Riemannの写像定理

$\Omega\ne\mathbb{C}$ なので、$c\in\mathbb{C}\setminus\Omega$ がある。$z-c$ は $\Omega$ 上で $0$ にならないので、平方根の性質から $r^2=z-c$ を満たす正則関数 $r\colon\Omega\to\mathbb{C}$ がある。
$r$ は単射である：$r(z)=r(w)$ なら $z-c=r(z)^2=r(w)^2=w-c$ だから $z=w$ である。さらに、どの $z,w\in\Omega$ についても $r(z)\ne-r(w)$ である：$r(z)=-r(w)$ なら両辺を 2 乗して $z=w$ となり、$r(z)=-r(z)$ から $r(z)=0$、つまり $z=c\in\Omega$ となって矛盾する。
$r$ は定数でないので、開写像定理(複素解析) の定理「正則写像の開写像定理」により $r(\Omega)$ は開集合である。$w_0:=r(a)$ とおくと、$-w_0$ は開集合 $-r(\Omega):=\{-w\mid w\in r(\Omega)\}$ に属するので、$\rho>0$ を開円板 $\{|\zeta+w_0|<\rho\}$ が $-r(\Omega)$ に含まれるようにとれる。前段により $r(\Omega)$ と $-r(\Omega)$ は交わらないから、すべての $z\in\Omega$ で $|r(z)+w_0|\ge\rho$ である。そこで
$$k(z):=\frac{\rho}{2\,(r(z)+w_0)}$$
とおくと、$k$ は $\Omega$ 上の正則関数で $|k|\le\frac12$ を満たし、$r$ の単射性から単射である。$k(a)\in\mathbb{D}$ なので $f_0:=\varphi_{k(a)}\circ k$ は $\Omega$ から $\mathbb{D}$ への単射な正則関数で $f_0(a)=0$ を満たし、$f_0\in\mathcal{F}$ である。$\square$

$q\in\mathbb{D}\setminus f(\Omega)$ をとる。$g:=\varphi_q\circ f$ は $\Omega$ から $\mathbb{D}$ への単射な正則関数で、$f$ は値 $q$ をとらないので $g$ は $\Omega$ 上で $0$ にならない。平方根の性質から $s^2=g$ を満たす正則関数 $s$ がある。$|s|=|g|^{1/2}<1$ なので $s\colon\Omega\to\mathbb{D}$ であり、$s(z)=s(w)$ なら $g(z)=g(w)$ から $z=w$ となるので $s$ は単射である。
$b:=s(a)\in\mathbb{D}$ とおき、$h:=\varphi_b\circ s$ と定める。$h$ は $\Omega$ から $\mathbb{D}$ への単射な正則関数で $h(a)=\varphi_b(b)=0$ だから $h\in\mathcal{F}$ である。
$f$ を $h$ で表す。$s=\varphi_{-b}\circ h$、$g=s^2$、$f=\varphi_{-q}\circ g$ だから、
$$\Psi(w):=\varphi_{-q}\bigl(\varphi_{-b}(w)^2\bigr)\qquad(w\in\mathbb{D})$$
とおくと $f=\Psi\circ h$ である。$\Psi$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への正則関数で、$b^2=g(a)=\varphi_q(0)=-q$ より
$$\Psi(0)=\varphi_{-q}(b^2)=\varphi_{-q}(-q)=0$$
である。$\Psi$ は単射でない：$0$ でない $w\in\mathbb{D}$ をとると、$\varphi_b(w)\ne\varphi_b(-w)$ だが $\Psi(\varphi_b(w))=\varphi_{-q}(w^2)=\Psi(\varphi_b(-w))$ である。したがって $\Psi$ は回転でなく、Schwarz の補題により $|\Psi'(0)|<1$ である。連鎖律から $f'(a)=\Psi'(0)\,h'(a)$ であり、$h$ は単射なので $h'(a)\ne0$ だから
$$|f'(a)|=|\Psi'(0)|\,|h'(a)|<|h'(a)|$$
となる。$\square$

$\Omega$ は単連結なので、前節により平方根の性質をもつ。前節の記号を使う。
段 1（上限は有限で正）。 $s:=\sup_{f\in\mathcal{F}}|f'(a)|$ とおく。lem-rmt-nonempty により $\mathcal{F}$ は空でなく、$f'(a)\ne0$ なので $s>0$ である。$r>0$ を閉円板 $\{|z-a|\le r\}$ が $\Omega$ に含まれるようにとると、$f\in\mathcal{F}$ は $|f|<1$ を満たすので、Cauchy の評価式（Cauchyの積分公式 の命題「Cauchy の評価式」）により $|f'(a)|\le1/r$ である。よって $s\le1/r<\infty$ である。
段 2（上限をとる関数の存在）。 $f_n\in\mathcal{F}$ を $|f_n'(a)|\to s$ となるようにとる。$\mathcal{F}$ の元はすべて $|f|<1$ を満たすので、$\mathcal{F}$ は局所有界である。複素解析 の定理「Montel の定理」により、部分列をとり直せば $(f_n)$ は $\Omega$ 上で正則関数 $f$ に局所一様収束する。導関数も局所一様収束するので（Cauchyの積分公式 の系「Weierstrass の定理」）、$f'(a)=\lim f_n'(a)$ であり $|f'(a)|=s>0$ である。特に $f$ は定数でない。
段 3（極限は $\mathcal{F}$ に属する）。 各 $f_n$ は単射で、$f$ は定数でないので、偏角の原理 の系「零点をもたない関数と単射な関数の極限」の 2 により $f$ は単射である。$f(a)=\lim f_n(a)=0$ であり、$|f_n|<1$ から $|f|\le1$ である。$f$ は定数でないので $f(\Omega)$ は開集合であり、閉円板 $\{|w|\le1\}$ に含まれる開集合は $\mathbb{D}$ に含まれる。よって $f\in\mathcal{F}$ で、$|f'(a)|=s$ である。
段 4（極値をとる関数は全射）。 $f$ が全射でなければ、lem-rmt-improve により $h\in\mathcal{F}$ で $|h'(a)|>|f'(a)|=s$ となるものがあり、$s$ が上限であることに反する。よって $f\colon\Omega\to\mathbb{D}$ は全単射な正則関数であり、逆写像も正則なので双正則写像である。
段 5（正規化）。 $f'(a)=|f'(a)|e^{i\theta}$ と書き、$\varphi:=e^{-i\theta}f$ とおく。$\varphi$ は双正則写像で $\varphi(a)=0$、$\varphi'(a)=|f'(a)|>0$ である。
段 6（一意性）。 $\varphi_1,\varphi_2$ がともに条件を満たすとする。$\psi:=\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ は $\mathbb{D}$ の自己同型で $\psi(0)=0$ を満たすので、回転 $\psi(w)=e^{i\alpha}w$ である。連鎖律から $e^{i\alpha}=\psi'(0)=\varphi_2'(a)/\varphi_1'(a)$ は正の実数なので $e^{i\alpha}=1$ であり、$\varphi_2=\varphi_1$ となる。$\square$

1 ⇒ 2 は Cauchyの積分定理 の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」の 3 である（前節）。2 ⇒ 3 は thm-rmt-main の証明の段 1〜4 そのものである（そこでは平方根の性質だけを使った）。
3 ⇒ 1 を示す。$\mathbb{D}$ は凸なので、$\mathbb{D}$ 内の閉曲線 $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{D}$ は $H(t,u):=(1-u)\gamma(t)+u\gamma(0)$ によって基点を固定したまま定値の道にホモトープであり（$H(0,u)=H(1,u)=\gamma(0)$）、$\mathbb{D}$ は弧状連結なので単連結である。双正則写像 $\varphi\colon\Omega\to\mathbb{D}$ は同相写像であり、単連結性は同相写像で保たれる（基本群が同型に写る。基本群）。よって $\Omega$ は単連結である。$\square$

1：$\varphi_j\colon\Omega_j\to\mathbb{D}$ を $\varphi_j(a_j)=0$ を満たす双正則写像とし（thm-rmt-main）、$F:=\varphi_2^{-1}\circ\varphi_1$ とおけばよい。$\Omega_1=\Omega_2$ のときの $F$ が自己同型である。2：$\Omega\ne\mathbb{C}$ なら thm-rmt-main の双正則写像が同相写像である。$\Omega=\mathbb{C}$ なら、$z\mapsto z/(1+|z|)$ が $\mathbb{C}$ から $\mathbb{D}$ への同相写像である（逆写像は $w\mapsto w/(1-|w|)$）。$\square$

$0< r<1$ を固定する。閉円板 $\{|w|\le r\}$ はコンパクトなので、連続写像 $\varphi^{-1}$ による像 $K_r:=\varphi^{-1}(\{|w|\le r\})$ は $\Omega$ のコンパクト部分集合である。仮定から $n\ge N$ なら $z_n\notin K_r$、すなわち $|\varphi(z_n)|>r$ である。$r$ は任意なので $|\varphi(z_n)|\to1$ である。$\square$