右単位元

概要

右単位元（right identity element）とは、集合と二項演算の組であるマグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $e$ であって、$M$ のすべての元 $a$ に対して $a\cdot e=a$ を満たすもののことである。左からの作用には何も要求しないので、両側の条件を課す単位元と違って一意とは限らない。実際、$x\cdot y:=x$ で定めた演算では $M$ のすべての元が右単位元であり、この演算は結合的だから、結合律を仮定しても一意性は戻らない。整数の差 $a-b$ では $0$ が唯一の右単位元だが左単位元は存在しない。可換なマグマでは右単位元は単位元になる。左単位元と右単位元がともに存在すれば両者は一致し、単位元として一意である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 集合と写像, 二項演算, マグマ

定義

集合 $M$ と二項演算 $\cdot\colon M\times M\to M$ の組 $\langle M,\cdot\rangle$ をマグマ（magma）という。結合律 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ も可換律 $a\cdot b=b\cdot a$ も仮定しない。本記事では、マグマの中で「右からかけても相手を変えない元」を扱う。

右からかけて相手を変えない元

マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $e$ が、$M$ のすべての元 $a$ に対して
$$ a\cdot e=a $$
を満たすとき、$e$ を $\langle M,\cdot\rangle$ の右単位元（right identity element）という。

条件は $M$ のすべての元 $a$ についての要求であり、$a=e$ の場合も含む。とくに右単位元 $e$ はつねに $e\cdot e=e$ を満たす。左右を入れ替えた条件「すべての $a\in M$ に対して $e\cdot a=a$」を満たす元は左単位元とよばれ、両方の条件を満たす元が単位元である。
単位元と違って、右単位元は一意とは限らない（rem-right-identity-element-counterexample）。また、右単位元が存在しても左単位元が存在するとは限らない（ex-right-identity-element-subtraction、prop-right-identity-element-left-projection）。この二点が、両側の条件を課す単位元との違いである。

直感

右単位元は「右からぶつけても相手をそのまま返す元」である。単位元と違って左からの作用については何も要求しないので、左右の条件が独立に効く一般のマグマでは、右単位元だけがある、右単位元がいくつもある、という状況が実際に起こる。整数の引き算では、すべての $a$ について $a-0=a$ が成り立つ一方で、$0-a=a$ はすべての $a$ について成り立つわけではない（たとえば $a=1$ では $0-1=-1\neq1$ である）。このことが、左右を分けて考える必要があることを端的に示している。

例と反例

両側の単位元は右単位元でもある

単位元をもつマグマ（モノイドや群など）では、その単位元は定義の右側の条件だけを取り出せば右単位元である。$\langle\mathbb{Z},+\rangle$ の $0$、$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ の $1$、集合 $X$ からそれ自身への写像全体 $X^X$ に合成 $f\cdot g:=f\circ g$ を入れたマグマの恒等写像 $\mathrm{id}_X$ がその例であり、それぞれ $a+0=a$、$a\times1=a$、$(f\circ\mathrm{id}_X)(x)=f(\mathrm{id}_X(x))=f(x)$ が成り立つ。これらが両側の単位元であること、およびそのときの一意性は単位元の記事が扱う。左単位元も存在するので、これらのマグマでは右単位元もこの一つだけである（rem-right-identity-element-two-sided）。

差をとる演算での右単位元

整数の差で $a\cdot b:=a-b$ と定めたマグマ $\langle\mathbb{Z},-\rangle$ を考える。$0$ は右単位元である（任意の $a$ に対し $a-0=a$）。しかも右単位元はこれだけである。実際、$e$ が右単位元ならば $a=0$ の場合から $0-e=0$ すなわち $e=0$ を得る。一方、左単位元は存在しない。$e$ が左単位元ならば $a=0$ の場合から $e-0=0$、すなわち $e=0$ でなければならないが、$a=1$ では $0-1=-1\neq1$ である。したがって、右単位元が（しかもただ一つ）存在することは、左単位元が存在することを導かない。この演算は結合的でも可換でもない（$(1-1)-1=-1$ に対し $1-(1-1)=1$ であり、$1-0=1$ に対し $0-1=-1$ である）。

反例：右単位元の一意性が破れること

相異なる二元からなる集合 $M=\{a,b\}$ に、左の元をそのまま返す演算 $x\cdot y:=x$ を入れる。演算表は次のとおりで、$x$ の行と $y$ の列の交わりに $x\cdot y$ を書いている。

$\cdot$$a$$b$
$a$$a$$a$
$b$$b$$b$

このマグマは性質 $P$「右単位元をもつ」を満たすが、性質 $Q$「右単位元はただ一つである」を満たさない。実際、$a\cdot a=a$ と $b\cdot a=b$ から $a$ は右単位元であり、$a\cdot b=a$ と $b\cdot b=b$ から $b$ も右単位元である。よって含意 $P\Rightarrow Q$ は成り立たない。さらにこのマグマは性質 $R$「左単位元をもつ」も満たさないので、含意 $P\Rightarrow R$ も成り立たない。$a\cdot b=a\neq b=b\cdot a$ なので可換でもない。
この演算は結合的である（prop-right-identity-element-left-projection）。したがって、結合律を仮定しても右単位元の一意性は回復しない。同じ現象は、二元以上の任意の集合に同じ演算 $x\cdot y:=x$ を入れればつねに起こる（同じ命題の 2 と 3）。

性質

左の元を返す演算

$M$ を空でない集合とし、$x\cdot y:=x$ によって $M$ 上の二項演算を定める。このとき次が成り立つ。

  1. $\langle M,\cdot\rangle$ は結合的である。
  2. $M$ のすべての元が $\langle M,\cdot\rangle$ の右単位元である。
  3. $M$ が二つ以上の元をもつならば、$\langle M,\cdot\rangle$ に左単位元は存在せず、したがって単位元も存在しない。
  4. $M$ が一つの元 $x$ だけからなるならば、$x$ は単位元である。

$\cdot$ が二項演算であることは、第1成分への射影 $M\times M\to M$、$(x,y)\mapsto x$ が写像であることによる。

  1. 任意の $x,y,z\in M$ に対し $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot z=x$ であり、$x\cdot(y\cdot z)=x$ である。両者は一致する。
  2. $e\in M$ を任意にとる。任意の $a\in M$ に対して $a\cdot e=a$ が定義から成り立つので、$e$ は右単位元である。$M$ は空でないので、右単位元は少なくとも一つ存在する。
  3. $e$ が左単位元であるとすると、任意の $a\in M$ に対して $a=e\cdot a=e$ となる。よって $M=\{e\}$ となり、$M$ が二つ以上の元をもつことに反する。左単位元が存在しないので、単位元も存在しない。
  4. $M=\{x\}$ のとき $x\cdot x=x$ であり、左右いずれの条件も満たす。$\square$
可換なマグマでの右単位元

可換なマグマ $\langle M,\cdot\rangle$（すべての $a,b\in M$ で $a\cdot b=b\cdot a$）の右単位元は、単位元である。

$e$ を右単位元とする。任意の $a\in M$ に対し、可換性から $e\cdot a=a\cdot e$ であり、右単位元の定義から $a\cdot e=a$ である。よって $e\cdot a=a\cdot e=a$ が成り立ち、$e$ は左単位元でもある。すなわち $e$ は単位元である。$\square$

rem-right-identity-element-two-sided と合わせると、可換なマグマの右単位元は、存在すればただ一つである。$\langle\mathbb{Z},+\rangle$ の $0$ がその例である。逆に、rem-right-identity-element-counterexample のマグマは可換でないので、この命題とは矛盾しない。

反対演算による左右の入れ替え

マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ に対し、$x*y:=y\cdot x$ とおく。$*$ は $M$ 上の二項演算であり、マグマ $\langle M,*\rangle$ を $\langle M,\cdot\rangle$ の反対マグマ（opposite magma）、$*$ を反対演算（opposite operation）という。このとき、$M$ の元 $e$ について次は同値である。

  1. $e$ は $\langle M,\cdot\rangle$ の右単位元である。
  2. $e$ は $\langle M,*\rangle$ の左単位元である。
    さらに $\langle M,*\rangle$ の反対マグマは $\langle M,\cdot\rangle$ 自身である。

$*$ は、成分を入れ替える写像 $M\times M\to M\times M$、$(x,y)\mapsto(y,x)$ と $\cdot$ の合成なので、$M\times M$ から $M$ への写像、すなわち $M$ 上の二項演算である。
同値性は定義の言い換えである。$e$ が $\langle M,\cdot\rangle$ の右単位元であるとは、すべての $a\in M$ で $a\cdot e=a$ が成り立つことであり、$*$ の定義から $e*a=a\cdot e$ であるから、これはすべての $a\in M$ で $e*a=a$ が成り立つこと、すなわち $e$ が $\langle M,*\rangle$ の左単位元であることと同じである。
最後の主張は、$\langle M,*\rangle$ の反対演算を $\star$ と書くとき、任意の $x,y\in M$ に対して $x\star y=y*x=x\cdot y$ となることによる。$\square$

左右がともに存在する場合

マグマが左単位元 $e_L$ と右単位元 $e_R$ をともにもつならば $e_L=e_R$ であり、この元は単位元として一意である。したがって、左単位元をもつマグマの右単位元は高々一つである（存在すればただ一つに定まる）。この主張と証明は単位元の記事が所有しており、本記事では再掲しない。同じ主張から、右単位元が二つ以上あるマグマには左単位元が存在しないことも従う。prop-right-identity-element-left-projection の 2 と 3 は、その状況が実際に起こることを示す具体例である。

補足：左右の対称性と、他の記事が所有する主張

prop-right-identity-element-opposite は、右単位元についての主張と左単位元についての主張が反対演算をとる操作で正確に対応することを述べている。反対演算をとる操作は二回行うと元に戻るので、対応は一対一である。左単位元について証明された主張が、演算の左右を入れ替える機械的な書き換えで右単位元についての主張に移るのは、その主張がマグマの演算だけを使って書かれている場合であり、本記事はこの一般論を主張として所有しない。いずれにせよ本記事は、左単位元についての個々の主張を書き写すことはしない。
端の場合について。$M=\emptyset$（元をもたないマグマ）には右単位元が存在しない。元がないからである。$M$ が一つの元だけからなるときは、その元が単位元であり、とくに右単位元である。
本記事は、単位元そのものの性質、左単位元と右単位元がともに存在する場合の一致と一意性、および片側単位元の存在の仕方の分類を所有しない。これらは単位元の記事が扱う。本記事の証明はいずれも有限個の元についての等式の計算だけからなり、選択公理をはじめとする集合論的な仮定を使わない。

関連項目

参考文献

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する

Mathpediaを支援する
右単位元