平均値の定理

同義語：mean value theoremLagrangeの平均値定理

概要

前提知識: 実数, 導関数, 連続写像, コンパクト空間

動機と具体例

高速道路の 120 km の区間を 1.5 時間で走った車の平均の速さは時速 $120/1.5=80$ km である。途中で速くなったり遅くなったりしていても、速さが連続的に変わる限り、この車は途中のある瞬間にちょうど時速 80 km で走っている。平均の速さより常に遅ければ 1.5 時間で 120 km は進めず、常に速ければ進みすぎるからである。
グラフで言えば次のようになる。$f(x)=x^2$ を区間 $[1,3]$ で考えると、両端を結ぶ直線（弦）の傾きは $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$ である。一方、点 $x$ での接線の傾きは $f'(x)=2x$ であり、$x=2$ でちょうど $4$ になる。弦と平行な接線が、区間の内部のどこかで引ける。
この「平均の変化率は、途中のどこかで瞬間の変化率として実現される」という主張が平均値の定理（mean value theorem）である。その特別な場合で、両端の値が等しいとき（弦が水平なとき）の主張を Rolle の定理という。平均値の定理は、導関数の符号から関数の増減を読み取ること、導関数が $0$ の関数が定数であること、関数の値の差を導関数の大きさで押さえることなど、微分法の基本的な結論の根拠になる。
なお、調和関数がもつ「球面上の平均が中心の値に等しい」という性質や、積分についての「$\int_a^bf=f(c)(b-a)$ となる $c$ がある」という主張も平均値の定理と呼ばれることがあるが、本記事で扱うのは 1 変数の微分についての定理である。
以下、微分可能性と導関数を次の意味で使う。

区間上の関数の微分可能性

$I\subset\mathbb{R}$ を 2 点以上を含む区間、$f\colon I\to\mathbb{R}$ を関数、$c\in I$ とする。極限
$$ f'(c):=\lim_{x\to c,\ x\in I\setminus\{c\}}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} $$
が実数として存在するとき、$f$ は $c$ で微分可能であるといい、$f'(c)$ を $c$ での微分係数という（$c$ が $I$ の端点なら片側極限である）。$I$ のすべての点で微分可能なとき、$f$ は $I$ 上で微分可能であるといい、$c\mapsto f'(c)$ を $f$ の導関数という。

$f$ が $c$ で微分可能ならば $c$ で連続である。実際、$x\to c$ のとき $f(x)-f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot(x-c)\to f'(c)\cdot0=0$ となる。逆は成り立たない（ex-mvt-absolute-value）。

定理

証明の出発点は、区間の内部で最大・最小になる点では接線が水平になる、という事実である。

内部の極値での微分係数

$f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ が点 $c\in(a,b)$ で微分可能であり、$c$ で最大値をとる（すべての $x\in(a,b)$ で $f(x)\leq f(c)$）か最小値をとるならば、$f'(c)=0$ である。

左右の差分商の符号

最大値の場合を示す。$c< x< b$ なら $f(x)-f(c)\leq0$、$x-c>0$ なので差分商 $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq0$ であり、$x\to c$ の右側極限をとって $f'(c)\leq0$ を得る。$a< x< c$ なら $x-c<0$ なので差分商は $\geq0$ であり、左側極限をとって $f'(c)\geq0$ を得る。$f$ は $c$ で微分可能なので左右の極限はともに $f'(c)$ に等しく、$f'(c)=0$ である。最小値の場合は $-f$ に同じ議論を使えばよい。

この補題は $c$ の近くだけで最大・最小になる（極大・極小）場合にも、$(a,b)$ を $c$ を含む小さな開区間に取り替えれば同じように成り立つ（Leb Lemma 4.2.2、p. 162）。$c$ が区間の端点のときは成り立たない（$[0,1]$ 上の $f(x)=x$ は $x=1$ で最大だが $f'(1)=1$）。

Rolleの定理

$a< b$ とし、$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ は $[a,b]$ 上で連続、開区間 $(a,b)$ 上で微分可能で、$f(a)=f(b)$ を満たすとする。このとき $f'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ が存在する。

最大値か最小値を内部でとる

$[a,b]$ はコンパクト空間である（コンパクト空間の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。$f$ は $[a,b]$ 上で連続なので、同じ記事の定理「最大値・最小値の存在」により、$f$ は $[a,b]$ のある点で最大値 $M$ を、ある点で最小値 $m$ をとる。
$M=m$ ならば $f$ は $[a,b]$ 上で定数であり、$f'(c)=0$ がすべての $c\in(a,b)$ で成り立つ。$M\ne m$ ならば、$M$ と $m$ の少なくとも一方は端点での値 $f(a)=f(b)$ と異なる。たとえば $M\ne f(a)$ なら、最大値をとる点 $c$ は $a$ でも $b$ でもないので $c\in(a,b)$ であり、$f$ を $(a,b)$ に制限すると $c$ で最大値をとる。lem-mvt-interior-extremum により $f'(c)=0$ である。$m\ne f(a)$ の場合も最小値について同様である。

平均値の定理

$a< b$ とし、$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ は $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能とする。このとき
$$ f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a) $$
を満たす $c\in(a,b)$ が存在する。

弦を引いて Rolle の定理に帰着する

両端を結ぶ直線を引いた差
$$ g(x):=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) $$
を考える。$g$ は $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能で、$g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ である。また $g(a)=0$、$g(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0$ である。thm-mvt-rolle により $g'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ があり、このとき $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ である。

仮定は「閉区間上で連続」と「開区間上で微分可能」の 2 つである。端点での微分可能性は要らないが、端点での連続性は要る（ex-mvt-endpoint）。結論の $c$ は一般に 1 つとは限らず、$c$ の位置も定理からは分からない。この言明と証明は Leb Theorem 4.2.3（Rolle、p. 163）・Theorem 4.2.4（p. 164–165）と同じ形である。Ham Example 2.8（p. 57）は、同じ言明を論理記号に翻訳する例として扱っている。
同じ考え方で、2 つの関数の変化の比についての形が得られる。

Cauchyの平均値定理

$a< b$ とし、$f,g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ はともに $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能とする。このとき
$$ \bigl(f(b)-f(a)\bigr)\,g'(c)=\bigl(g(b)-g(a)\bigr)\,f'(c) $$
を満たす $c\in(a,b)$ が存在する。特に $(a,b)$ 上で $g'(x)\ne0$ ならば $g(b)\ne g(a)$ であり、$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$ である。

交差させた組合せに Rolle の定理を使う

$h(x):=\bigl(f(b)-f(a)\bigr)g(x)-\bigl(g(b)-g(a)\bigr)f(x)$ とおく。$h$ は $[a,b]$ 上で連続、$(a,b)$ 上で微分可能であり、
$$ h(a)=f(b)g(a)-g(b)f(a)=h(b) $$
である（展開すると両方とも $f(b)g(a)-f(a)g(b)$ になる）。thm-mvt-rolle により $h'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ があり、これが主張の等式である。$(a,b)$ 上で $g'\ne0$ なら、$g(b)=g(a)$ とすると $g$ に thm-mvt-rolle を使って $g'(c')=0$ となる $c'$ があり矛盾するので $g(b)\ne g(a)$ であり、等式を $\bigl(g(b)-g(a)\bigr)g'(c)$ で割れば後半を得る。

$g(x)=x$ とおけば thm-mvt に戻る。Cauchy の平均値定理は、極限の計算に使う l'Hôpital の定理の証明に使われる（Leb Theorem 4.2.5、p. 165。同書は証明を Exercise 4.2.15 として読者に委ね、l'Hôpital の定理を Exercise 4.2.9 としている）。

例と反例

車の速さ

時刻 $t$（時間）での車の位置（km）を $s(t)$ とし、$s$ は $[0,1.5]$ 上で連続、$(0,1.5)$ 上で微分可能とする。$s'(t)$ は時刻 $t$ での速さである。$s(1.5)-s(0)=120$ ならば、thm-mvt により $s'(c)=120/1.5=80$ となる時刻 $c\in(0,1.5)$ がある。2 地点の通過時刻から平均の速さを測る速度取締りは、この定理を根拠にしていると説明されることがある（Leb p. 165）。

$c$ が 1 つとは限らない例

$f(x)=x^3$ を $[0,3]$ で考えると、弦の傾きは $27/3=9$ で、$f'(c)=3c^2=9$ となる $c\in(0,3)$ は $c=\sqrt3=1.732\ldots$ のただ 1 つである。一方、$f(x)=\sin x$ を $[0,2\pi]$ で考えると弦の傾きは $0$ で、$f'(c)=\cos c=0$ となる $c$ は $\pi/2$ と $3\pi/2$ の 2 つある。定理は $c$ の存在だけを主張し、個数や位置は関数によって変わる。

反例：微分できない点がある場合

$f(x)=|x|$ を $[-1,1]$ で考える。$f$ は $[-1,1]$ 上で連続で $f(-1)=f(1)=1$ だが、$x<0$ で $f'(x)=-1$、$x>0$ で $f'(x)=1$ であり、$f'(c)=0$ となる $c$ はない。$f$ は $x=0$ で微分可能であるという性質を満たさない（左右の差分商の極限が $-1$ と $1$ で異なる）。したがって「閉区間上で連続で両端の値が等しい $\Rightarrow$ 接線が水平になる点がある」という含意は、内部での微分可能性を外すと成り立たない（Leb p. 164 の例と同じ）。

反例：端点で連続でない場合

$[0,1]$ 上で $f(x)=x$（$0\leq x<1$）、$f(1)=0$ と定める。$f$ は $(0,1)$ 上で微分可能で $f'(x)=1$、また $f(0)=f(1)=0$ であるが、$f'(c)=0$ となる $c\in(0,1)$ はない。$f$ は $x=1$ で連続であるという性質を満たさない。したがって thm-mvt-rolle と thm-mvt の「$[a,b]$ 上で連続」という仮定は、端点での連続性も含めて外せない。

反例：値が複素数の関数

実数の区間から複素数への関数 $f(t)=e^{it}=\cos t+i\sin t$ を $[0,2\pi]$ で考えると、$f(2\pi)-f(0)=0$ だが $f'(t)=ie^{it}$ の絶対値は常に $1$ で、$f'(c)=0$ となる $c$ はない。平均値の定理の等式は、値が実数であることを使っている（証明では、実数値関数が最大値をとる点を使った）。値が複素数や平面のベクトルの場合、等式の形では成り立たない。点の軌跡で言えば、円周を一周して戻る点の速度が $0$ になる瞬間はない。

帰結

平均値の定理の多くの応用は、「区間の 2 点での値の差」を「途中の 1 点での導関数」で書けることを使う。以下、$I$ は 2 点以上を含む区間で、$f\colon I\to\mathbb{R}$ は $I$ 上で微分可能とする（したがって $I$ 上で連続である）。$x< y$ を $I$ の 2 点とすると $[x,y]\subset I$ なので、$f$ を $[x,y]$ に制限したものに thm-mvt が使え、
$$ f(y)-f(x)=f'(c)\,(y-x)\qquad(x< c< y) $$
となる $c$ がある。

導関数が 0 の関数

導関数が0なら定数

区間 $I$ 上で微分可能な $f$ について、すべての $x\in I$ で $f'(x)=0$ ならば、$f$ は $I$ 上で定数である。したがって、$I$ 上で $f'=g'$ となる 2 つの関数 $f,g$ は定数の差しかない。

任意の 2 点で値が等しい

$x< y$ を $I$ の 2 点とすると、上の式で $f'(c)=0$ なので $f(y)=f(x)$ である。後半は $f-g$ に前半を使えばよい。

反例：定義域が区間でない場合

$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 上で $f(x)=1$（$x>0$）、$f(x)=-1$（$x<0$）と定めると、$f$ は $D$ の各点で微分可能で $f'(x)=0$ だが、$f$ は定数でない。$D$ は区間であるという性質を満たさず、$-1$ と $1$ を結ぶ閉区間 $[-1,1]$ が $D$ に含まれないので、thm-mvt を使えない。「導関数が $0$ ならば定数」という含意は、定義域が区間であることを外すと成り立たない。

増減

導関数の符号と増減

区間 $I$ 上で微分可能な $f$ について、次が成り立つ。

すべての $x\in I$ で $f'(x)\geq0$ であることと、$f$ が単調増加（$x< y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$）であることは同値である。
すべての $x\in I$ で $f'(x)>0$ ならば、$f$ は狭義単調増加（$x< y\Rightarrow f(x)< f(y)$）である。
減少についても、不等号の向きを逆にして同じことが成り立つ。

差の符号を導関数の符号で決める

1 の「$\Rightarrow$」と 2：$x< y$ なら $f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)$ で $y-x>0$ なので、$f'(c)\geq0$ なら $f(y)\geq f(x)$、$f'(c)>0$ なら $f(y)>f(x)$ である。1 の「$\Leftarrow$」：$f$ が単調増加ならば、$c\in I$ と $x\in I\setminus\{c\}$ について $f(x)-f(c)$ と $x-c$ の符号は逆にならないので差分商は $\geq0$ であり、極限の $f'(c)$ も $\geq0$ である。減少の場合は $-f$ に使えばよい。

2 の逆は成り立たない。$f(x)=x^3$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調増加だが $f'(0)=0$ である（Leb Proposition 4.2.7・4.2.8 と直後の注意、p. 165–166）。

値の差の評価

導関数の上界による評価

途中の点の導関数で押さえる

$x=y$ なら明らかである。$x< y$ なら（必要なら $x,y$ を入れ替えて）$|f(y)-f(x)|=|f'(c)|\,|y-x|\leq M|y-x|$ である。

平方根の近似値の評価

$f(x)=\sqrt x$ を $[100,101]$ で考えると、$f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$ なので $\sqrt{101}-10=\frac1{2\sqrt c}$ となる $c\in(100,101)$ がある。$\sqrt c>10$ より $\sqrt{101}<10+\frac1{20}=10.05$ である。これと $\sqrt c<\sqrt{101}<10.05$ から $\frac1{2\sqrt c}>\frac1{20.1}$ となり、$\sqrt{101}>10+\frac1{20.1}=10.04975\ldots$ を得る。実際の値は $\sqrt{101}=10.04987\ldots$ で、この範囲に入っている。

補足

Taylorの定理への一般化

平均値の定理は $f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)$ と書ける。これを高階の導関数へ一般化したものが Taylorの定理で、$f$ が $n+1$ 回微分可能なら
$$ f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} $$
となる $c$ が $a$ と $b$ の間にある（剰余項の Lagrange の形）。$n=0$ の場合が平均値の定理である。証明は、多項式で近似した残りの関数に Rolle の定理を繰り返し使うものである（Leb Theorem 4.3.2、p. 172。同書は $f^{(n)}$ が $[a,b]$ 上で連続、$f^{(n+1)}$ が $(a,b)$ 上で存在するという仮定で述べている）。

導関数と中間値の性質

平均値の定理の $c$ は、弦の傾きという「途中の値」を導関数がとる点である。より一般に、区間上で微分可能な関数の導関数は、連続でなくても途中の値をすべてとる（Darboux の定理、Leb Theorem 4.2.11、p. 167）。連続関数については中間値の定理が同じ種類の主張である。

複数の変数の場合

$\mathbb{R}^n$ の凸集合である開集合 $U$ 上で微分可能な実数値関数 $f$ については、$p,q\in U$ を結ぶ線分上に $f(q)-f(p)=\nabla f(r)\cdot(q-p)$ となる点 $r$ がある。これは $t\mapsto f(p+t(q-p))$ に thm-mvt を使えば得られる。値がベクトルの写像では ex-mvt-complex のように等式は成り立たないが、$U$ 上で微分可能な写像については、導関数の大きさによる不等式 $|f(q)-f(p)|\leq\sup_r\|Df(r)\|\,|q-p|$（$\sup$ は $p,q$ を結ぶ線分上の点 $r$ についてとる）の形では成り立つ（逆関数定理の記事の証明はこの形を 1 変数の平均値の定理から導いて使っている）。