有理性問題

同義語：rationality problem

概要

前提知識: 有理多様体, 双有理写像, 関数体, Galois拡大

有理性問題（rationality problem）は、与えられた代数多様体が有理であるか、すなわち射影空間と双有理同値かを問う問題の総称である。体の言葉では、体 $k$ 上有限生成な拡大体 $K$ が有理関数体 $k(t_1,\dots,t_n)$ と同型かを問う。曲線では答えが比較的易しく求まるが（有理曲線）、高次元では難しく、次の 2 つの問いが代表である。

Lüroth の問題：単有理な多様体（射影空間から支配的な有理写像を受ける多様体）は有理か。体の言葉では、$k(t_1,\dots,t_n)$ の部分体で、$k(t_1,\dots,t_n)$ がその上有限次であるものは、$k$ 上の純超越拡大か。
Noether の問題：有限群 $G$ が有限次元の表現 $V$ に忠実に働くとき、不変体 $k(V)^G$ は $k$ 上の純超越拡大か。
答えはどちらも一般には否定的で、反例を示すには有理多様体で消える双有理不変量（中間 Jacobi 多様体、3 次のコホモロジーの捩れ、不分岐 Brauer 群など）を計算する。この記事では、有理性の段階（有理・安定有理・単有理）の関係を述べ、Noether の問題について、不変体が表現の取り替えで安定に変わらないことと、可換群での肯定的な答え（Fischer の定理）を証明する。個々の多様体が有理になる十分条件と、有理点・微分形式による判定は有理多様体にある。

有理性の段階

以下、$k$ は体、多様体 は $k$ 上分離的な有限型の整スキームとし（有理多様体と同じ規約）、$n=\dim X$ とする。

安定有理多様体

多様体 $X$ について、ある $m\ge0$ で $X\times_k\mathbb{P}^m_k$ が有理であるとき、$X$ は 安定有理（stably rational）であるという。体の言葉では、$X$ の関数体 $K=k(X)$ について、ある $m$ で $K(s_1,\dots,s_m)$（$s_i$ は不定元）が $k$ 上の純超越拡大になることである。2 つの拡大体 $K,K'$ が、ある $m,m'$ で $K(s_1,\dots,s_m)\cong K'(s'_1,\dots,s'_{m'})$（$k$ 上の同型）となるとき、$K$ と $K'$ は 安定同型 であるという。

有理・単有理の定義は有理多様体の定義「有理多様体と単有理多様体」による。$X\times\mathbb{P}^m$ の関数体は $K(s_1,\dots,s_m)$ なので、2 つの言い方は有理多様体の定理「関数体による特徴づけ」の 1 により同じである。

有理性の段階

多様体について、有理 $\Rightarrow$ 安定有理 $\Rightarrow$ 単有理である。

関数体の包含

$X$ が有理なら $K\cong k(t_1,\dots,t_n)$ で、$m=0$ として安定有理である。$X$ が安定有理なら $K\subset K(s_1,\dots,s_m)\cong k(t_1,\dots,t_{n+m})$ で、$K$ は有理関数体の部分体と同型なので、有理多様体の定理「関数体による特徴づけ」の 2 により $X$ は単有理である。$\square$

逆はどちらも一般には成り立たない。複素数体上でも、安定有理だが有理でない 3 次元多様体（Beauville–Colliot-Thélène–Sansuc–Swinnerton-Dyer）、単有理だが安定有理でない 3 次元多様体（Artin–Mumford）がある（Poo17 §9.2.6, pp. 265–266。この記事では証明しない）。

Lüroth の問題

単有理な多様体が有理かどうかは、次元と基礎体によって答えが分かれる。

次元	基礎体	答え	所在
$1$	任意の体	肯定的（Lüroth の定理）	有理曲線の定理「Lüroth の定理」
$2$	標数 $0$ の代数閉体	肯定的（Castelnuovo）	Har77 V 注意 6.2.1（p. 422）、BHPV04 VI 定理 3.5（p. 252）
$2$	標数 $p>0$ の代数閉体	拡大が分離的なら肯定的（Zariski）、分離性なしでは否定的	Har77 V 注意 6.2.1（p. 422）
$2$	代数閉でない体	否定的な例がある	GS06 注意 6.6.2 (2)（p. 160）
$3$ 以上	$\mathbb{C}$	否定的	下の表

次元 $2$ の肯定的な答えは、Enriques–小平の分類で使う Castelnuovoの有理性判定法（$q=P_2=0$ なら有理曲面）から従う。単有理な曲面 $X$ に $\mathbb{P}^2$ から分離的な支配的有理写像があると、$X$ の不正則数と 2 重種数は $\mathbb{P}^2$ のもの（どちらも $0$）以下になるからである（Har77 V 注意 6.2.1 の証明の筋、p. 422）。複素数体上の証明は Castelnuovoの有理性判定法の系「単有理な曲面」にある。
複素数体上の 3 次元の反例と、そこで使われた双有理不変量は次のとおりである（Poo17 §9.2.6, pp. 265–266、GS06 注意 6.6.2 (3)（pp. 160–161）。この記事では証明しない）。

多様体	単有理性	有理でないことを示す不変量
$\mathbb{P}^4$ の滑らかな 3 次超曲面（Clemens–Griffiths）	単有理	中間 Jacobi 多様体が曲線の Jacobi 多様体の積にならない
$\mathbb{P}^4$ の滑らかな 4 次超曲面（Iskovskikh–Manin）	単有理なものがある	双有理自己同型群が有限（$\mathbb{P}^3$ では巨大）
10 個の結節点をもつ特別な 4 次曲面で分岐する $\mathbb{P}^3$ の 2 重被覆の特異点解消（Artin–Mumford）	単有理	$H^3(X,\mathbb{Z})$ の捩れ部分（不分岐 Brauer 群と解釈できる）

最後の不変量は安定双有理不変量なので、Artin–Mumford の例は安定有理でもない（Poo17 p. 266）。

双有理不変量による障害

有理でないことを示すには、射影空間で消えるか自明になる双有理不変量を使う。

有理点：$k$ が無限体なら、単有理な多様体の $k$ 有理点は稠密である（有理多様体の命題「有理点の稠密性」）。
微分形式：代数閉体上の滑らかな射影多様体が有理なら、$H^0(X,\Omega^p_X)=0$（$p\ge1$）である（有理多様体の系「微分形式の消滅」）。標数 $0$ では単有理な多様体でもこれらは消えるので（Poo17 §9.2.6 の図式, p. 265）、この不変量では Lüroth の問題の反例は見つからない。
不分岐 Brauer 群：標数 $0$ の体 $k$ 上の $K$ について、$K/k$ の不分岐 Brauer 群 $\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(K/k)$ は、$k$ 上に自明な $K$ のすべての離散付値で剰余が $0$ になる $\operatorname{Br}(K)$ の元の群である（不分岐コホモロジーの 2 次の場合）。純超越拡大 $K(t)/K$ について $\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(K(t)/k)\cong\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(K/k)$ が成り立ち（GS06 命題 6.6.6, p. 162）、とくに $\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(k(t_1,\dots,t_m)/k)\cong\operatorname{Br}(k)$ である（同系 6.6.7, p. 163）。したがって安定有理な $K$ では $\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(K/k)$ は $\operatorname{Br}(k)$ に等しく、$k$ が代数閉体なら $0$ である。
高次の不分岐コホモロジー：不分岐 Brauer 群が $0$ でも有理でない例があり、3 次の不分岐コホモロジーで説明される（Colliot-Thélène–Ojanguren、Peyre。GS06 注意 6.7.4 (2), pp. 170–171）。

Noether の問題

$G$ を有限群、$V$ を $k$ 上の有限次元ベクトル空間で $G$ が線形に働くもの（$G$ の表現）とする。$V$ の双対空間 $V^*$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ を座標とみて $k(V):=k(v_1,\dots,v_n)$（$V$ をアフィン空間とみたときの関数体）とおき、$G$ を $k(V)$ に $k$ 上の体の自己同型として働かせる。作用が忠実（$G\to\mathrm{GL}(V)$ が単射）なら $G$ は $V^*$ にも、したがって $k(V)$ にも忠実に働き、Artin の定理（Galois拡大の定理「Artinの定理」）により $k(V)/k(V)^G$ は Galois 群 $G$ の Galois 拡大で、$[k(V):k(V)^G]=|G|$ である。
Noether の問題 は、忠実な表現 $V$ について $k(V)^G$ が $k$ 上の純超越拡大かを問う（GS06 問題 6.6.3 と注意 6.7.4 (3), pp. 161・171）。$k(V)^G$ は $k$ 上超越次数 $\dim V$ の単有理な拡大体なので、これは Lüroth の問題の特別な場合である。

表現の取り替え

忠実な表現に表現を足す

$V$ を $G$ の忠実な表現、$W$ を $G$ の任意の有限次元表現とし、$m=\dim W$ とする。このとき $k(V\oplus W)^G$ は $k(V)^G$ 上の超越次数 $m$ の純超越拡大である。

Speiser の補題で不変な座標をとる

$K:=k(V)$、$L:=K^G$ とし、$W^*$ の基底 $w_1,\dots,w_m$ をとると $k(V\oplus W)=K(w_1,\dots,w_m)$ は $K$ 上の有理関数体である。$K$ 上のベクトル空間 $U:=Kw_1+\dots+Kw_m\subset K(w_1,\dots,w_m)$ は $G$ で保たれ、$g(\lambda u)=g(\lambda)g(u)$（$\lambda\in K$）をみたす。$K/L$ は Galois 群 $G$ の有限次 Galois 拡大なので、Speiser の補題（GS06 補題 2.3.8, p. 27）により自然な写像 $U^G\otimes_LK\to U$ は同型であり、$G$ で固定される元からなる $U$ の $K$ 基底 $u_1,\dots,u_m$ がとれる。$u_i=\sum_ja_{ij}w_j$（$(a_{ij})\in\mathrm{GL}_m(K)$）なので $K(u_1,\dots,u_m)=K(w_1,\dots,w_m)$ で、$u_1,\dots,u_m$ は $K$ 上代数的に独立である。
$L(u):=L(u_1,\dots,u_m)$ とおくと $L(u)\subset K(u)^G$ である。$L$ 上の $K$ の基底の $L(u)$ 上の張る空間は、$K$ が積で閉じているので環になり、$L(u)$ 上有限次元の整域なので体である。これは $K$ と $u_i$ を含むので $K(u)$ に等しく、$[K(u):L(u)]\le[K:L]=|G|$ である。一方 $G$ は $K(u)$ に忠実に働くので $[K(u):K(u)^G]=|G|$ である。よって $L(u)=K(u)^G$ で、これは $L$ 上の純超越拡大である。$\square$

不変体の安定同型類は表現によらない

$V,V'$ を $G$ の忠実な表現とすると、$k(V)^G$ と $k(V')^G$ は安定同型である。とくに、ある忠実な表現で $k(V)^G$ が $k$ 上安定有理なら、すべての忠実な表現でそうである。

2 通りに足す

thm-rp-add-rep を $(V,V')$ と $(V',V)$ に使うと、$k(V)^G(s_1,\dots,s_{m'})\cong k(V\oplus V')^G\cong k(V')^G(s'_1,\dots,s'_m)$ である（$m=\dim V$、$m'=\dim V'$）。$\square$

可換群の場合

Fischer の定理

$A$ を指数 $e$ の有限アーベル群とし、$k$ の標数は $e$ を割らず、$k$ は 1 の原始 $e$ 乗根を含むとする。このとき $A$ の任意の忠実な表現 $V$ について、$k(V)^A$ は $k$ 上の純超越拡大である。

不変な Laurent 単項式

$x^e-1$ は $k$ 上で相異なる 1 次式の積に分解するので、$\sigma^e=1$ をみたす $V^*$ の線形変換 $\sigma$ は対角化可能で、互いに可換なものは同時に対角化できる。よって $V^*$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ と準同型 $\chi_i\colon A\to k^\times$ で $\sigma(v_i)=\chi_i(\sigma)v_i$ となるものがある。$v_i$ は代数的に独立なので、Laurent 単項式 $v^a=v_1^{a_1}\cdots v_n^{a_n}$（$a\in\mathbb{Z}^n$）全体は $k(V)^\times$ の部分群 $X\cong\mathbb{Z}^n$ をなし、$\sigma(v^a)=\prod_i\chi_i(\sigma)^{a_i}\,v^a$ である。$\phi\colon X\to\operatorname{Hom}(A,k^\times)$、$v^a\mapsto\prod_i\chi_i^{a_i}$ の核を $Y$ とすると $Y\subset k(V)^A$ で、$[X:Y]\le|\operatorname{Hom}(A,k^\times)|\le|A|$ である。
$Y$ が生成する部分体を $k(Y)$ とする。$X/Y$ の代表元 $x_1,\dots,x_r$ の $k(Y)$ 上の張る空間は、$x_ix_j\in x_lY$ なので環になり、$k(Y)$ 上有限次元の整域なので体である。これは $v_i^{\pm1}$ を含むので $k(V)$ に等しく、$[k(V):k(Y)]\le r=[X:Y]$ である。$k(Y)\subset k(V)^A$ と $[k(V):k(V)^A]=|A|$ から
$$ |A|=[k(V):k(V)^A]\le[k(V):k(Y)]\le[X:Y]\le|A| $$
となり、$k(Y)=k(V)^A$ である。$Y$ は $\mathbb{Z}^n$ の部分群なので階数 $n$ 以下の自由アーベル群で、基底 $y_1,\dots,y_s$（Laurent 単項式）について $k(Y)=k(y_1,\dots,y_s)$ である。$k(V)/k(Y)$ は有限次なので超越次数を比べて $s=n$ で、$y_1,\dots,y_n$ は代数的に独立である。よって $k(V)^A=k(y_1,\dots,y_n)$ は純超越拡大である。$\square$

この証明は GS06 定理 6.6.8 と注意 6.6.9（p. 163）と同じ筋である。

符号の作用と対称群の作用

符号の作用．$k$ の標数を $2$ でないとし、$A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ を $V=k^2$ に $-1$ 倍で働かせる。$V^*$ の座標 $x,y$ はどちらも符号の指標 $\chi$ で変わり、$x^ay^b$ が不変であることは $a+b$ が偶数であることと同値である。この部分群 $Y\subset\mathbb{Z}^2$ は $(2,0)$ と $(-1,1)$ を基底にもつ（行列式 $2$ で指数 $2$）ので、thm-rp-fischer の証明から
$$ k(x,y)^{\mathbb{Z}/2}=k\bigl(x^2,\ y/x\bigr) $$
である。たとえば $xy=x^2\cdot(y/x)$、$y^2=x^2\cdot(y/x)^2$ はこの体に入る。
対称群．対称群 $S_n$ を $V=k^n$ に座標の置換で働かせると、$k(x_1,\dots,x_n)^{S_n}=k(e_1,\dots,e_n)$（$e_i$ は基本対称式）で、Noether の問題の答えは肯定的である。実際、$e_i$ は不変で、$k(x)$ は $k(e_1,\dots,e_n)$ 係数の $n$ 次多項式 $\prod_j(T-x_j)$ の分解体なので $[k(x):k(e)]\le n!$ である。Artin の定理から $[k(x):k(x)^{S_n}]=n!$ なので $k(e)=k(x)^{S_n}$ であり、超越次数を比べて $e_1,\dots,e_n$ は代数的に独立である。

否定的な答え

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-rp-fischer の 1 の原始 $e$ 乗根	$k=\mathbb{Q}$、$A=\mathbb{Z}/47\mathbb{Z}$（Swan、Voskresenskii）	$k(V)^A$ が純超越拡大であること
thm-rp-fischer の可換性	$k=\mathbb{C}$、Saltman の $p$ 群	$k(V)^G$ が純超越拡大であること
prop-rp-hierarchy の逆（単有理 $\Rightarrow$ 有理）	$\mathbb{P}^4_{\mathbb{C}}$ の滑らかな 3 次超曲面	有理であること

反例の所在

この記事では証明しない。

1 行目：$\mathbb{Q}$ は $e=47$ の 1 の原始 47 乗根を含まない（ほかの条件はみたす）。ある忠実な表現 $V$ について $\mathbb{Q}(V)^{\mathbb{Z}/47}$ は純超越拡大でない。これが Noether の問題の最初の反例で、素数位数の群で最小のものである。のちに Lenstra が $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ の反例と、可換群で答えが肯定的になる条件を与えた（GS06 注意 6.7.4 (3), p. 171）。
2 行目：$\mathbb{C}$ は 1 の冪根をすべて含み標数 $0$ である。Saltman は、奇素数 $p$ について冪零類 $2$ の $p$ 群 $G$（GS06 の構成では位数 $p^9$）と忠実な表現 $V$ で $\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(\mathbb{C}(V)^G/\mathbb{C})\ne0$ となるものを与え、上の不変量の性質から $\mathbb{C}(V)^G$ は安定有理でもない。Bogomolov は $\operatorname{Br}_{\mathrm{nr}}(\mathbb{C}(V)^G/\mathbb{C})$ を群のコホモロジー $\ker\bigl(H^2(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\to\prod_HH^2(H,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})\bigr)$（$H$ は 2 つの巡回群の直積となる部分群をわたる）で表した（GS06 定理 6.6.12, p. 165、定理 6.7.1, p. 167、例 6.7.3, p. 168、注意 6.7.4 (1), p. 170）。
3 行目：Clemens–Griffiths（上の 3 次元の反例の表）。