連続関数環

1：$Z(f)=\emptyset$ なら $1/f$ は連続で $f\cdot(1/f)=1$ である。逆に $fg=1$ なら各点で $f(x)g(x)=1$ なので $f(x)\neq0$ である。2：$f\ge0$ なら $g:=\sqrt f$ は連続で $g^2=f$ であり、逆に平方は非負である。4 の前半：$f^n=0$ なら各点で $f(x)^n=0$ なので $f=0$ である。3 と 4 の後半は挙げた記事の例による。$\square$

要点：$g'-g$ が平方なら $\Phi(g')-\Phi(g)$ も平方で非負になり、有理数の定数で挟めば実数の定数も保たれる。

1：$I$ について。$Z(f)=\emptyset$ なら $f$ は単元（prop-cfr-basic の 1）で、単元を含むイデアルは $C(X)$ 全体なので、$\emptyset\notin Z[I]$ である。$X=Z(0)\in Z[I]$。$f,g\in I$ なら $f^2+g^2\in I$ で $Z(f)\cap Z(g)=Z(f^2+g^2)$ である。$f\in I$、$Z(f)\subset Z(h)$ なら $fh\in I$ で $Z(fh)=Z(f)\cup Z(h)=Z(h)$ である。よって $Z[I]$ は z-フィルターである。
$\mathcal F$ について。$Z(0)=X\in\mathcal F$ なので $0\in Z^{-1}[\mathcal F]$。$f,g\in Z^{-1}[\mathcal F]$ なら $Z(f+g)\supset Z(f)\cap Z(g)\in\mathcal F$ で、$Z(f+g)$ は零集合なので条件 3 により $\mathcal F$ に属する。$h\in C(X)$ について $Z(hf)\supset Z(f)$ から同様に $hf\in Z^{-1}[\mathcal F]$。$Z(1)=\emptyset\notin\mathcal F$ なので $1\notin Z^{-1}[\mathcal F]$ である。
2：$Z^{-1}\bigl[Z[\mathfrak m]\bigr]$ は 1 によりイデアルで $\mathfrak m$ を含むので、極大性から $\mathfrak m$ に等しい。z-フィルター $\mathcal F\supset Z[\mathfrak m]$ をとると、$Z^{-1}[\mathcal F]\supset Z^{-1}\bigl[Z[\mathfrak m]\bigr]=\mathfrak m$ はイデアルなので $\mathfrak m$ に等しく、$\mathcal F=Z\bigl[Z^{-1}[\mathcal F]\bigr]=Z[\mathfrak m]$ である。よって $Z[\mathfrak m]$ は z-超フィルターである。
3：イデアル $Z^{-1}[\mathcal F]$ を含む極大イデアル $\mathfrak m$ がある（極大イデアル の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）。$Z[\mathfrak m]\supset Z\bigl[Z^{-1}[\mathcal F]\bigr]=\mathcal F$ で、$Z[\mathfrak m]$ は z-フィルター、$\mathcal F$ は極大なので $Z[\mathfrak m]=\mathcal F$ である。2 から $Z^{-1}[\mathcal F]=Z^{-1}\bigl[Z[\mathfrak m]\bigr]=\mathfrak m$ となる。
最後の主張：2 により $\mathfrak m\mapsto Z[\mathfrak m]$ は単射で、3 と $Z\bigl[Z^{-1}[\mathcal F]\bigr]=\mathcal F$ により全射である。$\square$

コンパクトなら固定されていること：極大イデアル $\mathfrak m$ について、$Z[\mathfrak m]$ は閉集合の族で、thm-cfr-zultra により z-フィルターなので、有限個の元の共通部分は再び $Z[\mathfrak m]$ に属し、空でない。コンパクト空間では、このような族（有限交叉性をもつ閉集合族）の共通部分は空でない（有限交叉性 の定理「コンパクト性の言い換え」）。よって $\mathfrak m$ は固定されている。
固定されているならコンパクトであること：対偶を示す。$X$ がコンパクトでないとし、有限部分被覆をもたない開被覆 $\{U_s\}_{s\in S}$ をとる。
$$ I:=\Bigl\{f\in C(X)\Bigm|\text{ある有限集合 }T\subset S\text{ について }Z(f)\supset X\setminus\textstyle\bigcup_{s\in T}U_s\Bigr\} $$
とおく。$Z(f+g)\supset Z(f)\cap Z(g)$ と $Z(hf)\supset Z(f)$ から、$I$ は和と $C(X)$ の元の掛け算で閉じる（有限集合 $T$ は和集合をとる）。有限個の $U_s$ では $X$ を覆えないので $Z(1)=\emptyset$ はどの $X\setminus\bigcup_{s\in T}U_s$ も含まず、$1\notin I$ である。よって $I$ は真のイデアルである。各 $x\in X$ について $x\in U_s$ となる $s$ を選び、Tychonoff 性により $f_x(x)=1$、$f_x|_{X\setminus U_s}=0$ となる $f_x\in C(X)$ をとる。$Z(f_x)\supset X\setminus U_s$ なので $f_x\in I$ である。$I$ を含む極大イデアル $\mathfrak m$ をとると、どの $x$ についても $f_x\in\mathfrak m$ かつ $f_x(x)\neq0$ なので、$\mathfrak m$ のすべての元が消える点はない。すなわち $\mathfrak m$ は自由である。
全単射であること：全射は前半による。$x\neq y$ なら、$\{x\}$ は閉集合（$T_1$ 性）なので、Tychonoff 性により $g(y)=1$、$g(x)=0$ となる $g\in C(X)$ があり、$g\in\mathfrak m_x\setminus\mathfrak m_y$ である。$\square$

1：thm-cfr-compact により $\mu_X$ は全単射である。$f\in C(X)$ について
$$ \mu_X^{-1}(O_f)=\{x\in X\mid f\notin\mathfrak m_x\}=\operatorname{coz}(f) $$
である。$\operatorname{coz}(f)$ は開集合なので $\mu_X$ は連続である。$X$ は Tychonoff 空間なので $\{\operatorname{coz}(f)\}$ は $X$ の開基であり、その像 $\mu_X(\operatorname{coz}(f))=O_f$ は開集合なので、$\mu_X$ は開写像でもある。よって $\mu_X$ は同相写像である。
2：単射であること。$h\neq h'$ なら $h(x)\neq h'(x)$ となる $x$ がある。$Y$ は Tychonoff 空間なので $g(h(x))=1$、$g(h'(x))=0$ となる $g\in C(Y)$ があり、$h^*(g)\neq h'^*(g)$ である。
全射であること。単位元を保つ環準同型 $\Phi\colon C(Y)\to C(X)$ をとる。$x\in X$ を固定すると、$\mathrm{ev}_x\circ\Phi\colon C(Y)\to\mathbb R$ は環準同型で、lem-cfr-constants により定数を保つので全射である。その核は剰余環が体 $\mathbb R$ なので極大イデアルであり、thm-cfr-compact によりただ一つの $y\in Y$ について $\mathfrak m_y$ に等しい。この $y$ を $h(x)$ とおく。$g\in C(Y)$ について $g-g(h(x))\in\mathfrak m_{h(x)}$ なので
$$ \Phi(g)(x)=\Phi\bigl(g(h(x))\bigr)(x)=g(h(x)) $$
である（2 つ目の等号は lem-cfr-constants）。よって $\Phi(g)=g\circ h$ である。$h$ の連続性：$g\in C(Y)$ について $h^{-1}(\operatorname{coz}(g))=\{x\mid g(h(x))\neq0\}=\operatorname{coz}(\Phi(g))$ は開集合で、$\{\operatorname{coz}(g)\}$ は $Y$ の開基なので $h$ は連続である。
3：同相写像 $h\colon X\to Y$ があれば、$h^*$ は環同型で逆は $(h^{-1})^*$ である。逆に環同型 $\Phi\colon C(Y)\to C(X)$ とその逆 $\Psi$ があるとする。2 により連続写像 $h\colon X\to Y$、$k\colon Y\to X$ で $\Phi=h^*$、$\Psi=k^*$ となるものがある。$g\in C(Y)$ について $(\Psi\circ\Phi)(g)=g\circ h\circ k$ なので $(h\circ k)^*=\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}=(\mathrm{id}_Y)^*$ であり、2 の単射性（$X=Y$ の場合）から $h\circ k=\mathrm{id}_Y$ である。同様に $k\circ h=\mathrm{id}_X$ であり、$h$ は同相写像である。$\square$