正葉曲線

1. $r=\cos2\theta$。点は $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ である。

   $\theta$	$0$	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi4$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$	$\dfrac{2\pi}3$	$\dfrac{3\pi}4$	$\dfrac{5\pi}6$	$\pi$
   $r$	$1$	$\dfrac12$	$0$	$-\dfrac12$	$-1$	$-\dfrac12$	$0$	$\dfrac12$	$1$
   点	$(1,0)$	$\left(\dfrac{\sqrt3}4,\dfrac14\right)$	$(0,0)$	$\left(-\dfrac14,-\dfrac{\sqrt3}4\right)$	$(0,-1)$	$\left(\dfrac14,-\dfrac{\sqrt3}4\right)$	$(0,0)$	$\left(-\dfrac{\sqrt3}4,\dfrac14\right)$	$(-1,0)$

   たとえば $\theta=\dfrac\pi3$ では $r=\cos\dfrac{2\pi}3=-\dfrac12$ で、点は $\left(-\dfrac12\cos\dfrac\pi3,\ -\dfrac12\sin\dfrac\pi3\right)=\left(-\dfrac14,-\dfrac{\sqrt3}4\right)$ である。これは向き $\dfrac\pi3+\pi=\dfrac{4\pi}3$ の側に距離 $\dfrac12$ の点である。$\dfrac\pi4<\theta<\dfrac{3\pi}4$ では $r<0$ で、点は $x$ 軸より下にあり、$\theta=\dfrac\pi2$ で $(0,-1)$ に達する。下向きの花びらが 1 枚できた。
2. $r=\cos3\theta$。

   $\theta$	$0$	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$	$\dfrac{2\pi}3$	$\dfrac{5\pi}6$	$\pi$	$\dfrac{4\pi}3$	$\dfrac{5\pi}3$
   $r$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$1$	$-1$
   点	$(1,0)$	$(0,0)$	$\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}2\right)$	$(0,0)$	$\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$	$(0,0)$	$(1,0)$	$\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}2\right)$	$\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$

   $\theta=\pi$ では $r=\cos3\pi=-1$ で、点は $(-1\cdot\cos\pi,\ -1\cdot\sin\pi)=(1,0)$ となり、$\theta=0$ の点にもどる。$\theta=\dfrac{4\pi}3$ では $r=\cos4\pi=1$ で、点 $\left(\cos\dfrac{4\pi}3,\sin\dfrac{4\pi}3\right)$ は $\theta=\dfrac\pi3$ の点と同じである。$\theta=\dfrac{5\pi}3$ では $r=\cos5\pi=-1$ で、点 $\left(-\cos\dfrac{5\pi}3,\ -\sin\dfrac{5\pi}3\right)=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ は $\theta=\dfrac{2\pi}3$ の点と同じである。$\pi\le\theta\le2\pi$ では、$0\le\theta\le\pi$ でえがいた点をもう一度たどっている。

$k=1$ のとき $P(\theta)=\cos\theta\,\vec e(\theta)=(\cos^2\theta,\ \cos\theta\sin\theta)$ である。$x=\cos^2\theta$、$y=\cos\theta\sin\theta$ とおくと
$$ x^2+y^2=\cos^4\theta+\cos^2\theta\sin^2\theta=\cos^2\theta\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)=\cos^2\theta=x $$
なので、点は円 $x^2+y^2=x$、つまり中心 $\left(\dfrac12,0\right)$、半径 $\dfrac12$ の円の上にある。
$0$ 番目の花びら（$-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$）で $\cos\theta\ge0$ なので、点は向き $\theta$ の側にあり、$\theta=-\dfrac\pi2$ の原点から、$\theta=0$ の $(1,0)$ を通って $\theta=\dfrac\pi2$ の原点まで、円を 1 周する。$1$ 番目の花びら（$\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac{3\pi}2$）では $\cos\theta\le0$ で、たとえば $\theta=\pi$ の点は $(\cos^2\pi,\ \cos\pi\sin\pi)=(1,0)$ である。$1$ 番目の花びらは同じ円をもう一度たどる。

$k=2$ のとき、区間 $I_j$ の長さは $\dfrac\pi2$ である。各区間の中央 $\theta=\dfrac{j\pi}2$ での $\cos2\theta$ の値と、そのときの点を並べる。

$j=1$ では $\cos\pi=-1<0$ なので、中央の点は向き $\dfrac\pi2+\pi=\dfrac{3\pi}2$ の側の $(0,-1)$ である（ex-rose-start (1)）。$j=3$ でも $\cos3\pi=-1$ で、点は向き $\dfrac{5\pi}2$、つまり向き $\dfrac\pi2$ の側の $(0,1)$ である。4 枚の花びらの先端は右・下・左・上で、どれも違う。

1. $k=3$。$c_0=0$、$c_1=\dfrac\pi3+\pi=\dfrac{4\pi}3$、$c_2=\dfrac{2\pi}3$ である。先端は $(1,0)$、$\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}2\right)$、$\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ で、ex-rose-start (2) の表で $r=\pm1$ となった点と一致する。続く $c_3=\dfrac{3\pi}3+\pi=2\pi$ は $c_0$ と同じ向きで、$3$ 番目の花びらは $0$ 番目と同じである。
   $k=4$、$k=5$ の場合を開く

   (2) $k=4$。$c_j$ を $0\le c_j<2\pi$ にそろえて $j=0,1,\ldots,7$ の順に並べると $$0,\ \frac{5\pi}4,\ \frac\pi2,\ \frac{7\pi}4,\ \pi,\ \frac\pi4,\ \frac{3\pi}2,\ \frac{3\pi}4$$ で、$\dfrac\pi4$ の整数倍 $8$ 個が 1 回ずつ現れる。$j$ が $1$ 増えるごとに先端は $\dfrac{5\pi}4$ ずつ回り、$8$ 回で $10\pi$、つまり $5$ 周してもとにもどる。

   (3) $k=5$。$c_j$ は $j=0,\ldots,4$ で $0,\ \dfrac{6\pi}5,\ \dfrac{2\pi}5,\ \dfrac{8\pi}5,\ \dfrac{4\pi}5$ で、$\dfrac{2\pi}5$ の整数倍 $5$ 個が 1 回ずつ現れる。

$\sin k\theta=\cos\left(k\theta-\dfrac\pi2\right)=\cos k\left(\theta-\dfrac\pi{2k}\right)$ である。$s=\theta-\dfrac\pi{2k}$ とおくと、$r=\sin k\theta$ の点は
$$ \sin k\theta\;\vec e(\theta)=\cos ks\;\vec e\!\left(s+\frac\pi{2k}\right) $$
で、これは $r=\cos k\theta$ の $\theta=s$ の点 $\cos ks\;\vec e(s)$ の向きを $\dfrac\pi{2k}$ 増やした点、つまり原点のまわりに $\dfrac\pi{2k}$ 回転した点である。$\theta$ がすべての実数を動くと $s$ もすべての実数を動くので、$r=\sin k\theta$ の曲線は $r=\cos k\theta$ の曲線を $\dfrac\pi{2k}$ だけ回転した図形である。
たとえば $k=2$ では回転の角は $\dfrac\pi4$ で、$r=\sin2\theta$ の花びらの先端は右上・左上・左下・右下の $4$ 方向（向き $\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4,\dfrac{5\pi}4,\dfrac{7\pi}4$）にある。$\theta=\dfrac\pi4$ で $r=\sin\dfrac\pi2=1$、点は $\left(\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt2}2\right)$ である。$k=3$ では回転の角は $\dfrac\pi6$ で、先端の向きは $\dfrac\pi6$、$\dfrac{5\pi}6$、$\dfrac{3\pi}2$（真下）になる。

1. $k=1$。ex-rose-k1 の円（半径 $\dfrac12$）の面積は $\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac\pi4$ で、thm-rose-area の $\dfrac\pi4$ と一致する。
2. $k=2$。1 枚の花びらの面積は $\dfrac\pi8$ で、$4$ 枚で $\dfrac\pi2$ である。$4$ 枚の花びらは半径 $1$ の円（面積 $\pi$）の中にあり（$\lvert\cos2\theta\rvert\le1$）、ちょうど半分を占める。
3. $k=3$。1 枚の花びらの面積は $\dfrac\pi{12}$ で、$3$ 枚で $\dfrac\pi4$ である。これは 極座標で表された図形の面積 の例「公式を使う面積の計算」で $r\ge0$ の約束のもとに求めた値と同じである（$k$ が奇数なら、$r<0$ の点を加えても新しい花びらは増えない。ex-rose-cx-nonneg）。

極座標と極方程式 の約束（$r\ge0$ の点だけを使う）で $r=\cos2\theta$ をえがくと、$\cos2\theta\ge0$ となる $\theta$、すなわち $I_0$ と $I_2$（とそれを $2\pi$ ずつずらしたもの）の花びらだけが残る。先端は $c_0=0$ と $c_2=\pi$ で、右と左の $2$ 枚である（図 5 の緑）。$I_1$、$I_3$ の花びら（下と上）は $r<0$ から来るので捨てられる（図 5 の破線）。花びらは $2k=4$ 枚ではなく $2$ 枚で、囲む部分の面積も $\dfrac\pi2$ ではなく $2\cdot\dfrac\pi8=\dfrac\pi4$ になる。これは 極座標と極方程式 の反例「r<0 も許すと図形が変わる」で見た現象である。
一般に、$r\ge0$ の約束で残るのは $j$ が偶数の花びらである。$k$ が偶数なら枚数は半分の $k$ 枚になり、$k$ が奇数なら $k$ 枚すべてが残る。$r<0$ を許すかどうかで図形が変わるのは、$k$ が偶数のときだけである。

$r=\cos\dfrac\theta2$ を考え、点を $P(\theta)=\cos\dfrac\theta2\;\vec e(\theta)$ とする。$\theta=0$ では $P(0)=(1,0)$ だが、$\theta=2\pi$ では $\cos\pi=-1$ で $P(2\pi)=-\vec e(2\pi)=(-1,0)$ である。$\theta$ を $2\pi$ 進めても出発点にもどらない。一般に
$$ P(\theta+2\pi)=\cos\left(\frac\theta2+\pi\right)\vec e(\theta+2\pi)=-\cos\frac\theta2\;\vec e(\theta)=-P(\theta) $$
なので、$2\pi\le\theta\le4\pi$ の部分は $0\le\theta\le2\pi$ の部分の点対称な像で、$\theta=4\pi$ で $P(4\pi)=(1,0)$ にもどる（図 6）。$k$ が整数なら $\cos k(\theta+2\pi)=\cos k\theta$ なので長さ $2\pi$ の区間で必ず閉じたが、$k=\dfrac12$ では $2k\pi=\pi$ が $2\pi$ の整数倍でないので閉じない。thm-rose-count の (1) で使った $\cos k(\theta+\pi)=(-1)^k\cos k\theta$ も、$k$ が整数でないと意味をもたない。

$r=\cos3\theta$ で、$\theta$ の範囲を気にせず $0\le\theta\le2\pi$ で $\dfrac12\displaystyle\int r^2\,d\theta$ を計算すると
$$ \frac12\int_0^{2\pi}\cos^23\theta\,d\theta=\frac14\int_0^{2\pi}(1+\cos6\theta)\,d\theta=\frac14\cdot2\pi=\frac\pi2 $$
になる（$\cos6\theta$ は $0\le\theta\le2\pi$ で $6$ 周期分なので、積分は $0$）。囲む部分の本当の面積は $\dfrac\pi4$ である（thm-rose-area）。thm-rose-count (2) により、$\pi\le\theta\le2\pi$ では $0\le\theta\le\pi$ の点をもう一度たどるので、$3$ 枚の花びらを $2$ 回ずつ数えて $2$ 倍になった。$\dfrac12\displaystyle\int_0^\pi\cos^23\theta\,d\theta=\dfrac\pi4$ とすれば正しい。
破る主張：「$\dfrac12\displaystyle\int r^2\,d\theta$ の値が、囲む部分の面積」。極座標で表された図形の面積 の反例「螺旋を 2 周させる」と同じく、同じ部分を 2 回通ったことが原因である。$k$ が偶数なら、$2k$ 枚の扇形（中心角 $\dfrac\pi k$）が原点のまわりをすき間なく 1 周するので（prop-rose-once）、同じ計算の値 $\dfrac\pi2$ はそのまま面積になる。