Sobolevの埋め込み定理

要点：各座標方向の直線に沿って積分すると $|u(x)|\le f_j(\hat x_j)$（$\hat x_j$ は $x_j$ を除いた座標）となり、$n$ 個の不等式を掛けて $(n-1)$ 乗根をとり、座標を 1 つずつ除いた関数の積の積分の評価（Loomis–Whitney 型の補題）を使う。

要点：$x$ と $Q$ の点 $y$ を結ぶ線分に沿って $u(x)-u(y)$ を積分で表し、$y$ について $Q$ の上で平均してから Hölder の不等式を使う。

密度への帰着。 $1\le p<\infty$ なら $C_c^\infty(\mathbb R^n)$ は $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で稠密である（Bre11 Theorem 9.2、pp. 265–267）。そこで各評価をまず $u\in C_c^1(\mathbb R^n)$ について示す。一般の $u$ には $W^{1,p}$ で $u$ に収束する $u_k\in C_c^\infty$ をとり、部分列に移ってほとんど至る所 $u_k\to u$ としておく。1・2 の $L^q$ ノルムの評価は Fatouの補題 により $\|u\|_q\le\liminf_k\|u_k\|_q$ から極限へ移る。3 は後で述べる。
1 の証明。 $p=1$ は lem-se-gagliardo そのものである（定数は $1$）。$1< p< n$ とし、$\gamma:=p(n-1)/(n-p)>1$ とおく。$t\mapsto|t|^\gamma$ は $C^1$ 級なので $v:=|u|^\gamma\in C_c^1(\mathbb R^n)$ で、$|\nabla v|\le\gamma|u|^{\gamma-1}|\nabla u|$ である。$v$ に lem-se-gagliardo を当て、Hölderの不等式 を共役指数 $p'=p/(p-1)$ で使うと
$$ \|u\|_{\gamma n/(n-1)}^{\gamma}=\|v\|_{n/(n-1)}\le\gamma\int|u|^{\gamma-1}|\nabla u|\le\gamma\,\|u\|_{(\gamma-1)p'}^{\gamma-1}\,\|\nabla u\|_p $$
を得る。$\gamma$ の選び方から $\gamma n/(n-1)=(\gamma-1)p'=p^*$ であり、$u$ は台がコンパクトなので $\|u\|_{p^*}<\infty$ である。$u\neq0$ なら両辺を $\|u\|_{p^*}^{\gamma-1}$ で割って $\|u\|_{p^*}\le\gamma\|\nabla u\|_p$ を得る。$p\le q\le p^*$ なら $1/q=\theta/p+(1-\theta)/p^*$ となる $\theta\in[0,1]$ があり、Hölder の不等式と $a^\theta b^{1-\theta}\le a+b$（$a,b\ge0$）から $\|u\|_q\le\|u\|_p^\theta\|u\|_{p^*}^{1-\theta}\le\|u\|_p+\|u\|_{p^*}\le(1+n\gamma)\|u\|_{W^{1,p}}$ である。
2 の証明。 $n\ge2$ とし、$n':=n/(n-1)$ と書く。整数 $m\ge2$ について、1 の証明と同じ計算を $|u|^m$ に当てると（Hölder の不等式は指数 $n'$ と $n$ で使う）
$$ \|u\|_{mn'}^m\le m\,\|u\|_{(m-1)n'}^{m-1}\,\|\nabla u\|_n $$
となる。両辺の $m$ 乗根をとり $a^{(m-1)/m}b^{1/m}\le a+b$ を使うと $\|u\|_{mn'}\le m^{1/m}\bigl(\|u\|_{(m-1)n'}+\|\nabla u\|_n\bigr)$ である。$m=n$ のとき右辺の指数は $(n-1)n'=n$ なので $\|u\|_{nn'}\le C\|u\|_{W^{1,n}}$ を得る。$m=n+1,n+2,\dots$ と順に当てはめれば、すべての $m\ge n$ について $\|u\|_{mn'}\le C_m\|u\|_{W^{1,n}}$ となる。$mn'\to\infty$ なので、1 の証明と同じ補間で $n\le q<\infty$ のすべてに評価が及ぶ。
$n=1$ のときは $u(x)=\int_{-\infty}^xu'(t)\,dt$ から $\|u\|_\infty\le\|u'\|_1$ であり、$1\le q<\infty$ には $\|u\|_q^q\le\|u\|_\infty^{q-1}\|u\|_1$ を使う。$L^\infty$ の評価は Fatou の補題の代わりに、ほとんど至る所の収束から直接極限へ移る。
3 の証明。 $u\in C_c^1(\mathbb R^n)$ とする。$x\neq y$ について、中心が $(x+y)/2$ で一辺の長さ $r:=2|x-y|$ の開立方体 $Q$ は $x,y$ を含むので、lem-se-morrey-cube を $x$ と $y$ に当てて三角不等式を使うと
$$ |u(x)-u(y)|\le2C_0(2|x-y|)^{1-n/p}\|\nabla u\|_p $$
である。また $x$ を含む一辺 $1$ の立方体 $Q$ をとると、Hölder の不等式から $|u_Q|\le\|u\|_{L^p(Q)}$ なので $|u(x)|\le\|u\|_p+C_0\|\nabla u\|_p$ である。
一般の $u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ では、上の $u_k$ について $\sup|u_k-u_l|\le(1+nC_0)\|u_k-u_l\|_{W^{1,p}}\to0$ なので、$u_k$ はある連続関数 $\tilde u$ に一様収束する。$u_k\to u$ がほとんど至る所成り立つので $\tilde u=u$ がほとんど至る所成り立ち、2 つの評価は $u_k$ についての評価から極限で従う。$\square$

$m$ についての帰納法で示す。$m=1$ は thm-se-main である（$1/p-1/n$ の符号は $p$ と $n$ の大小で決まる。$n=1$、$p=1$ は 2 にあたる）。$m\ge2$ とし、$m-1$ ではすべての $p$ について成り立つとする。$u\in W^{m,p}(\mathbb R^n)$ と $|\alpha|\le m-1$ について、弱微分 の命題「弱微分の基本性質」の 4 により $D^\alpha u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で、その弱微分は $u$ の $m$ 階以下の弱微分である。
$p< n$ の場合。 thm-se-main の 1 を各 $D^\alpha u$ に当てると $\|D^\alpha u\|_{p^*}\le C\|u\|_{W^{m,p}}$ なので、$u\in W^{m-1,p^*}$ で $\|u\|_{W^{m-1,p^*}}\le C\|u\|_{W^{m,p}}$ である。$1/p^*-(m-1)/n=1/p-m/n$ なので、帰納法の仮定（指数 $p^*$）から、1・2・3 の各場合に $u\in L^q$（1 では $p^*\le q\le q_m$、2 では $p^*\le q<\infty$）または $u\in L^\infty$ が評価つきで従う。$u\in L^p$ と合わせ、thm-se-main の証明と同じ補間で 1・2 の $p\le q$ の範囲全体に評価が及ぶ。
$p=n$ の場合。 $1/p-m/n=(1-m)/n<0$ なので 3 を示せばよい。thm-se-main の 2 により、$n< q<\infty$ をとると $\|D^\alpha u\|_q\le C\|u\|_{W^{m,p}}$ で、$u\in W^{m-1,q}$ である。$m-1\ge1$ なので $1/q-(m-1)/n<1/n-1/n=0$ であり、帰納法の仮定の 3 から $u\in L^\infty$ で連続な代表をもつ。
$p>n$ の場合。 やはり 3 を示せばよく、$u\in W^{1,p}$ に thm-se-main の 3 を当てればよい。$\square$

1・2：$\|u\|_{L^q(\Omega)}\le\|Pu\|_{L^q(\mathbb R^n)}\le C\|Pu\|_{W^{1,p}(\mathbb R^n)}\le C'\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}$ であり、真ん中の不等式は thm-se-main である。$p>n$ では $Pu$ の連続な代表を $\overline\Omega$ に制限し、thm-se-main の 3 の評価に $\|\nabla(Pu)\|_p\le nC\|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}$ を使う。3：$\Omega$ の測度が有限なので、Hölder の不等式から $\|u\|_{L^q(\Omega)}\le|\Omega|^{1/q-1/p}\|u\|_{L^p(\Omega)}$ である。高階の場合は、$|\alpha|\le m-1$ の $D^\alpha u\in W^{1,p}(\Omega)$ に 1・2 を当てて prf-se-higher と同じ帰納法をたどればよい。$\square$