Hasse不変量

1：$p$ 線形性により $F_E^*(c\xi)=c^pF_E^*\xi=c^pa\xi=c^{p-1}a\cdot(c\xi)$ である。$c^{p-1}\ne0$ なので、$c^{p-1}a=0$ と $a=0$ は同値である。
2：完全対の双線形性から $\langle u^{-1}\eta_\omega,u\omega\rangle=\langle\eta_\omega,\omega\rangle=1$ なので $\eta_{u\omega}=u^{-1}\eta_\omega$ である。1 を $\xi=\eta_\omega$、$c=u^{-1}$ に適用すると $F_E^*\eta_{u\omega}=u^{-(p-1)}A(E,\omega)\,\eta_{u\omega}$、すなわち $A(E,u\omega)=u^{1-p}A(E,\omega)$ である。$c\in\mathbb{F}_p^\times$ なら $c^{p-1}=1$ である。
3：$\phi$ は $k$ 上の同型なので、引き戻し $\phi^*$ は $H^1(E,\mathcal{O}_E)\to H^1(E',\mathcal{O}_{E'})$、$H^0(E,\Omega^1_E)\to H^0(E',\Omega^1_{E'})$、$H^1(E,\Omega^1_E)\to H^1(E',\Omega^1_{E'})$ の同型を与え、カップ積と標準的なトレース写像はこれらと両立する（すべて $k$ 上の楕円曲線から標準的に構成された対象なので、同型で移り合う）。したがって $\langle\phi^*\eta_\omega,\phi^*\omega\rangle=\langle\eta_\omega,\omega\rangle=1$、すなわち $\phi^*\eta_\omega=\eta_{\phi^*\omega}$ である。絶対 Frobenius は任意の射と可換である（$\phi\circ F_{E'}=F_E\circ\phi$。どちらも位相空間上は $\phi$、構造層上は $h\mapsto\phi^\sharp(h)^p$）ので $F_{E'}^*\circ\phi^*=\phi^*\circ F_E^*$ であり、
$$ F_{E'}^*\eta_{\phi^*\omega}=\phi^*F_E^*\eta_\omega=A(E,\omega)\,\phi^*\eta_\omega=A(E,\omega)\,\eta_{\phi^*\omega} $$
を得る。よって $A(E',\phi^*\omega)=A(E,\omega)$ である。

1：$U$ は Weierstrass 方程式の定めるアフィン平面曲線 $\operatorname{Spec}k[x,y]/(y^2+h(x)y-g(x))$ であり、方程式が $y$ について最高次係数 $1$ の 2 次式なので $\mathcal{O}(U)$ は $k[x]$ 上 $1,y$ を基底とする自由加群である。$x\colon E\to\mathbb{P}^1$ は射影曲線の間の定数でない射なので有限射であり（Har77 II.6.8）、$\mathbb{P}^1\setminus\{g=0\}$ は $g$ の斉次化 $G(X,Z)=Z^3g(X/Z)$ に対する $D_+(G)$ でアフィンなので、その逆像 $V$ はアフィンである。$x$ の極は $O$ だけなので $O\in V$、また $g$ の根は $x\ne\infty$ なので $E\setminus V\subset U$、よって $U\cup V=E$ である。$U\cap V$ は $U$ の中で関数 $g(x)$ が消えない開集合 $D(g)$ なので $\mathcal{O}(U\cap V)=\mathcal{O}(U)[g^{-1}]=k[x,g^{-1}]\oplus k[x,g^{-1}]y$ である。最後に $V=(U\cap V)\cup\{O\}$ なので、$U\cap V$ 上正則な関数が $V$ 上正則であることと $O$ で正則であることは同値である。
以下で $O$ における位数（零点の位数）$\operatorname{ord}_O$ を使う。$x$、$y$ は $O$ にそれぞれ位数 $2$、$3$ の極をもち、$E$ の他の点では正則である（Sil09 III.1）。$\operatorname{ord}_O$ は付値なので、次数 $d$ の $r\in k[x]\setminus\{0\}$ に対し $\operatorname{ord}_O r(x)=-2d$、$\operatorname{ord}_O r(x)y=-2d-3$ であり、前者は偶数、後者は奇数なので、$a,b\in k(x)$ に対し $\operatorname{ord}_O(a+by)=\min\{\operatorname{ord}_Oa,\operatorname{ord}_O(by)\}$ である。
2：$a=r/g^n$（$r\in k[x]$、$n\ge0$）と書き、$r=qg^n+r'$、$\deg r'<3n$ と割り算する。$q\in\mathcal{O}(U)$ であり、$r'/g^n$ は $U\cap V$ 上正則で $\operatorname{ord}_O(r'/g^n)=-2\deg r'+6n\ge-2(3n-1)+6n=2>0$ なので $O$ でも正則、よって $\mathcal{O}(V)$ に属する（$r'=0$ なら自明）。
3：$b=qg^n+r$ と割り算すると $qy\in\mathcal{O}(U)$ である。$r$ の $x^{3n-1}$ の係数を $c$ とし $r'':=r-cx^{3n-1}$ とおくと $\deg r''\le3n-2$ なので $\operatorname{ord}_O(r''y/g^n)=-2\deg r''-3+6n\ge1$ であり、$r''y/g^n\in\mathcal{O}(V)$ である。残るのは $c\,x^{3n-1}y/g^n$ で、
$$ \frac{x^{3n-1}y}{g^n}-\frac{x^2y}{g}=\frac{x^2\bigl(x^{3n-3}-g^{n-1}\bigr)y}{g^n} $$
の分子の多項式 $x^2(x^{3n-3}-g^{n-1})$ は、$g^{n-1}$ が最高次係数 $1$ の $3n-3$ 次式なので次数 $3n-2$ 以下（$n=1$ なら $0$）であり、上と同じ計算で右辺は $\mathcal{O}(V)$ に属する。以上を合わせて主張を得る。
4：$x^2/y=x^2(y+h)/g=x^2y/g+(a_1x^3+a_3x^2)/g$ であり、第 2 項は 2 により $\mathcal{O}(U)+\mathcal{O}(V)$ に属するので $[x^2/y]=[x^2y/g]$ である。$x^2/y=s+t$（$s\in\mathcal{O}(U)$、$t\in\mathcal{O}(V)$）と書けたとする。$\operatorname{ord}_O(x^2/y)=-4+3=-1$ で $t$ は $O$ で正則なので $\operatorname{ord}_O s=\operatorname{ord}_O(x^2/y-t)=-1$ である。しかし $s=a(x)+b(x)y\in\mathcal{O}(U)$ の位数は $-2\deg a$ か $-2\deg b-3$ の小さい方で、決して $-1$ にならない。これは矛盾である。よって $[x^2/y]\ne0$ であり、2、3 と合わせて $\mathcal{O}(U\cap V)=\mathcal{O}(U)+\mathcal{O}(V)+k\cdot x^2/y$ である。$U$、$V$ がアフィンで $E$ が分離的なので、Čech コホモロジーは層コホモロジー $H^1(E,\mathcal{O}_E)$ に一致する（Har77 III.4.5）。

1：thm-hasse-invariant-serre-duality の 2 により $\langle\xi,\omega\rangle=\operatorname{tr}[(x^2/y)\omega]=\epsilon\operatorname{res}_O\bigl((x^2/y)\omega\bigr)$ である。$z:=-x/y$ は $O$ における一意化元で、$z$ による展開は
$$ x=z^{-2}-a_1z^{-1}-a_2-\cdots,\qquad y=-z^{-3}+a_1z^{-2}+a_2z^{-1}+\cdots,\qquad\omega=(1+a_1z+\cdots)\,dz $$
である（Sil09 IV.1）。よって $x^2/y=z^{-4}(1-a_1z-\cdots)^2\big/\bigl(-z^{-3}(1-a_1z-\cdots)\bigr)=-z^{-1}(1-a_1z+\cdots)$ であり、$(x^2/y)\omega=(-z^{-1}+\cdots)dz$ の留数は $-1$ である。ゆえに $\langle\xi,\omega\rangle=-\epsilon\in\{1,-1\}$ で、$\eta_\omega=-\epsilon\xi$ である。$F_E^*\xi=a\xi$ とすると、prop-hasse-invariant-transformation の 1 により $F_E^*\eta_\omega=(-\epsilon)^{p-1}a\,\eta_\omega=a\,\eta_\omega$ である（$p$ が奇素数なら $p-1$ は偶数、$p=2$ なら $-1=1$）。よって $A(E,\omega)=a$ である。
2：Čech 余鎖の上で $F_E^*$ は $s\mapsto s^p$ なので $F_E^*\xi=[x^{2p}/y^p]$ である。$y^2=f$ から $y^{p-1}=f^m$、$y^{2p}=f^p$ なので
$$ \frac{x^{2p}}{y^p}=\frac{x^{2p}\,y\,y^{p-1}}{y^{2p}}=\frac{x^{2p}f(x)^m\,y}{f(x)^p} $$
である。$f^m=\sum_{j=0}^{3m}c_jx^j$（$c_{p-1}=A(E)$）と書くと $x^{2p}/y^p=\sum_jc_j\,x^{2p+j}y/f^p$ であり、各項に lem-hasse-invariant-cech-basis の 3（$n=p$、$3n-1=3p-1$）を適用する。$j\le p-1$ なら $\deg x^{2p+j}\le3p-1<3p$ なので余りは $x^{2p+j}$ 自身で、その $x^{3p-1}$ の係数は $j=p-1$ のとき $1$、それ以外は $0$ である。$j\ge p$ なら、$x^3=f-(a_2x^2+a_4x+a_6)$ を $p$ 乗して（標数 $p$、$p$ 奇数）
$$ x^{3p}=f(x)^p-(a_2x^2+a_4x+a_6)^p $$
なので $x^{2p+j}=x^{j-p}x^{3p}\equiv-x^{j-p}(a_2x^2+a_4x+a_6)^p\pmod{f^p}$ であり、右辺の次数は $j+p\le3m+p=(5p-3)/2<3p-1$ である。よって余りの $x^{3p-1}$ の係数は $0$ である。以上から $F_E^*\xi=c_{p-1}\xi=A(E)\xi$ であり、1 により $A(E,\omega)=A(E)$ である。$dx/y=2\omega$ なので、prop-hasse-invariant-transformation の 2 と $2^{p-1}=1$ から $A(E,dx/y)=A(E,\omega)$ である。
3：$p=2$ とする。$y(y+h)=g$ から $1/y=(y+h)/g$、$1/y^2=(y+h)^2/g^2=(y^2+h^2)/g^2=(g+hy+h^2)/g^2$ なので
$$ \frac{x^4}{y^2}=\frac{x^4(g+h^2)}{g^2}+\frac{x^4h}{g^2}\,y $$
である。第 1 項は lem-hasse-invariant-cech-basis の 2 により $\mathcal{O}(U)+\mathcal{O}(V)$ に属する。第 2 項に同補題の 3 を $n=2$、$b=x^4h=a_1x^5+a_3x^4$ で適用すると、$\deg b\le5<6$ なので余りは $b$ 自身で、その $x^5$ の係数は $a_1$ である。よって $F_E^*\xi=[x^4/y^2]=a_1\xi$ であり、1 により $A(E,\omega)=a_1$ である。

$\phi\colon E'\to E$、$(x',y')\mapsto(u^2x'+r,u^3y')$ は $k$ 上の同型で、$\phi^*(dx/2y)=u^2dx'/(2u^3y')=u^{-1}\,dx'/2y'$ である。thm-hasse-invariant-weierstrass-formula の 2 と prop-hasse-invariant-transformation の 2、3 により
$$ A'=A(E',dx'/2y')=A(E',u\phi^*(dx/2y))=u^{1-p}A(E',\phi^*(dx/2y))=u^{1-p}A(E,dx/2y)=u^{1-p}A(E) $$
である。係数の直接計算による証明は 超特異楕円曲線 の記事の補題にある。

1：$\binom{p-1}{j}=\prod_{i=1}^{j}\frac{p-i}{i}$ で、各因子は $\bmod p$ で $\frac{-i}{i}=-1$ に合同である（$1\le i\le j< p$ なので $i$ は $p$ で割れない）。
2：2 項展開（二項定理）により
$$ (y^2-f)^{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1}\binom{p-1}{j}y^{2j}(-f)^{p-1-j} $$
であり、$y^{p-1}$ を含む項は $j=m$ の項 $\binom{p-1}{m}(-1)^my^{p-1}f^m$ だけである。その $x^{p-1}y^{p-1}$ の係数は $\binom{p-1}{m}(-1)^m[x^{p-1}]f^m$ で、1 により $\binom{p-1}{m}(-1)^m=1$ なので $A(E)$ に等しい。斉次版は、$F^{p-1}$ が $(y^2-f)^{p-1}$ の斉次化（次数 $3(p-1)$）であり、$(XYZ)^{p-1}$ が $(xy)^{p-1}$ の斉次化（$Z$ の指数は $3(p-1)-2(p-1)=p-1$）であることから従う。

thm-hasse-invariant-weierstrass-formula の 2 により $A(E_\lambda,\omega_\lambda)=[x^{p-1}](x(x-1)(x-\lambda))^m$ である。この係数が $(-1)^mH_p(\lambda)$ に等しいことは、$x^m(x-1)^m(x-\lambda)^m$ の $x^{2m}$ の係数、すなわち $(x-1)^m(x-\lambda)^m$ の $x^m$ の係数を 2 項展開で求めればよく、超特異楕円曲線 の記事の命題（Legendre 族の Hasse 多項式による判定）の証明で計算されている。$(-1)^m=\binom{p-1}{m}$ は prop-hasse-invariant-plane-cubic の 1 による。超特異性との同値は thm-hasse-invariant-supersingular による。

1：$H_p(0)=\binom{m}{0}^2=1$ である。$\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}^2=\sum_i\binom{m}{i}\binom{m}{m-i}$ は $(1+t)^m(1+t)^m=(1+t)^{2m}$ の $t^m$ の係数なので $\binom{2m}{m}=\binom{p-1}{m}$ であり、prop-hasse-invariant-plane-cubic の 1 により $(-1)^m\ne0$ である。
2：多項式 $H=\sum_ic_i\lambda^i$ について、左辺の $\lambda^i$ の係数は
$$ 4(i+1)i\,c_{i+1}-4i(i-1)c_i+4(i+1)c_{i+1}-8i\,c_i-c_i=4(i+1)^2c_{i+1}-(2i+1)^2c_i $$
である。$c_i=\binom{m}{i}^2$（$i>m$ では $0$）とすると、$i< m$ では $(i+1)\binom{m}{i+1}=(m-i)\binom{m}{i}$ により $4(i+1)^2c_{i+1}=4(m-i)^2c_i$ であり、$2(m-i)=p-1-2i\equiv-(2i+1)$ なので $4(m-i)^2\equiv(2i+1)^2$、よって係数は $0$ である。$i=m$ では $c_{m+1}=0$ かつ $(2m+1)^2=p^2\equiv0$ なので係数は $0$ である。$i>m$ では両方の項が $0$ である。
3：$\lambda_0\in\bar{\mathbb{F}}_p$ を $H_p$ の重根とすると $H_p(\lambda_0)=H_p'(\lambda_0)=0$ である。1 により $\lambda_0\ne0,1$ である。2 の微分方程式を $n$ 回微分すると（Leibniz則）
$$ 4\lambda(1-\lambda)H^{(n+2)}+\bigl(4(1-2\lambda)+4n(1-2\lambda)\bigr)H^{(n+1)}-\bigl(4n(n-1)+8n+1\bigr)H^{(n)}=0 $$
なので、$H^{(n)}(\lambda_0)=H^{(n+1)}(\lambda_0)=0$ なら $4\lambda_0(1-\lambda_0)H^{(n+2)}(\lambda_0)=0$、$\lambda_0\ne0,1$ より $H^{(n+2)}(\lambda_0)=0$ である。帰納法によりすべての $n\ge0$ で $H_p^{(n)}(\lambda_0)=0$ である。$\deg H_p=m< p$ なので Taylor 展開（Taylor展開）$H_p(\lambda)=\sum_{n=0}^{m}\frac{H_p^{(n)}(\lambda_0)}{n!}(\lambda-\lambda_0)^n$ が成り立ち（$n\le m< p$ なので $n!$ は $\mathbb{F}_p$ で可逆）、$H_p=0$ となる。これは $H_p(0)=1$ に反する。よって重根はなく、$\deg H_p=m$（最高次係数 $\binom{m}{m}^2=1$）から根はちょうど $m$ 個である。