Poincaré–Wirtingerの不等式

$u$ は $\overline I$ の上で連続なので最小値 $m$ と最大値 $M$ をとり、$m\le u_I\le M$ である。中間値の定理により $u(x_0)=u_I$ となる $x_0\in\overline I$ があり、
$$ |u(x)-u_I|=\Bigl|\int_{x_0}^xu'(t)\,dt\Bigr|\le\|u'\|_{L^1(I)}\qquad(x\in\overline I) $$
である。後半：$I$ は有界なので $W^{1,p}(I)\subset W^{1,1}(I)$ で、Hölder の不等式から $\|u'\|_{L^1}\le|I|^{1-1/p}\|u'\|_{L^p}$ である。よって $\|u-u_I\|_{L^p}\le|I|^{1/p}\sup|u-u_I|\le|I|^{1/p}|I|^{1-1/p}\|u'\|_{L^p}$ である。$\square$

$k\ge0$ について $a_k:=\frac2L\int_0^Lu(x)\cos\frac{k\pi x}L\,dx$、$k\ge1$ について $b_k:=\frac2L\int_0^Lu'(x)\sin\frac{k\pi x}L\,dx$ とおく。$a_0/2=u_I$ である。

1. 係数の関係。$s(x):=\sin\frac{k\pi x}L$ は $s(0)=s(L)=0$ をみたす。$u(x)=u(0)+\int_0^xu'(t)\,dt$ を代入して Fubini の定理を使うと
   $$ \int_0^Lu\,s'\,dx=u(0)\bigl(s(L)-s(0)\bigr)+\int_0^Lu'(t)\bigl(s(L)-s(t)\bigr)\,dt=-\int_0^Lu'\,s\,dt $$
   である。$s'(x)=\frac{k\pi}L\cos\frac{k\pi x}L$ なので、$b_k=-\frac{k\pi}L\,a_k$ を得る。
2. $u-u_I$ の Parseval の等式。$U(x):=u(|x|)$（$|x|\le L$）は $[-L,L]$ の上の連続な偶関数で $U(-L)=U(L)$ をみたすので、$V(y):=U(Ly/\pi)$ を $2\pi$ 周期に延ばした関数は連続である。$V$ は偶関数だから正弦係数は $0$ で、余弦係数は変数変換 $x=Ly/\pi$ により $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}V(y)\cos ky\,dy=\frac2L\int_0^Lu(x)\cos\frac{k\pi x}L\,dx=a_k$ である。Parsevalの等式 の定理「Riemann 積分可能な関数の Parseval の等式」（実数値の形）から
   $$ \frac2L\int_0^Lu^2\,dx=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}V^2\,dy=\frac{a_0^2}2+\sum_{k\ge1}a_k^2 $$
   である。$u-u_I$ に当てはめると（$a_0$ だけが $0$ に変わる）、$\frac2L\int_0^L(u-u_I)^2\,dx=\sum_{k\ge1}a_k^2$ である。
3. $u'$ の Bessel の不等式。$e_k:=\sqrt{2/L}\,\sin\frac{k\pi x}L$（$k\ge1$）は $L^2(I)$ の正規直交系なので、Bessel の不等式（Parsevalの等式 の補題「Bessel の等式」とその後の注意）により $\int_0^Lu'^2\ge\sum_k\langle u',e_k\rangle^2=\frac L2\sum_kb_k^2$ である。
   以上から
   $$ \frac2L\int_0^Lu'^2\,dx\ge\sum_{k\ge1}b_k^2=\sum_{k\ge1}\Bigl(\frac{k\pi}L\Bigr)^2a_k^2\ge\Bigl(\frac\pi L\Bigr)^2\sum_{k\ge1}a_k^2=\Bigl(\frac\pi L\Bigr)^2\frac2L\int_0^L(u-u_I)^2\,dx $$
   となり、不等式が従う。等号が成り立てば、2 番目の不等号で $\sum_{k\ge2}\frac{(k^2-1)\pi^2}{L^2}a_k^2=0$、すなわち $k\ge2$ で $a_k=0$ である。すると連続関数 $w:=u-u_I-a_1\cos\frac{\pi x}L$ の余弦係数はすべて $0$ で、2 の等式を $w$ に当てて $\int_0^Lw^2=0$、よって $w=0$ である。逆に $u=c+a\cos\frac{\pi x}L$ なら $u_I=c$ で、両辺はともに $\frac{a^2L}2$ に等しい（右辺は $(\frac L\pi)^2(\frac{a\pi}L)^2\frac L2$）。$\square$

1. 滑らかな関数の場合。$u\in C^1(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ とする。$x,y\in\Omega$ を結ぶ線分は凸性により $\Omega$ に含まれるので、$z_t:=(1-t)y+tx$ とおくと
   $$ |u(x)-u(y)|=\Bigl|\int_0^1\nabla u(z_t)\cdot(x-y)\,dt\Bigr|\le d\int_0^1|\nabla u(z_t)|\,dt $$
   であり、Hölder の不等式（$[0,1]$ の上）から $|u(x)-u(y)|^p\le d^p\int_0^1|\nabla u(z_t)|^p\,dt$ である。また $u(x)-u_\Omega=\frac1{|\Omega|}\int_\Omega(u(x)-u(y))\,dy$ に確率測度 $dy/|\Omega|$ の上の Hölder の不等式を使うと $|u(x)-u_\Omega|^p\le\frac1{|\Omega|}\int_\Omega|u(x)-u(y)|^p\,dy$ である。$x$ で積分して Tonelli の定理で順序を入れ替えると
   $$ \|u-u_\Omega\|_p^p\le\frac{d^p}{|\Omega|}\int_0^1J(t)\,dt,\qquad J(t):=\int_\Omega\!\int_\Omega|\nabla u((1-t)y+tx)|^p\,dx\,dy $$
   である。
2. $J(t)\le2^N|\Omega|\,\|\nabla u\|_p^p$。$t\ge\frac12$ なら、$y$ を固定して $x\mapsto z=(1-t)y+tx$ と変数変換する。これは単射なアフィン写像で $dz=t^Ndx$、像は凸性により $\Omega$ に含まれるので、内側の積分は $t^{-N}\int_\Omega|\nabla u(z)|^p\,dz\le2^N\|\nabla u\|_p^p$ 以下である。$t<\frac12$ なら、$x$ を固定して $y\mapsto z$ と変数変換すると $dz=(1-t)^Ndy$、$(1-t)^{-N}\le2^N$ で同じ評価を得る。残りの変数で積分すると $J(t)\le2^N|\Omega|\,\|\nabla u\|_p^p$ である。1 と合わせて $\|u-u_\Omega\|_p^p\le2^Nd^p\|\nabla u\|_p^p$ を得る。
3. 一般の $u\in W^{1,p}(\Omega)$。Meyers–Serrinの定理 により $u_k\in C^\infty(\Omega)\cap W^{1,p}(\Omega)$ で $u_k\to u$（$W^{1,p}(\Omega)$）となるものがある。$|(u_k)_\Omega-u_\Omega|\le|\Omega|^{-1/p}\|u_k-u\|_p\to0$ なので、2 の不等式で $k\to\infty$ とすればよい。$\square$

成り立たないとすると、各 $k$ について $\|u_k-(u_k)_\Omega\|_p>k\|\nabla u_k\|_p$ となる $u_k\in W^{1,p}(\Omega)$ がある。$v_k:=(u_k-(u_k)_\Omega)/\|u_k-(u_k)_\Omega\|_p$ とおくと、$(v_k)_\Omega=0$、$\|v_k\|_p=1$、$\|\nabla v_k\|_p<\frac1k$ である。$(v_k)$ は $W^{1,p}(\Omega)$ で有界なので、Sobolev空間の基本事項 の定理「Rellich--Kondrachovのコンパクト埋め込み」（$q=p$。$p< N$ なら $p< p^*$。Bre11 Theorem 9.16（p. 285）も参照）により、部分列が $L^p(\Omega)$ のある $v$ に収束する。その部分列について、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ と $1\le j\le N$ に対し
$$ \int_\Omega v\,\partial_j\varphi\,dx=\lim_k\int_\Omega v_k\,\partial_j\varphi\,dx=-\lim_k\int_\Omega\partial_jv_k\,\varphi\,dx=0 $$
である（最後は $\bigl|\int\partial_jv_k\varphi\bigr|\le\|\nabla v_k\|_p\|\varphi\|_{p'}\to0$）。よって $v$ の弱勾配は $0$ で、$\Omega$ は連結なので 弱微分 の定理「弱勾配が $0$ なら定数」により $v$ はほとんど至る所定数 $c$ である。$\Omega$ は有界なので $L^p$ 収束から $\int_\Omega v=\lim\int_\Omega v_k=0$、よって $c=0$ である。これは $\|v\|_p=\lim\|v_k\|_p=1$ に反する。$\square$

$c_n:=\int_\Omega uf_n\,dx$ とおく。(1) で $v=f_m$ とおくと $\int\nabla f_n\cdot\nabla f_m=\mu_n\delta_{nm}$ なので、$g_n:=f_n/\sqrt{1+\mu_n}$ は $H^1(\Omega)$ の内積 $(v,w)_{H^1}:=\int(\nabla v\cdot\nabla w+vw)$ について正規直交系である。(1) で $v=u$ とおくと $(u,g_n)_{H^1}=\frac{\mu_nc_n+c_n}{\sqrt{1+\mu_n}}=\sqrt{1+\mu_n}\,c_n$ なので、Bessel の不等式から $\|u\|_{H^1}^2\ge\sum_n(1+\mu_n)c_n^2$ である。$(f_n)$ は $L^2$ の正規直交基底なので $\|u\|_2^2=\sum_nc_n^2$ で、差をとると
$$ \|\nabla u\|_2^2\ge\sum_{n\ge0}\mu_nc_n^2 $$
である。$\Omega$ は連結なので $f_0=\pm|\Omega|^{-1/2}$ で、$c_0f_0=u_\Omega$ である。よって $u-u_\Omega=\sum_{n\ge1}c_nf_n$（$L^2$ で）、$\mu_0=0$ で、$n\ge1$ では $\mu_n\ge\mu_1$ だから
$$ \|u-u_\Omega\|_2^2=\sum_{n\ge1}c_n^2\le\frac1{\mu_1}\sum_{n\ge1}\mu_nc_n^2\le\frac1{\mu_1}\|\nabla u\|_2^2 $$
である。$u=f_1$ なら、$f_1$ は $f_0$ と直交するので平均が $0$ で、(1) で $v=f_1$ とおいて $\|\nabla f_1\|_2^2=\mu_1=\mu_1\|f_1\|_2^2$ となり、等号が成り立つ。$\square$