがって「すべての素数 $p$ について $\zeta_{< p}(k)\equiv 0$」は偽であり、有限個の素数を無視する環 $\mathcal{A}$ で考えて初めて $\zeta_{\mathcal{A}}(k)=0$ が成り立つ。すなわち、有限個の例外を無視するという $\mathcal{A}$ の定義を外すと、深さ $1$ の消滅という性質は破れる。また、深さ $1$ の成分ごとの消滅は深さ $2$ の各素数成分には拡張されない（ex-finite-multiple-zeta-value-depth-two）。
性質
基本的な関係式
任意の正整数 $k$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(k)=0$ である。より正確に、素数 $p$ が $p-1\nmid k$ を満たせば $\zeta_{< p}(k)=\sum_{n=1}^{p-1}n^{-k}\equiv 0\pmod p$ である。
$p-1\nmid k$ とする。$\mathbb{F}_p$ の乗法群 $\mathbb{F}_p^{\times}$ は位数 $p-1$ であり、多項式 $X^{k}-1$ は体 $\mathbb{F}_p$ 上高々 $k$ 個の根しか持たない。$p-1\nmid k$ なら $k'$ を $k$ を $p-1$ で割った余り（$0< k'< p-1$）とすると Fermat の小定理により $a^{k}=a^{k'}$ であり、$X^{k'}-1$ の根は高々 $k'< p-1$ 個なので、$a^{k}\ne 1$ を満たす $a\in\mathbb{F}_p^{\times}$ が存在する。$n\mapsto an$ は $\mathbb{F}_p^{\times}$ の全単射なので、$S:=\sum_{n\in\mathbb{F}_p^{\times}}n^{-k}$ に対し $S=\sum_{n}(an)^{-k}=a^{-k}S$、すなわち $(1-a^{-k})S=0$ であり、$a^{-k}\ne 1$ から $S=0$ を得る。$p-1\nmid k$ は $p>k+1$ なら常に成り立つので、有限個の素数を除いて $\zeta_{< p}(k)\equiv 0$ であり、$\zeta_{\mathcal{A}}(k)=0$ である。$\square$
任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})}\zeta_{\mathcal{A}}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}})$、$\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})}\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}})$ が成り立つ。
$\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ とし、素数 $p$ を固定する。$0< n_1<\cdots< n_r< p$ に対し $m_i:=p-n_{r+1-i}$ とおくと $0< m_1<\cdots< m_r< p$ であり、この対応は和の範囲の全単射である。$\mathbb{F}_p$ では $n_{r+1-i}\equiv -m_i$ なので
$$\zeta_{< p}(\boldsymbol{k})=\sum\prod_{i=1}^{r}\frac{1}{n_i^{k_i}}\equiv\sum\prod_{i=1}^{r}\frac{1}{(-m_{r+1-i})^{k_i}}=(-1)^{k_1+\cdots+k_r}\sum_{0< m_1<\cdots< m_r< p}\prod_{i=1}^{r}\frac{1}{m_i^{k_{r+1-i}}}=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})}\zeta_{< p}(\overleftarrow{\boldsymbol{k}})\pmod p$$
である。スター版も $\le$ を用いて同様である。$\square$
任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{l})$ が成り立つ。同じ等式は $\widehat{\mathcal{A}}$、$\mathcal{A}_n$ でも成り立つ。したがって $\mathcal{Z}_{\mathcal{A}}$ は有限多重ゼータ値の $\mathbb{Q}$ 線形結合全体に一致し、$Z_{\mathcal{A}}\colon\mathfrak{H}^1_{\ast}\to\mathcal{A}$ は環の準同型である。
多重ゼータ値の記事の調和関係式の証明で示したように、任意の正整数 $M$ とインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し有理数の等式 $\zeta_{< M}(\boldsymbol{k})\zeta_{< M}(\boldsymbol{l})=\zeta_{< M}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})$ が成り立つ（和の範囲を $n< m$、$m< n$、$n=m$ に分ける議論で、有限和なので許容性は不要である）。$M=p$ として両辺を $p$ を法として見れば主張を得る。$\widehat{\mathcal{A}}$ では $p^{n}$ を法として見ればよい。$\square$
正整数 $k,l$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(k,l)+\zeta_{\mathcal{A}}(l,k)=0$、$\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(k,l)+\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(l,k)=0$ である。特に $\zeta_{\mathcal{A}}(k,k)=0$、$\zeta_{\mathcal{A}}(1,1)=0$ である。
調和積 $(k)\ast(l)=(k,l)+(l,k)+(k+l)$ に prop-finite-multiple-zeta-value-harmonic と prop-finite-multiple-zeta-value-depth-one を適用すると $\zeta_{\mathcal{A}}(k,l)+\zeta_{\mathcal{A}}(l,k)=\zeta_{\mathcal{A}}(k)\zeta_{\mathcal{A}}(l)-\zeta_{\mathcal{A}}(k+l)=0$ である。スター版は $\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(k,l)=\zeta_{\mathcal{A}}(k,l)+\zeta_{\mathcal{A}}(k+l)=\zeta_{\mathcal{A}}(k,l)$ から従う。$\zeta_{\mathcal{A}}(k,k)=0$ は $k=l$ とおき、$\mathcal{A}$ の各成分 $\mathbb{F}_p$（$p$ は奇素数）で $2$ が可逆であることを用いる。$\square$
任意の正整数 $k,r$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}}(\{k\}^r)=\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\{k\}^r)=0$ である。
素数 $p>\max(r,rk+1)$ を固定し、$x_n:=n^{-k}\in\mathbb{F}_p$（$1\le n\le p-1$）とおく。$\zeta_{< p}(\{k\}^r)=e_r(x_1,\ldots,x_{p-1})$ は $r$ 次の基本対称式、$\zeta^{\star}_{< p}(\{k\}^r)=h_r(x_1,\ldots,x_{p-1})$ は $r$ 次の完全対称式であり、$j$ 次のべき和 $p_j:=\sum_n x_n^{j}=\zeta_{< p}(jk)$ は $p>jk+1$（$1\le j\le r$）のとき prop-finite-multiple-zeta-value-depth-one により $0$ である。Newton の恒等式（Mac95 Chapter I §2）$re_r=\sum_{j=1}^{r}(-1)^{j-1}e_{r-j}p_j$ および $rh_r=\sum_{j=1}^{r}h_{r-j}p_j$ により、$r$ に関する帰納法で $re_r=0$、$rh_r=0$ を得る。$p>r$ なので $r$ は $\mathbb{F}_p$ で可逆であり、$e_r=h_r=0$ である。有限個の素数を除いて成り立つので主張を得る。$\square$
インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と $r$ 次対称群 $S_r$ に対し
$$\sum_{\sigma\in S_r}\zeta_{\mathcal{A}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{\sigma\in S_r}\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=0$$
が成り立つ。
Hoffman Hof15 による。証明は割愛するが、要点は次の通りである。Hoffman Hof92 Theorem 2.2 の対称和公式 $\sum_{\sigma}\zeta_{< p}(k_{\sigma(1)},\ldots,k_{\sigma(r)})=\sum_{B_1,\ldots,B_l}(-1)^{r-l}\prod_i(|B_i|-1)!\,\zeta_{< p}(\sum_{j\in B_i}k_j)$（和は $\{1,\ldots,r\}$ の集合の分割を渡る）は有限和 $\zeta_{< p}$ に対しても成り立ち、右辺は深さ $1$ の値の積なので prop-finite-multiple-zeta-value-depth-one により $\mathcal{A}$ で $0$ になる。深さ $2$ の場合は cor-finite-multiple-zeta-value-depth-two-symmetric で証明した。
任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し
$$\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k},\overleftarrow{\boldsymbol{l}})$$
が成り立つ。ここで $\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l}$ は $z_{\boldsymbol{k}}\mathbin{\text{ш}}z_{\boldsymbol{l}}\in\mathfrak{H}^1$ に対応するインデックスの線形結合である。
Kaneko–Zagier による（Kaneko Kan19 および SS2018 を参照）。証明は割愛する。深さ $1$ どうしの場合を検算する。$z_2\mathbin{\text{ш}}z_1=yx\mathbin{\text{ш}}y=yxy+2yyx$、すなわち $(2)\mathbin{\text{ш}}(1)=(2,1)+2(1,2)$ なので、シャッフル関係式は $\zeta_{\mathcal{A}}(2,1)+2\zeta_{\mathcal{A}}(1,2)=(-1)^{1}\zeta_{\mathcal{A}}(2,1)$、すなわち $2(\zeta_{\mathcal{A}}(2,1)+\zeta_{\mathcal{A}}(1,2))=0$ を主張し、これは cor-finite-multiple-zeta-value-depth-two-symmetric と整合する。語をインデックスと逆向きに読むと矛盾する等式が得られるので、語とインデックスの対応（$z_{\boldsymbol{k}}=yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1}$、和は $n_1<\cdots< n_r$）に注意が必要である。調和関係式（prop-finite-multiple-zeta-value-harmonic）と合わせて有限複シャッフル関係式と呼ぶ。
正整数 $k_1,k_2$ に対し
$$\zeta_{\mathcal{A}}(k_1,k_2)=(-1)^{k_2}\binom{k_1+k_2}{k_1}\Bigl(\frac{B_{p-k_1-k_2}}{k_1+k_2}\bmod p\Bigr)_p$$
が成り立つ。ここで $B_n$ はBernoulli数である（$p>k_1+k_2+1$ なら $B_{p-k_1-k_2}$ の分母は $p$ で割れない）。特に $k_1+k_2$ が偶数なら $\zeta_{\mathcal{A}}(k_1,k_2)=0$ である。
Zhao Zha08 および Hoffman Hof15 による。証明は割愛する。Bernoulli 数の分母に関する主張は von Staudt–Clausen の定理による。$\zeta_{\mathcal{A}}(2,1)=-B_{p-3}$ の $p=5,7$ での値は ex-finite-multiple-zeta-value-depth-two で確かめた。
関係式の族
次が成り立つ。
- （Hoffman 双対性）任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ に対し $\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=-\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k}^{\vee})$。
- （和公式）正整数 $1\le i\le r< k$ に対し $\sum_{\boldsymbol{k}\in I_i(k,r)}\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{r}\sum_{\boldsymbol{k}\in I_i(k,r)}\zeta^{\star}_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{i}\Bigl(\binom{k-1}{i-1}+(-1)^{r}\binom{k-1}{r-i}\Bigr)\Bigl(\frac{B_{p-k}}{k}\bmod p\Bigr)_p$。ここで $I_i(k,r)$ は重さ $k$、深さ $r$ で $i$ 番目の成分が $2$ 以上のインデックス全体である。
- （導分関係式）正整数 $h$ に対し多重ゼータ値の記事の導分 $\partial_h$ を用いると、任意の $w\in\mathfrak{H}^1$ に対し $Z_{\mathcal{A}}(\partial_h(w))=-Z_{\mathcal{A}}(wy(x+y)^{h-1})$。
- （Ohno 型関係式）インデックス $\boldsymbol{k}$、$r=\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})$、$s=\mathrm{dep}(\boldsymbol{k}^{\vee})$ と非負整数 $h$ に対し $\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{r},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{e})=h}\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=\sum_{\boldsymbol{f}\in\mathbb{Z}_{\ge 0}^{s},\ \mathrm{wt}(\boldsymbol{f})=h}\zeta_{\mathcal{A}}((\boldsymbol{k}^{\vee}\oplus\boldsymbol{f})^{\vee})$。
- （Bowman–Bradley 型定理）正の奇数 $a,b$、正の偶数 $c$、$(k_1,k_2)\ne(0,0)$ に対し $\sum_{n_1+\cdots+n_{2k_1+1}=k_2}\zeta_{\mathcal{A}}(\{c\}^{n_1},a,\{c\}^{n_2},b,\ldots,\{c\}^{n_{2k_1}},b,\{c\}^{n_{2k_1+1}})=0$。
- は Hoffman Hof15、(2) は Saito–Wakabayashi SW15（$i=r$）と Murahara Mur16（一般の $i$）、(3) は Murahara Mur17、(4) は Oyama Oya18、(5) は Saito–Wakabayashi SW16 による。証明はいずれも割愛する。(3) と (4) が同値であることは Horikawa–Murahara–Oyama HMO18 Theorem 3.4 による。和公式のさらなる変種（制限付き・重み付き・$\mathcal{A}_n$ 版・補間版）は公開記事 和公式(多重ゼータ値) にまとめる。有限多重ゼータ値のスター版・Ohno 型関係式のスター版は Hirose–Imatomi–Murahara–Saito HIMS18 による。
$p$進版と Kaneko–Zagier 予想
$k=1$ に対し $\zeta_{\mathcal{A}_2}(1)=0$ である。すなわち、素数 $p\ge 5$ について Wolstenholme の合同式 $\sum_{n=1}^{p-1}\dfrac{1}{n}\equiv 0\pmod{p^2}$ が成り立つ。
Wolstenholme の定理による。一般の $k$ に対する $p^2$ を法とした深さ $1$ の Bernoulli 数表示は、添字と係数の規約を一次資料で再照合するまで本記事では収録を保留する。$\widehat{\mathcal{A}}$-多重ゼータ値の調和関係式は prop-finite-multiple-zeta-value-harmonic で示した。
対称多重ゼータ値 $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})\in\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$（$\mathcal{Z}$ は多重ゼータ値の張る $\mathbb{Q}$ 代数）に対し、$\mathbb{Q}$ 代数の同型
$$\mathcal{Z}_{\mathcal{A}}\longrightarrow\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z},\qquad\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})\longmapsto\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$$
が存在するであろう（Kaneko–Zagier、Kan19）。さらに $p$ 進版として、$\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k})$ を $t$ 進対称多重ゼータ値 $\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})$ に写す同型 $\mathcal{Z}_{\widehat{\mathcal{A}}}\to\mathcal{Z}_{\widehat{\mathcal{S}}}$（$\boldsymbol{p}\mapsto t$）が存在するであろう（Jarossay、Rosen）。
この予想は、有限体の直積を法とした対象 $\mathcal{Z}_{\mathcal{A}}$ と実数の商空間 $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ という一見無関係な二つの代数が重さを保って同型であるという主張であり、有限多重ゼータ値の研究の中心的な動機である。写像が well-defined であることすら知られていないが、本記事と対称多重ゼータ値の記事で述べる関係式（調和関係式・シャッフル関係式・対称和公式・反転公式・Hoffman 双対性・和公式・導分関係式・Ohno 型関係式・Bowman–Bradley 型定理）は両側で同じ形で成り立ち、予想を支持している（Kan19、SS2018）。
補足
有限多重ゼータ値の元になる多重調和和の $p$ を法とした性質は、Wolstenholme の定理（1862 年）に遡り、Zhao Zha08 と Hoffman Hof15 が系統的に研究した。環 $\mathcal{A}$ を導入して多重ゼータ値の類似として定式化したのは Kaneko–Zagier（Kan19、Kan26）であり、$\mathcal{A}$ は Kontsevich が「有限体上の解析」のために提案した環でもある。有限多重ゼータ値は許容条件を必要としない代わりに深さ $1$ の値がすべて消えるので、実数側では $\zeta(2)$ を法とした対称多重ゼータ値が対応物になる。両者を $t$ で補間した補間有限多重ゼータ値については補間多重ゼータ値を参照。多重ゼータ値の値が $\zeta(\{2\}^r)=\pi^{2r}/(2r+1)!$ のように $\pi$ のべきに関係するのに対し、有限多重ゼータ値では Bernoulli 数 $B_{p-k}$ を成分に持つ $\mathcal{A}$ の元がその役割を果たす（thm-finite-multiple-zeta-value-depth-two、thm-finite-multiple-zeta-value-relations (2)）。
関連項目
参考文献
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