平坦基底変換

第一の写像は $(v+H)\otimes t$ を $v\otimes t$ の剰余類に送る。$v$ を $v+h$ に変えても差は $h\otimes t$ であり零になる。逆は $v\otimes t$ を $(v+H)\otimes t$ に送る。両者は加法と $A$ 釣合いを保ち、互いに逆である。$V\to W$ が全射なら全ての $w\otimes t$ は持上げをもち、核はこの商同型で得られる。
直和の同型は $(m_i)_i\otimes t$ を有限和 $\sum_i m_i\otimes t$ に送る。逆は各直和成分の包含から作り、有限台により和が定義される。最後の同型は $u\otimes(b\otimes m)\mapsto bu\otimes m$、逆は $u\otimes m\mapsto u\otimes(1\otimes m)$ である。$A$ と $B$ の釣合い関係に代入すれば両写像が定義され、合成が恒等である。特に自由加群 $A^{(J)}$ のテンソル積は $T^{(J)}$ であるから、自由加群は任意階数で平坦である。有限台により、単射は直和の各座標でも単射のまま保たれる。

$Z=\ker f$、$T=\operatorname{im}f$ と置く。短完全列 $0\to Z\to U\to T\to0$ と $0\to T\to V\to V/T\to0$ をテンソルする。左端の単射は平坦性で、中間と右端の完全性は右完全性で保たれる。従って $T_B$ は $V_B$ の部分加群となり、$U_B\to T_B$ は全射で、その核は $Z_B$ である。これが核と像の同定を与える。余核は商同型から従う。各写像は元の包含・商写像から誘導されるので、準同型の可換四角形をテンソルしたものと可換する。

加群の全ての元を基底とする自由加群からその加群への全射をとる。核に対して同じ操作を繰り返せば自由分解が得られる。これは有限生成性を必要としない。
射影分解 $P_\bullet\to M,Q_\bullet\to N$ と $f:M\to N$ をとる。$P_0$ の射影性により $f\varepsilon_P$ を $Q_0\to N$ に沿って持ち上げ、$f_0$ を得る。$f_0,\ldots,f_{i-1}$ ができたとき $f_{i-1}d_P$ の像は $\ker d_Q=\operatorname{im}d_Q$ に入る。射影性で $f_i:P_i\to Q_i$ に持ち上げる。これで鎖写像になる。
二つの持上げ $f_i,g_i$ に対し $h_{-1}=0$ とする。次数0では $f_0-g_0$ の像は増大写像の核に入るので、$h_0:P_0\to Q_1$ を $d_Qh_0=f_0-g_0$ ととれる。帰納的に
$$w_i=f_i-g_i-h_{i-1}d_P$$
は $d_Qw_i=0$ を満たす。実際、前次数の等式を代入すれば $d_P^2=0$ により消える。$h_i:P_i\to Q_{i+1}$ を $d_Qh_i=w_i$ と持ち上げると
$$f-g=d_Qh+hd_P$$
となる。テンソル後も同じ等式が成り立ち、二つの写像はホモロジー上で一致する。恒等写像の二つの比較写像の合成も恒等にホモトピックだから、分解間の同型は互いに逆である。写像の合成も一意性で整合し、Torは両変数について自然な関手となる。Homではホモトピーの式を前合成し、差がコチェインホモトピーであることを得る。従ってExtの射影計算も選択によらず、第一変数に反変、第二変数に共変である。$\square$

$Z_n=\ker(d_n)$、$D_n=\operatorname{im}(d_{n+1})$ と置く。完全列
$$0\to Z_n\to C_n\to D_{n-1}\to0, \qquad 0\to D_n\to Z_n\to H_n(C_\bullet)\to0$$
を $B$ でテンソルする。平坦性によりどちらも完全であり、$D_{n-1}\otimes_A B\to C_{n-1}\otimes_A B$ も単射である。従って第一の列からテンソル後の微分の核が $Z_n\otimes_A B$ と分かる。同様に、$C_{n+1}\otimes_A B\to D_n\otimes_A B$ は全射であり、その先の $C_n\otimes_A B$ への写像は単射だから、境界は $D_n\otimes_A B$ である。第二の列の商が求めるホモロジーとなる。サイクルの剰余 $[z]\otimes b$ を $[z\otimes b]$ へ送るこの同型は、複体の写像について自然である。$\square$

$M$ の自由分解 $P_\bullet\to M$ を取る。具体的には $M$ の元を添字とする自由加群から全射を取り、その核について同じ構成を繰り返せばよい。各自由加群が無限階数でも、この構成は完全な分解を与える。$B$ は平坦だから、増大された完全複体をテンソルしても完全である。また $P_i=\bigoplus_{J_i}A$ なら $P_i\otimes_A B=\bigoplus_{J_i}B$。従って $P_\bullet\otimes_A B\to M\otimes_A B$ は $B$ 上の自由分解である。
各次数の自然同型は
$$(P_i\otimes_A N)\otimes_A B \longrightarrow (P_i\otimes_A B)\otimes_B(N\otimes_A B), \qquad (u\otimes v)\otimes b\longmapsto (u\otimes1)\otimes(v\otimes b).$$
逆は $(u\otimes b)\otimes(v\otimes c)\mapsto(u\otimes v)\otimes bc$ である。$A$ と $B$ の釣合い関係を直接保ち、微分とも可換だから複体の同型になる。前補題とTorの定義から、左側のホモロジーは $\operatorname{Tor}_n^A(M,N)\otimes_A B$、右側は $\operatorname{Tor}_n^B(M\otimes_A B,N\otimes_A B)$ であり、結論を得る。
分解間の比較写像にも各次数の同型は可換する。比較写像の選択差は鎖ホモトピーであり、テンソル後も鎖ホモトピーとなるため、得られる同型は分解の選択によらず両加群について自然である。$\square$

$M=A^r$ では、線形写像は有限個の標準基底の像で定まり、両辺は $(N\otimes_A B)^r$ に同定される。比較写像もその座標同定そのものである。
一般に $M$ の有限生成性から全射 $A^r\to M$ を取り、射影性で切断する。核を $M'$ とすれば $M\oplus M'=A^r$ である。Homの有限直和分解とテンソルの有限直和分解の下で、$A^r$ の比較写像は $M$ と $M'$ の比較写像の直和になる。直和写像が同型なら、各成分は単射かつ全射である。従って $M$ の比較写像も同型となる。$\square$

増大された分解は完全であり、平坦テンソル後も完全である。各 $P_i$ は有限自由加群の直和因子なので、$P_i\otimes_A B$ は有限自由 $B$ 加群の直和因子となり射影的である。従って $P_\bullet\otimes_A B$ は $M\otimes_A B$ の射影分解である。前補題を各 $P_i$ に適用すると、微分と可換するコチェイン同型
$$\operatorname{Hom}_A(P_\bullet,N)\otimes_A B \simeq\operatorname{Hom}_B(P_\bullet\otimes_A B,N\otimes_A B)$$
を得る。
ここで平坦テンソルがコホモロジーを保つことを確認する。任意のコチェイン複体 $C^\bullet$ の $Z^i=\ker d^i$、$D^i=\operatorname{im}d^{i-1}$ について
$$0\to Z^i\to C^i\to D^{i+1}\to0, \qquad0\to D^i\to Z^i\to H^i(C^\bullet)\to0$$
をテンソルする。$D^{i+1}\otimes_A B\to C^{i+1}\otimes_A B$ と $D^i\otimes_A B\to C^i\otimes_A B$ の単射性も平坦性で保たれるため、テンソル後のサイクルと境界はそれぞれ $Z^i\otimes_A B$ と $D^i\otimes_A B$ である。第二の完全列の商から $H^i(C^\bullet)\otimes_A B\simeq H^i(C^\bullet\otimes_A B)$ を得る。これを上のHom複体へ適用し、def-fbc-derived の射影計算法により結論する。
比較鎖写像は項ごとのHom同型と可換し、比較写像の選択差のホモトピーもテンソル後に保たれる。従って同型は分解に依存せず、両変数について自然である。$\square$

有限表示 $A^s\xrightarrow{U}A^r\to M\to0$ を取る。$M$ から $N$ への写像は、$A^r$ から $N$ への写像で $U$ の像を零にするものに一意に対応する。従って $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ は、行列 $U$ による写像 $N^r\to N^s$ の核である。平坦性により、この核を $B$ でテンソルすると $N^r\otimes_A B\to N^s\otimes_A B$ の核を得る。有限直和はテンソルと交換するので、これは $(N\otimes_A B)^r\to(N\otimes_A B)^s$ の核であり、行列係数は $U$ の係数を $B$ に送ったものとなる。
テンソルの右完全性によって $B^s\to B^r\to M\otimes_A B\to0$ も表示である。この表示へ同じHomの核の計算を使えば、上の核は $\operatorname{Hom}_B(M\otimes_A B,N\otimes_A B)$ と一致する。標準基底の像を比較すると、得た同型は $f\otimes b$ を $m\otimes c\mapsto f(m)\otimes bc$ へ送る自然比較そのものである。$\square$

平坦テンソル後の $P_\bullet\otimes_A B$ は射影分解である。有限生成でない項も射影加群なので自由加群の直和因子であり、テンソル後に同じ分裂を保つため射影的である。増大完全性は平坦性で保たれる。
$C^i=\operatorname{Hom}_A(P_i,N)$ と置く。$H^n(C^\bullet)$ は $C^{n-1}\to C^n\to C^{n+1}$ の核と像の商だけで決まる。該当する各 $P_i$ は有限生成射影だから、前の有限射影Homの補題が項ごとに適用でき、この三項は $\operatorname{Hom}_B(P_i\otimes_A B,N\otimes_A B)$ と自然に一致する。微分にも可換し、平坦性による核と像の保存を使えば次数 $n$ のコホモロジーは同型である。$n=0$ の場合は負次数の項が零であり、$P_0,P_1$ の有限性だけで同じ計算となる。比較鎖写像とそのホモトピーに項の同型は可換するので、比較は分解の選択によらず自然である。$\square$

逆写像は $n/s\mapsto(1/s)\otimes n$ である。$n/s=n'/s'$ なら、ある $t\in S$ に対し $t(s'n-sn')=0$。テンソル積の側で差を共通分母 $ss't$ に直すと
$$ (1/(ss't))\otimes t(s'n-sn')=0$$
となるので逆写像は分数の表示によらない。正方向も分数表示の変更を同じ零判定で保つ。$A$ 釣合いは $((aa')/s)\otimes n=(a/s)\otimes a'n$ によって一致する。両合成は生成元上で恒等である。
単射 $N'\to N$ の局所化において、源の $n/s$ が零に写れば、ある $t\in S$ が像の分子を殺す。源の単射性から $tn=0$ となり、源でも $n/s=0$ である。先の同型により、これはテンソルによる単射保存を証明する。$0\in S$ なら全ての局所化加群は零であり、両同型と平坦性は同じく成立する。

二度微分して $J$ から二つの添字を除いた成分を考える。最初に小さい添字を除く場合と大きい添字を除く場合とでは、残る添字の位置が一つずれる。その二つの係数は $(-1)^{a+b-3}$ と $(-1)^{a+b-2}$ で符号が逆である。局所化写像の合成は除く順序によらないので、全ての成分が対で打ち消し合う。従って $d^{q+1}d^q=0$ となる。標数2でも二つの等しい項の和が零であり、同じ計算で成立する。

各積 $g=f_{i_1}\cdots f_{i_q}$ について同型
$$M_g\otimes_A B\longrightarrow(M\otimes_A B)_g,\qquad (m/g^a)\otimes b\mapsto(m\otimes b)/g^a$$
を取る。逆は $(m\otimes b)/g^a\mapsto(m/g^a)\otimes b$ を加法的に延長する。分子の $A$ 釣合いを保ち、$g$ のある冪が分子を殺すという分数零判定も両側で同じである。これは lem-fbc-localization とテンソルの係数拡大同型の合成としても得られる。有限直和と交換するので、全 Čech 項が比較できる。
これらの同型はさらに分母を増やす写像と可換するから、交代符号付き微分とも可換する。余鎖複体のサイクル $Z^q$ と境界 $D^q$ に対し $0\to Z^q\to C^q\to D^{q+1}\to0$ と $0\to D^q\to Z^q\to H^q\to0$ を使う。平坦性によって両列と境界の包含が保たれ、テンソル後のサイクル・境界・その商をそれぞれ得る。これが主張であり、全構成は $M$ の準同型に関して自然である。

まず可除アーベル群 $D$ は入射的である。部分群 $L\subset N$ からの写像を最大限延長することをZornの補題で考える。延長域 $L'$ にない $x$ があるなら、$\{n\in\mathbb Z:nx\in L'\}$ は $d\mathbb Z$ の形である。$d=0$ なら $x$ の像を任意に選べる。$d>0$ なら可除性で $dy=f(dx)$ と選び、$f(l+nx)=f(l)+ny$ とすれば矛盾なく延長できる。従って最大延長域は $N$ である。$\mathbb Q/\mathbb Z$ は可除であり、非零元 $x$ をもつ任意の群では巡回部分群 $\mathbb Zx$ から $\mathbb Q/\mathbb Z$ へ $x$ を非零に写す写像がある。有限位数 $n$ なら $1/n$ の類を、無限位数なら例えば $1/2$ の類を選ぶ。入射性で全群に延長できる。
左 $R$ 加群 $M$ の全アーベル群準同型 $f:M\to\mathbb Q/\mathbb Z$ について
$$M\longrightarrow\prod_f\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,\mathbb Q/\mathbb Z),\qquad m\longmapsto(r\mapsto f(rm))_f$$
をとる。右辺の左作用を $(a\varphi)(r)=\varphi(ra)$ とすればこれは $R$ 線形である。$r=1$ での評価と上の非零元検出から単射である。随伴同型
$$\operatorname{Hom}_R(N,\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(R,D))\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(N,D)$$
は $g\mapsto(n\mapsto g(n)(1))$、逆は $f\mapsto(n\mapsto(r\mapsto f(rn)))$ で与えられるので、$D$ が入射なら右辺の各因子は入射である。入射対象の直積も、写像を各座標で延長することで入射となる。商を再び入射対象に埋め込む操作を繰り返せば入射分解が得られる。$\square$

$K_n$ の $I$ 成分の $m\in M$ を $m/f_I^n\in M_{f_I}$ へ送る。$m$ の次段での像 $f_I^{m'-n}m$ を送ると $f_I^{m'-n}m/f_I^{m'}=m/f_I^n$ だから遷移と両立する。
この写像は各成分で全射である。任意の分数 $m/f_I^t$ は、$n\ge\max(1,t)$ を選べば $f_I^{n-t}m/f_I^n$ と書ける。核も零である。段 $n$ の元の像が零なら、ある $s$ で $f_I^sm=0$ となる。段 $n+s$ への遷移でその元は零になるので、直極限でも零である。空集合 $I$ では分母は一、遷移は恒等であり、同じ議論は $M$ の恒等同型になる。有限個の成分の直和とも直極限は交換するので、次数ごとに同型を得る。
微分について、$J=I\cup\{j_a\}$ とすると $K_n$ の対応する微分項は $(-1)^{a-1}f_{j_a}^nm$ である。これを $J$ 成分で送ると
$$ (-1)^{a-1}\frac{f_{j_a}^nm}{f_J^n} =(-1)^{a-1}\frac{m}{f_I^n} $$
となる。右辺は局所化による制限を意味し、Čech の微分項と一致する。従って得た次数別同型は複体の同型である。

直極限の元はある段の元で代表され、その元が零であることは、ある後段で零になることを意味する。この記述から、有向直極限は単射と全射および完全列を保つ。たとえば段 $n$ の元の像が零なら後段で像が零となり、その段の核の元として回収できる。
コホモロジーについても直接確認できる。直極限のサイクルを段 $n$ の $x$ で代表すると、$dx$ の像が零なので後段で $dx=0$ となり、その段のサイクルで代表できる。これで全射性を得る。段のサイクルの像が直極限で境界なら、境界を作る元とその等式を十分後の共通段へ移して、その段で境界と書ける。従って直極限コホモロジーでも零であり、単射性を得る。

零次の核に属することは、すべての $M_{f_i}$ で像が零となることである。局所化の零判定により各 $i$ について $f_i^{n_i}m=0$ となる正整数 $n_i$ がある。$N=1+\sum_i(n_i-1)$ とすると、次数 $N$ の各単項式にはどれかの $f_i$ が $n_i$ 回以上現れるので、その単項式は $m$ を殺す。$I^N$ はこのような単項式で生成されるから $I^Nm=0$ となる。
逆に $I^Nm=0$ なら $f_i^Nm=0$ が各 $i$ で成立するので、局所化ではすべて零となる。空列の場合は微分先が零だから核は $M$ であり、$0M=0$ と一致する。

一変数の場合を示す。$J\subset R[T]$ をイデアルとする。$J=0$ なら空集合で生成されるので有限生成である。以下 $J\ne0$ とする。$J$ の非零多項式の先頭係数が生成する $R$ のイデアルは有限生成だから、その生成に必要な先頭係数をもつ多項式 $f_1,\ldots,f_v\in J$ を選べる。選んだ多項式は少なくとも一つあるので、$N$ をそれらの次数の最大値とする。
$g\in J$ の次数が $N$ 以上なら、その先頭係数を $f_i$ の先頭係数の線形結合で表す。それぞれの $f_i$ に適切な $T$ の冪を掛けて次数を $\deg g$ に合わせ、線形結合を引けば次数が真に下がる。この操作を有限回繰り返すと、$g$ は $f_i$ の多項式係数線形結合と、次数が $N$ 未満の $J$ の元との和になる。
次数が $N$ 未満の多項式全体は有限自由 $R$ 加群である。その中の部分加群 $J\cap R[T]_{< N}$ は有限生成である。この有限個の生成元と $f_i$ が $J$ をイデアルとして生成する。従って $R[T]$ はNoether環である。変数を一つずつ追加して有限変数の場合を得る。商環もNoetherなので、有限型 $R$ 代数にも同じ結論が成り立つ。

$\mathfrak a=(u_1,\ldots,u_s)$ と書く。Rees環
$$S=R[u_1t,\ldots,u_st]\subset R[t]$$
は有限型 $R$ 代数だからNoether環である。次数付き加群
$$\mathcal M=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak a^nM t^n$$
は $M$ の有限生成元を次数零に置けば有限生成 $S$ 加群になる。その部分加群
$$\mathcal N=\bigoplus_{n\ge0}(N\cap\mathfrak a^nM)t^n$$
も有限生成である。有限個の生成元を斉次成分に分け、そのすべてを生成元に取り直す。 $N=0$ なら $c=0$ として結論は直ちに成立する。以下 $N\ne0$ とし、これらの次数の最大値を $c$ とする。
次数 $n\ge c$ の成分は、次数 $i\le c$ の生成元に $\mathfrak a^{n-i}$ を掛けたものの和である。$\mathfrak a^{c-i}$ を掛けた段階で $N\cap\mathfrak a^cM$ に入るので、全体は $\mathfrak a^{n-c}(N\cap\mathfrak a^cM)$ に含まれる。逆包含は $N$ が部分加群であることと冪の積から直ちに従う。
ここで $c$ は固定した三つのデータ $M,N,\mathfrak a$ から一度だけ選ぶ。$n$ ごとに別の定数を選んではいない。この一様性を次の補題で使う。

$K_n$ は $f_1^n,\ldots,f_r^n$ の有限自由Koszul鎖複体とする。$K_m\to K_n$ の集合 $J$ 成分を $f_J^{m-n}$ 倍とする。微分の $j$ を除く項では
$$f_j^n f_J^{m-n}=f_j^m f_{J\setminus\{j\}}^{m-n}$$
だから鎖写像である。次数 $q>0$ の像は $I^{m-n}(K_n)_q$ に含まれる。
各 $f_j^n$ 倍は外積 $u\mapsto e_j\wedge u$ で零とホモトピックである。外積微分の積則を展開すると
$$d(e_j\wedge u)+e_j\wedge du=f_j^n u$$
となり、$j$ 以外の項は交代符号で相殺する。従って各 $f_j^n$ は $H_q(K_n)$ を零化する。$r\ge1$ なら $N=1+r(n-1)$ と置くと、次数 $N$ の各生成単項式はどれかの $f_j$ を $n$ 回含むため $I^NH_q(K_n)=0$。
$Z_q=\ker(d:(K_n)_q\to(K_n)_{q-1})$ に fbc-lem-lc-cech-artin-rees を適用する。ある固定 $c$ について
$$Z_q\cap I^t(K_n)_q\subset I^{t-c}Z_q\quad(t\ge c)$$
となる。$m-n\ge c+N$ とすれば、後段のサイクルの像は $I^NZ_q$ に入り、ホモロジー上で零、従って境界である。これで遷移が零になる。$c$ は固定 $n,q$ ごとに選び、全 $n$ で一様とは仮定しない。空列なら正次数の鎖項自体が零で結論は自明である。

$Q^j$ のサイクル $q$ を $c\in C^j$ へ持ち上げる。$p(dc)=dq=0$ なので、単射 $i$ を通じ $dc=i(l)$ となる唯一の $l\in L^{j+1}$ がある。$i(dl)=d^2c=0$ から $dl=0$ であり、$[q]\mapsto[l]$ と定める。持上げを $c+i(a)$ に変えると $l$ は $l+da$ となる。$q$ を境界 $dq'$ だけ変えれば、$q'$ の持上げ $c'$ を使って $c$ を $c+dc'$ に変えられ、$l$ の類は変わらない。
各位置の完全性も元で確認する。$[c]$ が $Q$ で零なら $p(c)=dq'$ と書き、持上げ $c'$ を引いて $c-dc'\in i(L)$ とする。その元はサイクルであり、$[c]$ は $H(L)$ の像となる。$[q]$ の接続が零なら $l=da$ と書き、$c-i(a)$ はサイクルなので $[q]$ は $H(C)$ の像となる。$[l]$ が $H(C)$ で零なら $i(l)=dc$ と書き、$p(c)$ はサイクルで、その接続が $[l]$ になる。これらが長完全列を与える。可換図式の中で同じ持上げを写せば接続も可換し、自然性が従う。
局所化は lem-fbc-localization により完全であり、有限直和も完全である。従って係数の短完全列を Čech 複体に入れると、項ごとの短完全列になり、この補題を適用できる。

入射加群 $E$ とは、部分加群から $E$ への写像を全加群へ延長できる加群である。まず
$$H^q(\operatorname{Hom}_A(K_n,E))\cong\operatorname{Hom}_A(H_q(K_n),E)$$
を直接示す。$B_q=\operatorname{im}d_{q+1}$ とすると、コサイクルは $B_q$ を零化し、$Z_q/B_q$ への制限を与える。入射性で任意の $Z_q/B_q\to E$ は $(K_n)_q/B_q$ へ延長できるので制限は全射。制限が零なら $(K_n)_q/Z_q\cong B_{q-1}$ を通り、再び入射性で写像を $(K_n)_{q-1}$ へ延長できるため、元のコサイクルはコバウンダリーである。これで同型を得る。
有限自由項の双対なので $\operatorname{Hom}(K_n,E)$ はfbc-def-lc-cech-koszul のKoszulコチェイン複体であり、鎖の逆向き遷移をHomしたものは既定のコチェイン遷移と同じである。$q>0$ の各段の類は、直前の補題により後段で零になる。従って直極限とコホモロジーの交換から $H^q(C(\mathbf f;E))=0$。次数零は fbc-prop-lc-cech-torsion により $\Gamma_I(E)$ である。
任意の $M$ の入射解像度 $0\to M\to E^0\to E^1\to\cdots$ を取り、$Q^0=M$ として $0\to Q^j\to E^j\to Q^{j+1}\to0$ と書く。右導来の定義はこの解像度へ $\Gamma_I$ を適用した複体のコホモロジーである。Čechの係数長完全列と入射係数での消滅から
$$H^1(C(Q^j))\cong\operatorname{coker}(\Gamma_I(E^j)\to\Gamma_I(Q^{j+1})),$$
$$H^{a+1}(C(Q^j))\cong H^a(C(Q^{j+1}))\quad(a\ge1)$$
を得る。
$\Gamma_I$ は左完全である。部分加群の元が $I$ の冪で殺される条件は全加群でも同じで、核に属する元の回収でも条件は変わらない。従って $\Gamma_I(Q^{j+1})$ は $\Gamma_I(E^{j+1})\to\Gamma_I(E^{j+2})$ の核である。右導来の次数 $q\ge1$ は、上の余核の式を $j=q-1$ としたものになり、次元移動を $q-1$ 回使えば $H^q(C(M))$ と一致する。次数零も $\Gamma_I(M)$ で一致する。接続写像は自然で、入射解像度間の比較写像も構成できるので、同型は $M$ の写像に関して自然である。比較写像は各次数で入射性により延長し、二つの比較の差も同じ延長の帰納でホモトピーにできる。
空列では $I=0$、$\Gamma_0$ は恒等関手で正次数右導来は零、Čechも $M$ だけなので同じ結論になる。

Noether 性から $I=(f_1,\ldots,f_r)$ と有限生成できる。両環について fbc-thm-lc-cech-derived-local-cohomology を適用すると、左側の $H_I^q(M)$ は $H^q(C(f;M))$、右側の $H_{IB}^q(M_B)$ は $H^q(C(f;M_B))$ と同定される。間の係数拡大同型は prop-fbc-cech で示した。従ってこの二つの同定を合成すれば結論する。$M$ の有限生成性はここでは不要である。一般の非Noether 環における右導来比較まで、この帰結から結論することはできない。

平坦なら任意複体の比較は fbc-lem-tor-flat-homology で示した。逆に単射 $i:L\to N$ を $C_1=L,C_0=N,d_1=i$ とする。元の一次ホモロジーは零である。比較を仮定すると $H_1(C\otimes B)=0$、すなわち $\ker(i\otimes1)=0$ となる。任意の単射について成立するから $B$ は平坦である。単に零次ホモロジーが交換するという条件は、二項複体では余核とテンソルの右完全性にすぎず、平坦性を導かない。