右吸収元
概要
右吸収元（right absorbing element）とは、集合と二項演算の組であるマグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $z$ であって、$M$ のすべての元 $a$ に対して $a\cdot z=z$ を満たすもののことである。左からの作用には何も要求しないので、両側の条件を課す吸収元と違って一意とは限らない。実際、$x\cdot y:=y$ で定めた演算では $M$ のすべての元が右吸収元であり、この演算は結合的だから、結合律を仮定しても一意性は戻らない。空でない集合の冪集合に $A\cdot B:=B\setminus A$ を入れると空集合が唯一の右吸収元だが、左吸収元は存在しない。可換なマグマでは右吸収元は吸収元になる。左吸収元と右吸収元がともに存在すれば両者は一致し、吸収元として一意である。
定義
集合 $M$ と二項演算 $\cdot\colon M\times M\to M$ の組 $\langle M,\cdot\rangle$ をマグマ（magma）という。結合律 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ も可換律 $a\cdot b=b\cdot a$ も仮定しない。本記事では、マグマの中で「右からかけられた相手を自分自身に変えてしまう元」を扱う。
マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $z$ が、$M$ のすべての元 $a$ に対して
$$
a\cdot z=z
$$
を満たすとき、$z$ を $\langle M,\cdot\rangle$ の右吸収元（right absorbing element）または右零元（right zero）という。
条件は $M$ のすべての元 $a$ についての要求であり、$a=z$ の場合も含む。とくに右吸収元 $z$ はつねに $z\cdot z=z$ を満たす。左右を入れ替えた条件「すべての $a\in M$ に対して $z\cdot a=z$」を満たす元は左吸収元とよばれ、両方の条件を満たす元が吸収元である。
右吸収元という名前に反して、右吸収元は一意とは限らない（rem-right-absorbing-element-counterexample）。また、右吸収元が存在しても左吸収元が存在するとは限らない（ex-right-absorbing-element-difference、prop-right-absorbing-element-right-projection）。この二点が、両側の条件を課す吸収元との違いである。
直感
右吸収元は「右からぶつけられた相手を飲み込んで自分に変えてしまう元」である。吸収元と違って左からの作用については何も要求しないので、左右の条件が独立に効く一般のマグマでは、右吸収元だけがある、右吸収元がいくつもある、という状況が実際に起こる。集合の差をとる演算で、引かれる側に空集合を置けば結果はつねに空集合になるのに、引く側に空集合を置くと相手がそのまま残ることが、左右を分けて考える必要があることを端的に示している。
例と反例
吸収元をもつマグマでは、その吸収元は定義の右側の条件だけを取り出せば右吸収元である。$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ の $0$ と、集合 $X$ の冪集合 $\mathcal{P}(X)$ に共通部分 $\cap$ を入れたマグマの $\emptyset$ がその例であり、それぞれ $a\times0=0$、$A\cap\emptyset=\emptyset$ が成り立つ。また、任意の二元が比較できる全順序集合（全順序）$L$ が最小元 $m$ をもつとき、$a\cdot b:=\min(a,b)$ で定めたマグマでは、すべての $a\in L$ で $m\le a$ だから $a\cdot m=\min(a,m)=m$ であり、$m$ は右吸収元である。$0$ と $\emptyset$ が両側の吸収元であること、およびそのときの一意性は吸収元の記事が扱う。$\min(m,a)=m$ でもあるから $m$ は左吸収元でもある。三つの例はいずれも左吸収元をもつので、これらのマグマでは右吸収元もこの一つだけである（rem-right-absorbing-element-two-sided）。
$X$ を空でない集合とし、冪集合 $\mathcal{P}(X)$ に「第2成分から第1成分を引く」演算 $A\cdot B:=B\setminus A$ を入れたマグマを考える。$\emptyset$ は右吸収元である（任意の $A\subset X$ に対し $A\cdot\emptyset=\emptyset\setminus A=\emptyset$）。しかも右吸収元はこれだけである。実際、$Z$ が右吸収元ならば $A=X$ の場合から $Z=X\cdot Z=Z\setminus X=\emptyset$ を得る。一方、左吸収元は存在しない。$W$ が左吸収元ならば、$A=\emptyset$ の場合から $W=W\cdot\emptyset=\emptyset\setminus W=\emptyset$ でなければならないが、$A=X$ の場合は $W\cdot X=X\setminus\emptyset=X$ であり、$X\neq\emptyset$ だから $W\cdot X\neq W$ となって矛盾する。したがって、右吸収元が（しかもただ一つ）存在することは、左吸収元が存在することを導かない。この演算は結合的でも可換でもない。$x\in X$ を一つとると、$(\{x\}\cdot\emptyset)\cdot\{x\}=\emptyset\cdot\{x\}=\{x\}$ に対して $\{x\}\cdot(\emptyset\cdot\{x\})=\{x\}\cdot\{x\}=\emptyset$ であり、$\{x\}\cdot\emptyset=\emptyset$ に対して $\emptyset\cdot\{x\}=\{x\}$ である。
相異なる二元からなる集合 $M=\{a,b\}$ に、右の元をそのまま返す演算 $x\cdot y:=y$ を入れる。演算表は次のとおりで、$x$ の行と $y$ の列の交わりに $x\cdot y$ を書いている。
| $\cdot$ | $a$ | $b$ |
|---|---|---|
| $a$ | $a$ | $b$ |
| $b$ | $a$ | $b$ |
このマグマは性質 $P$「右吸収元をもつ」を満たすが、性質 $Q$「右吸収元はただ一つである」を満たさない。実際、$a\cdot a=a$ と $b\cdot a=a$ から $a$ は右吸収元であり、$a\cdot b=b$ と $b\cdot b=b$ から $b$ も右吸収元である。よって含意 $P\Rightarrow Q$ は成り立たない。さらにこのマグマは性質 $R$「左吸収元をもつ」も満たさないので、含意 $P\Rightarrow R$ も成り立たない。$a\cdot b=b\neq a=b\cdot a$ なので可換でもない。
この演算は結合的である（prop-right-absorbing-element-right-projection）。したがって、結合律を仮定しても右吸収元の一意性は回復しない。同じ現象は $M$ が二元以上であればつねに起こる。
性質
$M$ を空でない集合とし、$x\cdot y:=y$ によって $M$ 上の二項演算を定める。このとき次が成り立つ。
- $\langle M,\cdot\rangle$ は結合的である。
- $M$ のすべての元が $\langle M,\cdot\rangle$ の右吸収元である。
- $M$ が二つ以上の元をもつならば、$\langle M,\cdot\rangle$ に左吸収元は存在せず、したがって吸収元も存在しない。
- $M$ が一つの元 $x$ だけからなるならば、$x$ は吸収元である。
$\cdot$ が二項演算であることは、第2成分への射影 $M\times M\to M$、$(x,y)\mapsto y$ が写像であることによる。
- 任意の $x,y,z\in M$ に対し $(x\cdot y)\cdot z=z$ であり、$x\cdot(y\cdot z)=y\cdot z=z$ である。両者は一致する。
- $z\in M$ を任意にとる。任意の $a\in M$ に対して $a\cdot z=z$ が定義から成り立つので、$z$ は右吸収元である。$M$ は空でないので、右吸収元は少なくとも一つ存在する。
- $w$ が左吸収元であるとすると、任意の $a\in M$ に対して $w=w\cdot a=a$ となる。よって $M=\{w\}$ となり、$M$ が二つ以上の元をもつことに反する。左吸収元が存在しないので、吸収元も存在しない。
- $M=\{x\}$ のとき $x\cdot x=x$ であり、左右いずれの条件も満たす。$\square$
可換なマグマ $\langle M,\cdot\rangle$（すべての $a,b\in M$ で $a\cdot b=b\cdot a$）の右吸収元は、吸収元である。
$z$ を右吸収元とする。任意の $a\in M$ に対し、可換性から $z\cdot a=a\cdot z$ であり、右吸収元の定義から $a\cdot z=z$ である。よって $z\cdot a=a\cdot z=z$ が成り立ち、$z$ は左吸収元でもある。すなわち $z$ は吸収元である。$\square$
rem-right-absorbing-element-two-sided と合わせると、可換なマグマの右吸収元は、存在すればただ一つである。$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ の $0$ がその例である。逆に、rem-right-absorbing-element-counterexample のマグマは可換でないので、この命題とは矛盾しない。
$*$ が $M$ 上の二項演算であること、したがって $\langle M,*\rangle$ がマグマであることは、引いた定義に含まれる。ここで示すのは同値性だけである。
同値性は条件の書き換えである。$z$ が $\langle M,\cdot\rangle$ の右吸収元であるとは、すべての $a\in M$ で $a\cdot z=z$ が成り立つことであり、$*$ の定義から $z*a=a\cdot z$ であるから、これはすべての $a\in M$ で $z*a=z$ が成り立つこと、すなわち $z$ が $\langle M,*\rangle$ の左吸収元であることと同じである。$\square$
次の二つは吸収元の記事が所有しており、本記事では証明を再掲しない。
- マグマが左吸収元 $z_L$ と右吸収元 $z_R$ をともにもつならば $z_L=z_R$ であり、この元は吸収元として一意である。したがって、左吸収元をもつマグマの右吸収元は高々1つ（存在すればただ1つ）に定まる。同じ主張から、右吸収元が二つ以上あるマグマには左吸収元が存在しないことも従う。prop-right-absorbing-element-right-projection の 2 と 3 は、その状況が実際に起こることを示す具体例である。
- 元 $z$ が右吸収元であり、かつ右単位元（すべての $a\in M$ に対して $a\cdot z=a$ を満たす元）でもあるならば、$M=\{z\}$ である。したがって二元以上のマグマでは、右吸収元が右単位元を兼ねることはない。
補足：左右の対称性と、他の記事が所有する主張
prop-right-absorbing-element-opposite は、マグマの元が右吸収元であることと、その元が反対マグマの左吸収元であることとが同値であると述べている。反対演算をとる操作を二回行うともとの演算に戻ること（この事実は反対マグマの定義に付随するものとして右単位元の記事が所有する）と合わせると、この同値は右吸収元と左吸収元のあいだの一対一の対応を与える。本記事が根拠をもって述べるのは、この元のレベルの対応だけである。左吸収元について証明された主張が、演算の左右を入れ替える機械的な書き換えで右吸収元についての主張に移るのは、その主張がマグマの演算だけを使って書かれている場合であり、本記事はこの一般論を主張として所有しない。いずれにせよ本記事は、左吸収元についての個々の主張を書き写すことはしない。
端の場合について。$M=\emptyset$（元をもたないマグマ）には右吸収元が存在しない。元がないからである。$M$ が一つの元だけからなるときは、その元が吸収元であり、とくに右吸収元である。
本記事は、吸収元そのものの性質、左吸収元と右吸収元がともに存在する場合の一致と一意性、吸収元と単位元の関係、環の加法単位元が乗法の吸収元になることを所有しない。これらは吸収元の記事が扱う。また、反対マグマと反対演算の定義も本記事は所有せず、右単位元の記事に委ねる。prop-right-absorbing-element-opposite はその定義を前提として引き、右吸収元についての移送だけを主張する。本記事の証明はいずれも有限個の元についての等式の計算と、実数の乗法・全順序集合の最小元・共通部分と差集合の基本性質だけからなり、選択公理をはじめとする集合論的な仮定を使わない。
関連項目
参考文献
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