胞体近似定理

要点：$\chi$ で $e$ を $\mathbb R^k$ とみなし、原点の近くに写る部分だけで $g$ を区分的に一次な写像 $\ell$ に取り替える。$\ell$ の像は次元 $n$ 以下の単体の像の有限和なので、$\mathbb R^k$ の原点の近くの点を逃す。

要点：特性写像の円板の中で、$p$ に対応する点から境界へ放射状に押し出す。

$g(D^n)$ はコンパクトなので、$Y$ の有限部分複体 $L$ に含まれる（CW複体の記事の定理「コンパクト集合は有限部分複体に含まれる」）。$L$ の胞体で、$B$ に属さず次元が $n$ より大きいものの個数 $N$ についての帰納法で示す。$N=0$ なら $L\subset B\cup Y^n$ なので、定値のホモトピーでよい。
$N>0$ とし、そのような胞体のうち次元 $k$ が最大のもの $e$ をとる。$L$ のほかの胞体の閉包は $e$ と交わらない。実際、$B$ の胞体の閉包は $B$ に含まれ、$B$ に属さない胞体 $e'\ne e$ の閉包は $e'$ と次元 $\dim e'-1$ 以下の骨格の和に含まれ、$\dim e'\le k$ である（次元が $n$ 以下の胞体も含めて）。よって $L':=L\setminus e$ は部分複体で、$e$ は $L$ の開集合である。$e$ は特性写像により開球 $\operatorname{Int}D^k\cong\mathbb R^k$ と同相であり（CW複体の記事の補題「貼り付けの基本性質」の (R2)）、$L$ は Hausdorff である（同記事の定理「CW 複体は Hausdorff」）。
$D^n$ と $I^n$ を境界を保つ同相写像で同一視し、lem-ca-avoid を $Z=L$、この $e$、$g$ に使う。$k>n$ なので $e$ は $Y^{n-1}$ とも $B$ とも交わらず、$g(S^{n-1})$ は $e$ の外にある。lem-ca-avoid の 1 により $S^{n-1}$ は動かず、2 によりホモトピーの値は $L$ に留まる。終わりの写像 $g_1$ は点 $p\in e$ を像に含まないので、lem-ca-puncture の変位レトラクション $L\setminus\{p\}\to L'$ へのホモトピーを合成できる。これは $L'$ の点を動かさないので、$S^{n-1}$ の上では動かない。二つのホモトピーをつなぐと、$g$ は $S^{n-1}$ を止めたまま像が $L'$ に含まれる写像に変形される。$L'$ について $N$ は 1 減るので、帰納法の仮定から結論を得る。$\square$

骨格ごとの段階。 $f_0:=f$ とし、$n\ge0$ について、次を満たす $f_n\colon X\to Y$ が得られているとする：$f_n$ は $A$ の上で $f$ に等しく、$k< n$ で $f_n(X^k)\subset Y^k$。$A$ に属さない $n$ 胞体 $e_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha$ とすると、$f_n\circ\Phi_\alpha(S^{n-1})\subset f_n(X^{n-1})\subset Y^{n-1}$ である。lem-ca-cell（$B=\emptyset$）により、$S^{n-1}$ の上で動かないホモトピー $\kappa_\alpha\colon D^n\times I\to Y$ で、$\kappa_\alpha(\cdot,0)=f_n\circ\Phi_\alpha$、$\kappa_\alpha(D^n\times\{1\})\subset Y^n$ となるものを、各 $\alpha$ についてとる。
$X_n':=X^n\cup A$ は部分複体である。$X_n'\times I$ の上の写像 $\kappa$ を、$(X^{n-1}\cup A)\times I$ の上では $\kappa(x,t):=f_n(x)$、$e_\alpha\times I$ の上では $\kappa(\Phi_\alpha(u),t):=\kappa_\alpha(u,t)$ と定める。$\kappa_\alpha$ は $S^{n-1}$ の上で $f_n\circ\Phi_\alpha$ のまま動かないので、矛盾なく定まる。$X_n'\times I$ は積の胞体からなる CW 複体で、その位相は積位相と一致する（Whiteheadの定理の記事の節「ホモトピー拡張性質」）。各特性写像 $\Phi\times\mathrm{id}_I$ との合成は $f_n\circ\Phi$ または $\kappa_\alpha$ で連続なので、$\kappa$ は連続である（CW複体の記事の定理「胞体ごとの判定」）。$A$ に属する $n$ 胞体の上では $f_n=f$ であり、$f$ は $A$ の上で胞体的なので、$\kappa(\cdot,1)$ は $X^n$ を $Y^n$ へ写す。
CW 対 $(X,X_n')$ のホモトピー拡張性質（Whiteheadの定理の記事の命題「CW 対のホモトピー拡張性質」）により、$\kappa$ はホモトピー $h_n\colon X\times I\to Y$ で $h_n(\cdot,0)=f_n$ となるものに延びる。$f_{n+1}:=h_n(\cdot,1)$ とすると、$h_n$ は $X^{n-1}\cup A$ の上で動かず、$f_{n+1}$ は $A$ の上で $f$ に等しく、$k\le n$ で $f_{n+1}(X^k)\subset Y^k$ を満たす。
ホモトピーをつなぐ。 $\tau_n:=1-2^{-n}$ とし、$t\in[\tau_n,\tau_{n+1}]$ では $F(x,t):=h_n\bigl(x,2^{n+1}(t-\tau_n)\bigr)$、$F(x,1):=\lim_nf_n(x)$ と定める。$x\in X^m$ なら $n\ge m+1$ の $h_n$ は $x$ を動かさないので $f_n(x)=f_{m+1}(x)$（$n\ge m+1$）であり、極限は存在して $F(\cdot,t)$ は $X^m$ の上で $t\ge\tau_{m+1}$ のとき一定である。$X$ の $m$ 胞体の特性写像 $\Phi$ について、$F\circ(\Phi\times\mathrm{id}_I)$ は $[0,\tau_{m+1}]$ では有限個の連続なホモトピーのつなぎ、$[\tau_{m+1},1]$ では一定なので、連続である。$X\times I$ も CW 複体なので、CW複体の記事の定理「胞体ごとの判定」により $F$ は連続である。
$F(\cdot,0)=f$、$F$ は $A$ の上で動かず、$g:=F(\cdot,1)$ は $X^m$ の上で $f_{m+1}$ に等しいので $g(X^m)\subset Y^m$ である。よって $g$ は胞体写像である。$\square$

仮定から $i\le m$ のとき $X^i\subset A$、すなわち $A\cup X^i=A$ である。
1：点 $x$ を $D^0\to X$ とみなし、lem-ca-cell を $B=A$、$n=0$ で使うと、ホモトピーは $x$ から $A\cup X^0=A$ の点への道である。
2：元を写像 $g\colon(D^i,S^{i-1},s_0)\to(X,A,x_0)$ で表す。$g(S^{i-1})\subset A=A\cup X^{i-1}$ なので、lem-ca-cell により $g$ は $S^{i-1}$ を止めたホモトピーで像が $A\cup X^i=A$ に含まれる写像 $g_1$ に変形される。このホモトピーは対の写像のホモトピーである。さらに $D^i$ を $s_0$ へ一次に縮めるホモトピー $g_1\bigl((1-t)u+ts_0\bigr)$ は値が $A$ の中にあるので、$g_1$ は定値写像と同じ類を表す。よって $[g]=0$ である。
3：対のホモトピー群の完全列 $\pi_{i+1}(X,A,x_0)\to\pi_i(A,x_0)\to\pi_i(X,x_0)\to\pi_i(X,A,x_0)$（Hat02 Theorem 4.3, p. 344）に 2 を使う。$i=0$ では、全射は 1 による。$m\ge1$ のときの単射は次のとおり。$A$ の 2 点を結ぶ $X$ の道 $\gamma\colon D^1\to X$ は $\gamma(S^0)\subset A=A\cup X^0$ を満たすので、lem-ca-cell（$B=A$、$n=1$）により端点を止めたまま像が $A\cup X^1=A$ に入る道に変形でき、2 点は $A$ の中で道で結べる。$\square$

1：$S^n$ に 0 胞体 $x_0$ と $n$ 胞体からなる CW 構造を入れ、cor-ca-connectivity の 3 を $(S^n,\{x_0\})$、$m=n-1$ に使う。$k< n-1$ では同型 $0=\pi_k(\{x_0\})\cong\pi_k(S^n)$、$k=n-1$ では全射から $\pi_{n-1}(S^n)=0$ を得る。2：$(X,X^{m+1})$ に $m+1$ を当てはめた cor-ca-connectivity の 3 による。$\square$

$X\times I$ に積の CW 構造を入れると、$X\times\partial I$ は部分複体で、$f_0,f_1$ を並べた写像はその上で胞体的である。thm-ca-main を任意のホモトピーに使えば、$X\times\partial I$ の上で動かないホモトピーで胞体写像 $F$ に変わり、$F$ も $f_0$ と $f_1$ を結ぶ。$X^n\times I$ は $(X\times I)^{n+1}$ に含まれるので、$F(X^n\times I)\subset Y^{n+1}$ である。$\square$