Dirichlet核

2：$t\notin2\pi\mathbb Z$ とする。$D_N(t)$ は初項 $e^{-iNt}$、公比 $e^{it}\ne1$ の $2N+1$ 項の等比数列の和なので
$$ (e^{it}-1)D_N(t)=e^{i(N+1)t}-e^{-iNt} $$
である。両辺に $e^{-it/2}$ を掛けると $(e^{it/2}-e^{-it/2})D_N(t)=e^{i(N+\frac12)t}-e^{-i(N+\frac12)t}$ であり、$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ から $2i\sin\frac t2\cdot D_N(t)=2i\sin(N+\frac12)t$ を得る。$t\notin2\pi\mathbb Z$ なら $\sin\frac t2\ne0$ なので割ってよい。$t\in2\pi\mathbb Z$ なら各項 $e^{int}$ が $1$ なので $D_N(t)=2N+1$ である。
残りは、1・3 が各項 $e^{int}$ の性質から、4・5 が 2 の式から従う。

係数の定義を部分和に入れ、有限和と積分を入れ替えると
$$ s_N(f;x)=\sum_{n=-N}^{N}\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)e^{-ins}\,ds\;e^{inx}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)\sum_{n=-N}^{N}e^{in(x-s)}\,ds=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(s)D_N(x-s)\,ds $$
である。$s=x-t$ と置き換えると積分区間は $[x-\pi,x+\pi]$ になるが、$t\mapsto f(x-t)D_N(t)$ は周期 $2\pi$ をもつので、長さ $2\pi$ のどの区間で積分しても値は同じであり（Fourier級数 の節「周期関数と積分」）、1 つ目の等式を得る。$[-\pi,0]$ の部分で $t$ を $-t$ に置き換え、$D_N(-t)=D_N(t)$ を使うと 2 つ目の等式になる。
後半：$T(x)=\sum_{\lvert n\rvert\le N}c_ne^{inx}$ なら $\hat T(n)=c_n$（$\lvert n\rvert\le N$）、$\hat T(n)=0$（$\lvert n\rvert>N$）なので $s_N(T;x)=T(x)$ であり、前半の等式から従う。$\square$

$M:=N+\frac12$ とおく。
段 1（分母の取り替え）。$0< t\le\pi$ で $h(t):=\dfrac1{\sin\frac t2}-\dfrac2t$ とおく。$w:=\frac t2\in(0,\frac\pi2]$ と書くと $h(t)=\dfrac{w-\sin w}{w\sin w}$ である。$\sin w\le w$ から $h\ge0$ である。また $1-\cos s\le\frac{s^2}2$（$s\ge0$）を $0$ から $w$ まで積分すると $w-\sin w\le\frac{w^3}6$ であり、$\sin w\ge\frac{2w}\pi$（prf-dk-basic の 4）と合わせて
$$ 0\le h(t)\le\frac{w^3/6}{w\cdot2w/\pi}=\frac{\pi w}{12}=\frac{\pi t}{24}\le\frac{\pi^2}{24} $$
である。したがって
$$ L_N=\frac1\pi\int_0^\pi\lvert\sin Mt\rvert\Bigl(\frac2t+h(t)\Bigr)dt=\frac2\pi\int_0^\pi\frac{\lvert\sin Mt\rvert}t\,dt+E,\qquad0\le E\le\frac1\pi\cdot\pi\cdot\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{24} $$
である。$u=Mt$ と置き換えると $\displaystyle\int_0^\pi\frac{\lvert\sin Mt\rvert}t\,dt=\int_0^{M\pi}\frac{\lvert\sin u\rvert}u\,du=:I$ である。下からの評価 $L_N\ge\frac2\pi I$ には $E\ge0$ だけを使う。
段 2（区間ごとの評価）。$[0,M\pi]$ を $[0,\pi]$、$[k\pi,(k+1)\pi]$（$k=1,\dots,N-1$）、$[N\pi,(N+\frac12)\pi]$ に分ける。$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\lvert\sin u\rvert\,du=2$ であり、この区間では $\frac1{(k+1)\pi}\le\frac1u\le\frac1{k\pi}$ なので
$$ \frac2{(k+1)\pi}\le\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\lvert\sin u\rvert}u\,du\le\frac2{k\pi} $$
である。最初の区間では $\frac{\sin u}\pi\le\frac{\sin u}u\le1$ なので積分は $\frac2\pi$ 以上 $\pi$ 以下であり、これは上の下からの評価の $k=0$ の場合にあたる。最後の区間では $\int_{N\pi}^{(N+\frac12)\pi}\lvert\sin u\rvert\,du=1$ と $u\ge N\pi$ から積分は $0$ 以上 $\frac1{N\pi}$ 以下である。$H_m:=\sum_{k=1}^{m}\frac1k$（$H_0:=0$）と書くと
$$ \frac2\pi H_N\le I\le\pi+\frac2\pi H_{N-1}+\frac1{N\pi} $$
である（左は $k=0,\dots,N-1$ の下からの評価 $\sum_{k=0}^{N-1}\frac2{(k+1)\pi}$ を足した）。
段 3（調和級数との比較）。$\frac1k\ge\int_k^{k+1}\frac{dx}x$ と $\frac1k\le\int_{k-1}^k\frac{dx}x$（$k\ge2$）から $\log(N+1)\le H_N$、$H_{N-1}\le1+\log N$ である。段 1・段 2 を合わせると、下からは $E\ge0$ により
$$ L_N\ge\frac2\pi I\ge\frac4{\pi^2}H_N\ge\frac4{\pi^2}\log(N+1) $$
であり、上からは
$$ L_N\le2+\frac4{\pi^2}(1+\log N)+\frac2{\pi^2N}+\frac{\pi^2}{24}\le\frac4{\pi^2}\log N+2+\frac6{\pi^2}+\frac{\pi^2}{24} $$
である。$2+\frac6{\pi^2}+\frac{\pi^2}{24}=3.019\ldots< 4$ なので主張の不等式を得る。両辺を $\log N$ で割って $N\to\infty$ とすれば $L_N/\log N\to\frac4{\pi^2}$ である。$\square$

次数 $N$ 以下の三角多項式 $T$ を任意にとる。$s_N$ は $f$ について線形で $s_N(T;\cdot)=T$ なので $f-s_N(f;\cdot)=(f-T)-s_N(f-T;\cdot)$ であり、thm-dk-partial-sum から
$$ \lvert s_N(f-T;x)\rvert\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(x-t)-T(x-t)\rvert\,\lvert D_N(t)\rvert\,dt\le L_N\|f-T\|_\infty $$
である。よって $\|f-s_N(f;\cdot)\|_\infty\le(1+L_N)\|f-T\|_\infty$ であり、$T$ について下限をとればよい。後半は thm-dk-lebesgue-growth から $1+L_N\le5+\frac4{\pi^2}\log N$ であることによる。$\square$

近似に使う三角多項式として、Fejér 平均 $\sigma_N(f;\cdot)$ をとる。これは次数 $N$ 以下の三角多項式で、Fejér 核 $F_N$ を使って $\sigma_N(f;x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)F_N(t)\,dt$ と書け、$F_N\ge0$、$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N=1$、$F_N$ は偶関数で、$0<\lvert t\rvert\le\pi$ なら $F_N(t)\le\min\bigl\{N+1,\frac{\pi^2}{(N+1)t^2}\bigr\}$ である（Fejérの定理 の定義「Fejér 平均と Fejér 核」と補題「Fejér 核の性質」）。$F_N$ の積分が $1$ であることから
$$ \lvert\sigma_N(f;x)-f(x)\rvert=\Bigl\lvert\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x-t)-f(x)\bigr)F_N(t)\,dt\Bigr\rvert\le\frac K{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert t\rvert F_N(t)\,dt=\frac K\pi\int_0^{\pi}tF_N(t)\,dt $$
である。$\delta:=\frac\pi{N+1}$ で積分を分け、$[0,\delta]$ では $F_N\le N+1$、$[\delta,\pi]$ では $F_N\le\frac{\pi^2}{(N+1)t^2}$ を使うと、$\int_0^{\pi}tF_N\,dt\le(N+1)\frac{\delta^2}2+\frac{\pi^2}{N+1}\int_\delta^\pi\frac{dt}t=\frac{\pi^2}{N+1}\bigl(\frac12+\log(N+1)\bigr)$ となる。よって $E_N(f)\le\|f-\sigma_N(f;\cdot)\|_\infty$ は 1 つ目の評価以下である。2 つ目の評価は cor-dk-lebesgue-inequality と thm-dk-lebesgue-growth による。右辺は $\frac{(\log N)^2}N$ 程度の大きさで $0$ に近づく。$\square$