保型形式

$M'=\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}$ とすると $MM'$ の下の行は $(ca'+dc',\ cb'+dd')$ であり、$j(M,M'z)j(M',z)=\bigl(c\frac{a'z+b'}{c'z+d'}+d\bigr)(c'z+d')=c(a'z+b')+d(c'z+d')=j(MM',z)$ である。よって $((f|M)|M')(z)=j(M',z)^{-k}j(M,M'z)^{-k}f(MM'z)=j(MM',z)^{-k}f(MM'z)$ である。$\square$

要点：剰余類の個数が有限なので $T$ の冪のどれかが $\Gamma$ に入り、$f$ は周期 $h$ の関数になる。

$\Gamma(1)=\bigsqcup_{i=1}^{\mu}\Gamma\gamma_i$ を右剰余類への分解とする。$h\le\mu$ で、$0\le j< h$ について剰余類 $\Gamma T^j$ は相異なる（$\Gamma T^j=\Gamma T^{j'}$ なら $T^{j-j'}\in\Gamma$ で、$h$ の最小性から $j=j'$）ので、代表を $\gamma_{j+1}=T^j$（$0\le j< h$）となるように選んでおく。$f\in M_k(\Gamma)$、$f\ne0$ に対して
$$ F:=\prod_{i=1}^{\mu}f|_k\gamma_i $$
とおく。
$F$ は重さ $k\mu$ のモジュラー形式である。 各 $f|\gamma_i$ は $\mathfrak{H}$ 上正則なので $F$ も正則である。$\gamma\in\Gamma(1)$ をとる。$\Gamma\gamma_i\gamma$ たちは再び $\Gamma(1)$ の相異なる剰余類の全体なので、置換 $\pi$ と $\eta_i\in\Gamma$ によって $\gamma_i\gamma=\eta_i\gamma_{\pi(i)}$ と書ける。lem-af-cocycle と $f|\eta_i=f$ から $(f|\gamma_i)|\gamma=f|(\eta_i\gamma_{\pi(i)})=f|\gamma_{\pi(i)}$ であり、スラッシュ作用は積と両立する（$(g_1g_2)|_{k_1+k_2}\gamma=(g_1|_{k_1}\gamma)(g_2|_{k_2}\gamma)$）ので
$$ F|_{k\mu}\gamma=\prod_{i=1}^{\mu}(f|\gamma_i)|\gamma=\prod_{i=1}^{\mu}f|\gamma_{\pi(i)}=F $$
である。条件 2 により各 $f|\gamma_i$ は $\operatorname{Im}z\ge1$ で有界なので、$F$ もそこで有界である。よって $F$ は重さ $k\mu$ のモジュラー形式である。
$F\ne0$ であり、$\operatorname{ord}_\infty(F)\ge\operatorname{ord}_{q_h}(f)$ である。 lem-af-expansion の 3 により $f|\gamma_i\in M_k(\gamma_i^{-1}\Gamma\gamma_i)$ なので、その群の幅を $h_i$ とすると $f|\gamma_i$ は $e^{2\pi iz/h_i}$ の負冪のない冪級数に展開される。$f|\gamma_i$ は $0$ でない（$f=(f|\gamma_i)|\gamma_i^{-1}$ だから）ので、展開の最低次の項を $c_iq^{\nu_i}$（$q=e^{2\pi iz}$、$c_i\ne0$、$\nu_i\in\frac1{h_i}\mathbb{Z}_{\ge0}$）と書ける。$H$ を $h_i$ たちの最小公倍数とすると、すべての $f|\gamma_i$ は $q^{1/H}$ の冪級数であり、その積 $F$ の最低次の項は $\bigl(\prod c_i\bigr)q^{\sum\nu_i}$ である。とくに $F\ne0$ で、$F$ の $q$ 展開の最低次は $\sum_i\nu_i$ である。$i=j+1$（$0\le j< h$）では $f|\gamma_i(z)=f(z+j)$ で、$\nu_i=\operatorname{ord}_{q_h}(f)/h$ である。残りの $\nu_i$ は $0$ 以上なので
$$ \operatorname{ord}_\infty(F)=\sum_{i=1}^{\mu}\nu_i\ \ge\ h\cdot\frac{\operatorname{ord}_{q_h}(f)}h=\operatorname{ord}_{q_h}(f) $$
である。
結論。 モジュラー形式 の記事の定理「零点の個数の公式」により、$0$ でない重さ $k\mu$ のモジュラー形式 $F$ について、$\operatorname{ord}_\infty(F)$ に $0$ 以上の項を加えたものが $\frac{k\mu}{12}$ に等しいので、$\operatorname{ord}_\infty(F)\le\frac{k\mu}{12}$ である。よって $\operatorname{ord}_{q_h}(f)\le\frac{k\mu}{12}$ であり、1 が示された。
2 は 1 の対偶である。$a_0,\dots,a_{\lfloor k\mu/12\rfloor}$ がすべて $0$ で $f\ne0$ なら $\operatorname{ord}_{q_h}(f)\ge\lfloor k\mu/12\rfloor+1>\frac{k\mu}{12}$ となり、1 に反する。3：線形写像 $M_k(\Gamma)\to\mathbb{C}^{\lfloor k\mu/12\rfloor+1}$、$f\mapsto(a_0,\dots,a_{\lfloor k\mu/12\rfloor})$ は 2 により単射なので、次元は $\lfloor k\mu/12\rfloor+1$ 以下である。$k<0$ なら 1 の右辺が負なので $0$ でない $f$ はない。$k=0$ なら次元は $1$ 以下で、定数関数を含むので定数関数だけである。$\square$

$\alpha:=\begin{pmatrix}N&0\\0&1\end{pmatrix}$ とおくと $\alpha z=Nz$、$j(\alpha,z)=1$ で、$g=f|_k\alpha$ である。
条件 1：$\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\Gamma_0(N)$ について $\gamma^*:=\alpha\gamma\alpha^{-1}=\begin{pmatrix}a&Nb\\c/N&d\end{pmatrix}$ は整数成分で行列式 $1$ なので $\Gamma(1)$ に属する。lem-af-cocycle により $g|\gamma=f|(\alpha\gamma)=f|(\gamma^*\alpha)=(f|\gamma^*)|\alpha=f|\alpha=g$ である。
条件 2：$\delta\in\Gamma(1)$ をとる。$\alpha\delta$ は整数成分で行列式 $N$ である。その第 1 列 $(u,v)^{\top}$ の最大公約数を $e>0$ とし、$\gcd(u/e,v/e)=1$ から第 1 列を $(e,0)^{\top}$ に写す $\varepsilon\in\Gamma(1)$ をとると（Euclidの互除法）、$\varepsilon\alpha\delta=\beta:=\begin{pmatrix}e&b'\\0&N/e\end{pmatrix}$（$b'\in\mathbb{Z}$）となる。$\delta':=\varepsilon^{-1}\in\Gamma(1)$ とおくと $\alpha\delta=\delta'\beta$ であり、
$$ g|\delta=f|(\alpha\delta)=(f|\delta')|\beta=f|\beta,\qquad (f|\beta)(z)=\Bigl(\frac eN\Bigr)^{k}f\Bigl(\frac{ez+b'}{N/e}\Bigr) $$
である。$\operatorname{Im}z\ge1$ なら $\operatorname{Im}\beta z=\frac{e^2}N\operatorname{Im}z\ge\frac1N$ であり、$f$ は $q$ 展開 $\sum a_nq^n$ が $\lvert q\rvert\le e^{-2\pi/N}$ で連続なので $\operatorname{Im}z\ge\frac1N$ で有界である。よって $g|\delta$ は $\operatorname{Im}z\ge1$ で有界である。$\square$