古典群

要点：$\lvert\mathrm{GL}_n(q)\rvert$ を $q-1$ で割って $\mathrm{SL}_n(q)$ の位数を出し、中心の位数 $\gcd(n,q-1)$ で割る。

$y\ne x$ をとると $gx=y$ となる $g$ があるので $G_x\ne G$ である。$H\supsetneq G_x$ とし、$h_0\in H\setminus G_x$ をとる。$g\in G\setminus G_x$ を任意にとると、$h_0x\ne x$、$gx\ne x$ なので、2 重推移性により $kx=x$、$kh_0x=gx$ となる $k\in G$ がある。このとき $k\in G_x\subseteq H$ であり、$g^{-1}kh_0x=x$ より $g^{-1}kh_0\in G_x\subseteq H$ である。よって $g=kh_0(g^{-1}kh_0)^{-1}\in H$ となり、$H=G$ である。$\square$

$N$ を $G$ の正規部分群で $N\not\subseteq K$ となるものとし、$N=G$ を示す。
まず $N\not\subseteq G_x$ である。実際、$N\subseteq G_x$ なら、任意の $g\in G$ について $N=gNg^{-1}\subseteq gG_xg^{-1}=G_{gx}$ であり、作用は推移的なので $N\subseteq\bigcap_{y}G_y=K$ となって仮定に反する。$N$ は正規なので $NG_x$ は $G_x$ を真に含む部分群であり、lem-cg-maximal により $NG_x=G$ である。
次に $G=NA$ を示す。$N$ は正規なので $NA$ は部分群である。$g\in G$ を $g=nh$（$n\in N$、$h\in G_x$）と書くと、$A$ は $G_x$ の正規部分群なので $gAg^{-1}=n(hAh^{-1})n^{-1}=nAn^{-1}$ であり、$a\in A$ について $nan^{-1}=(nan^{-1}a^{-1})\,a\in NA$ である。よって共役 $gAg^{-1}$ はすべて $NA$ に含まれ、それらが $G$ を生成するので $G=NA$ である。
すると 準同型定理 の定理「第2同型定理」により $G/N=NA/N\cong A/(A\cap N)$ は可換群なので、$[G,G]\subseteq N$ である。$G=[G,G]$ だから $N=G$ である。
$G/K$ の正規部分群は $K$ を含む $G$ の正規部分群 $N$ と $N/K$ で対応する。上で示したことから、$N=K$ か $N=G$ である。また lem-cg-maximal より $K\subseteq G_x\ne G$ なので $G/K$ は自明群でない。よって $G/K$ は単純群である。$\square$

$G=\mathrm{SL}_n(k)$、$X=\mathbb{P}^{n-1}(k)$ に thm-cg-iwasawa を当てはめる。$X$ は $\lvert k\rvert+1\ge3$ 個以上の点をもつ。
2 重推移性．$\langle u_1\rangle\ne\langle u_2\rangle$、$\langle v_1\rangle\ne\langle v_2\rangle$ とする。$u_1,u_2$ と $v_1,v_2$ はそれぞれ線形独立なので、基底 $u_1,\dots,u_n$ と $v_1,\dots,v_n$ に延長できる。$g_0u_i=v_i$ で定まる $g_0\in\mathrm{GL}_n(k)$ をとり、$Du_1=(\det g_0)^{-1}u_1$、$Du_i=u_i$（$i\ge2$）で $D$ を定めて $g:=g_0D$ とおくと、$\det g=1$ であり、$g\langle u_i\rangle=\langle v_i\rangle$（$i=1,2$）である。
核．$g$ がすべての直線を保つとする。$ge_i=\lambda_ie_i$ と書け、$i\ne j$ について $g(e_i+e_j)=\mu(e_i+e_j)$ なので $\lambda_i=\mu=\lambda_j$ となり、$g$ はスカラー行列である。逆にスカラー行列はすべての直線を保つ。よって核は $G$ のスカラー行列の全体、すなわち中心 $Z(\mathrm{SL}_n(k))$ であり（特殊線形群 の命題「特殊線形群の中心」）、$G/K=\mathrm{PSL}_n(k)$ である。
可換な正規部分群．$x:=\langle e_1\rangle$ とすると $G_x$ は第 1 列が $(\lambda,0,\dots,0)^{\mathsf T}$ の形の行列の全体である。
$$ A:=\{I+e_1c^{\mathsf T}\mid c\in k^n,\ c_1=0\} $$
（第 1 行が $(1,c_2,\dots,c_n)$ で、残りの行が単位行列と同じ行列の全体）とおく。$c^{\mathsf T}e_1=c_1=0$ なので $(I+e_1c^{\mathsf T})(I+e_1d^{\mathsf T})=I+e_1(c+d)^{\mathsf T}$ であり、$A$ は加法群 $k^{n-1}$ と同型な可換な部分群で、$G_x$ に含まれる。$g\in G_x$、$ge_1=\lambda e_1$ なら
$$ g(I+e_1c^{\mathsf T})g^{-1}=I+(ge_1)(c^{\mathsf T}g^{-1})=I+e_1d^{\mathsf T},\qquad d^{\mathsf T}:=\lambda c^{\mathsf T}g^{-1} $$
であり、$d_1=d^{\mathsf T}e_1=\lambda c^{\mathsf T}(\lambda^{-1}e_1)=c_1=0$ なので、$A$ は $G_x$ の正規部分群である。
共役による生成．$A$ は $T_{1j}(c)$（$j\ge2$）を含む。$i\ne j$ を任意にとり、$\pi(1)=i$ を満たす置換 $\pi$ を選んで $j':=\pi^{-1}(j)$ とおく（$j'\ne1$）。$g e_1=\varepsilon e_i$、$ge_a=e_{\pi(a)}$（$a\ge2$）で定まる行列 $g$ は、$\varepsilon=\pm1$ を選べば $\det g=1$ にできる。$gE_{1j'}g^{-1}$ は $e_j=ge_{j'}$ を $gE_{1j'}e_{j'}=ge_1=\varepsilon e_i$ に写し、ほかの基底ベクトル $e_{\pi(a)}=\pm ge_a$（$a\ne j'$）を $0$ に写すので、$gE_{1j'}g^{-1}=\varepsilon E_{ij}$、すなわち $gT_{1j'}(c)g^{-1}=T_{ij}(\varepsilon c)$ である。$c$ は任意なので、$A$ の共役はすべての $T_{ij}(c)$ を含む。$\mathrm{SL}_n(k)$ はこれらで生成される（基本変形 の系「体と整数環の場合」）。
完全群．$n\ge3$ または $\lvert k\rvert\ge4$ なので、特殊線形群 の定理「交換子部分群の決定」の 2 により $[G,G]=G$ である。
以上で thm-cg-iwasawa の仮定がそろい、$\mathrm{PSL}_n(k)=G/K$ は単純群である。$\square$

$V$ を $\mathbb{F}_q$ 上の $2m$ 次元空間、$\beta$ を非退化な交代形式とする。$\beta(e_i,f_j)=\delta_{ij}$、$\beta(e_i,e_j)=\beta(f_i,f_j)=0$ を満たす順序つきの基底 $(e_1,f_1,\dots,e_m,f_m)$ を シンプレクティック基底 と呼ぶ。
作用は単純推移的．$g\in\mathrm{Sp}(V)$ はシンプレクティック基底をシンプレクティック基底に写す。逆に 2 つのシンプレクティック基底が与えられたとき、一方を他方に写す線形変換 $g$ はただ 1 つあり、$\beta$ の双線形性から基底の組での値を比べて $\beta(gu,gv)=\beta(u,v)$ が成り立つので $g\in\mathrm{Sp}(V)$ である。よって $\lvert\mathrm{Sp}(V)\rvert$ はシンプレクティック基底の個数 $s_m$ に等しい。
基底を数える．$e_1$ は $0$ でない任意のベクトルで、$q^{2m}-1$ 通りある。$\beta$ は非退化なので $v\mapsto\beta(e_1,v)$ は $0$ でない線形形式であり、$\beta(e_1,f_1)=1$ を満たす $f_1$ は超平面の平行移動の点で、$q^{2m-1}$ 通りある。$P:=\langle e_1,f_1\rangle$、$W:=\{w\mid\beta(e_1,w)=\beta(f_1,w)=0\}$ とおくと、$V=P\oplus W$ で $\beta|_W$ は非退化である（下の詳細）。残りの $e_2,f_2,\dots$ は $e_1,f_1$ と $\beta$ が $0$ なので $W$ に属し、$W$ のシンプレクティック基底をなす。逆に $W$ のシンプレクティック基底を付け加えれば $V$ のシンプレクティック基底になる。よって $s_m=(q^{2m}-1)q^{2m-1}s_{m-1}$（$s_0=1$）であり、
$$ s_m=\prod_{i=1}^{m}q^{2i-1}(q^{2i}-1)=q^{m^2}\prod_{i=1}^{m}(q^{2i}-1) $$
である（$\sum_{i=1}^m(2i-1)=m^2$）。$\square$