平坦基底変換

第一の写像は $(v+H)\otimes t$ を $v\otimes t$ の剰余類に送る。$v$ を $v+h$ に変えても差は $h\otimes t$ であり零になる。逆は $v\otimes t$ を $(v+H)\otimes t$ に送る。両者は加法と $A$ 釣合いを保ち、互いに逆である。$V\to W$ が全射なら全ての $w\otimes t$ は持上げをもち、核はこの商同型で得られる。
直和の同型は $(m_i)_i\otimes t$ を有限和 $\sum_i m_i\otimes t$ に送る。逆は各直和成分の包含から作り、有限台により和が定義される。最後の同型は $u\otimes(b\otimes m)\mapsto bu\otimes m$、逆は $u\otimes m\mapsto u\otimes(1\otimes m)$ である。$A$ と $B$ の釣合い関係に代入すれば両写像が定義され、合成が恒等である。特に自由加群 $A^{(J)}$ のテンソル積は $T^{(J)}$ であるから、自由加群は任意階数で平坦である。有限台により、単射は直和の各座標でも単射のまま保たれる。

$Z=\ker f$、$T=\operatorname{im}f$ と置く。短完全列 $0\to Z\to U\to T\to0$ と $0\to T\to V\to V/T\to0$ をテンソルする。左端の単射は平坦性で、中間と右端の完全性は右完全性で保たれる。従って $T_B$ は $V_B$ の部分加群となり、$U_B\to T_B$ は全射で、その核は $Z_B$ である。これが核と像の同定を与える。余核は商同型から従う。各写像は元の包含・商写像から誘導されるので、準同型の可換四角形をテンソルしたものと可換する。

加群の全ての元を基底とする自由加群からその加群への全射をとる。核に対して同じ操作を繰り返せば自由分解が得られる。これは有限生成性を必要としない。
射影分解 $P_\bullet\to M,Q_\bullet\to N$ と $f:M\to N$ をとる。$P_0$ の射影性により $f\varepsilon_P$ を $Q_0\to N$ に沿って持ち上げ、$f_0$ を得る。$f_0,\ldots,f_{i-1}$ ができたとき $f_{i-1}d_P$ の像は $\ker d_Q=\operatorname{im}d_Q$ に入る。射影性で $f_i:P_i\to Q_i$ に持ち上げる。これで鎖写像になる。
二つの持上げ $f_i,g_i$ に対し $h_{-1}=0$ とする。次数0では $f_0-g_0$ の像は増大写像の核に入るので、$h_0:P_0\to Q_1$ を $d_Qh_0=f_0-g_0$ ととれる。帰納的に
$$w_i=f_i-g_i-h_{i-1}d_P$$
は $d_Qw_i=0$ を満たす。実際、前次数の等式を代入すれば $d_P^2=0$ により消える。$h_i:P_i\to Q_{i+1}$ を $d_Qh_i=w_i$ と持ち上げると
$$f-g=d_Qh+hd_P$$
となる。テンソル後も同じ等式が成り立ち、二つの写像はホモロジー上で一致する。恒等写像の二つの比較写像の合成も恒等にホモトピックだから、分解間の同型は互いに逆である。写像の合成も一意性で整合し、Torは両変数について自然な関手となる。Homではホモトピーの式を前合成し、差がコチェインホモトピーであることを得る。従ってExtの射影計算も選択によらず、第一変数に反変、第二変数に共変である。$\square$

$Z_n=\ker(d_n)$、$D_n=\operatorname{im}(d_{n+1})$ と置く。完全列
$$0\to Z_n\to C_n\to D_{n-1}\to0, \qquad 0\to D_n\to Z_n\to H_n(C_\bullet)\to0$$
を $B$ でテンソルする。平坦性によりどちらも完全であり、$D_{n-1}\otimes_A B\to C_{n-1}\otimes_A B$ も単射である。従って第一の列からテンソル後の微分の核が $Z_n\otimes_A B$ と分かる。同様に、$C_{n+1}\otimes_A B\to D_n\otimes_A B$ は全射であり、その先の $C_n\otimes_A B$ への写像は単射だから、境界は $D_n\otimes_A B$ である。第二の列の商が求めるホモロジーとなる。サイクルの剰余 $[z]\otimes b$ を $[z\otimes b]$ へ送るこの同型は、複体の写像について自然である。$\square$

$M$ の自由分解 $P_\bullet\to M$ を取る。具体的には $M$ の元を添字とする自由加群から全射を取り、その核について同じ構成を繰り返せばよい。各自由加群が無限階数でも、この構成は完全な分解を与える。$B$ は平坦だから、増大された完全複体をテンソルしても完全である。また $P_i=\bigoplus_{J_i}A$ なら $P_i\otimes_A B=\bigoplus_{J_i}B$。従って $P_\bullet\otimes_A B\to M\otimes_A B$ は $B$ 上の自由分解である。
各次数の自然同型は
$$(P_i\otimes_A N)\otimes_A B \longrightarrow (P_i\otimes_A B)\otimes_B(N\otimes_A B), \qquad (u\otimes v)\otimes b\longmapsto (u\otimes1)\otimes(v\otimes b).$$
逆は $(u\otimes b)\otimes(v\otimes c)\mapsto(u\otimes v)\otimes bc$ である。$A$ と $B$ の釣合い関係を直接保ち、微分とも可換だから複体の同型になる。前補題とTorの定義から、左側のホモロジーは $\operatorname{Tor}_n^A(M,N)\otimes_A B$、右側は $\operatorname{Tor}_n^B(M\otimes_A B,N\otimes_A B)$ であり、結論を得る。
分解間の比較写像にも各次数の同型は可換する。比較写像の選択差は鎖ホモトピーであり、テンソル後も鎖ホモトピーとなるため、得られる同型は分解の選択によらず両加群について自然である。$\square$

$M=A^r$ では、線形写像は有限個の標準基底の像で定まり、両辺は $(N\otimes_A B)^r$ に同定される。比較写像もその座標同定そのものである。
一般に $M$ の有限生成性から全射 $A^r\to M$ を取り、射影性で切断する。核を $M'$ とすれば $M\oplus M'=A^r$ である。Homの有限直和分解とテンソルの有限直和分解の下で、$A^r$ の比較写像は $M$ と $M'$ の比較写像の直和になる。直和写像が同型なら、各成分は単射かつ全射である。従って $M$ の比較写像も同型となる。$\square$

増大された分解は完全であり、平坦テンソル後も完全である。各 $P_i$ は有限自由加群の直和因子なので、$P_i\otimes_A B$ は有限自由 $B$ 加群の直和因子となり射影的である。従って $P_\bullet\otimes_A B$ は $M\otimes_A B$ の射影分解である。前補題を各 $P_i$ に適用すると、微分と可換するコチェイン同型
$$\operatorname{Hom}_A(P_\bullet,N)\otimes_A B \simeq\operatorname{Hom}_B(P_\bullet\otimes_A B,N\otimes_A B)$$
を得る。
ここで平坦テンソルがコホモロジーを保つことを確認する。任意のコチェイン複体 $C^\bullet$ の $Z^i=\ker d^i$、$D^i=\operatorname{im}d^{i-1}$ について
$$0\to Z^i\to C^i\to D^{i+1}\to0, \qquad0\to D^i\to Z^i\to H^i(C^\bullet)\to0$$
をテンソルする。$D^{i+1}\otimes_A B\to C^{i+1}\otimes_A B$ と $D^i\otimes_A B\to C^i\otimes_A B$ の単射性も平坦性で保たれるため、テンソル後のサイクルと境界はそれぞれ $Z^i\otimes_A B$ と $D^i\otimes_A B$ である。第二の完全列の商から $H^i(C^\bullet)\otimes_A B\simeq H^i(C^\bullet\otimes_A B)$ を得る。これを上のHom複体へ適用し、def-fbc-derived の射影計算法により結論する。
比較鎖写像は項ごとのHom同型と可換し、比較写像の選択差のホモトピーもテンソル後に保たれる。従って同型は分解に依存せず、両変数について自然である。$\square$

有限表示 $A^s\xrightarrow{U}A^r\to M\to0$ を取る。$M$ から $N$ への写像は、$A^r$ から $N$ への写像で $U$ の像を零にするものに一意に対応する。従って $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ は、行列 $U$ による写像 $N^r\to N^s$ の核である。平坦性により、この核を $B$ でテンソルすると $N^r\otimes_A B\to N^s\otimes_A B$ の核を得る。有限直和はテンソルと交換するので、これは $(N\otimes_A B)^r\to(N\otimes_A B)^s$ の核であり、行列係数は $U$ の係数を $B$ に送ったものとなる。
テンソルの右完全性によって $B^s\to B^r\to M\otimes_A B\to0$ も表示である。この表示へ同じHomの核の計算を使えば、上の核は $\operatorname{Hom}_B(M\otimes_A B,N\otimes_A B)$ と一致する。標準基底の像を比較すると、得た同型は $f\otimes b$ を $m\otimes c\mapsto f(m)\otimes bc$ へ送る自然比較そのものである。$\square$

平坦テンソル後の $P_\bullet\otimes_A B$ は射影分解である。有限生成でない項も射影加群なので自由加群の直和因子であり、テンソル後に同じ分裂を保つため射影的である。増大完全性は平坦性で保たれる。
$C^i=\operatorname{Hom}_A(P_i,N)$ と置く。$H^n(C^\bullet)$ は $C^{n-1}\to C^n\to C^{n+1}$ の核と像の商だけで決まる。該当する各 $P_i$ は有限生成射影だから、前の有限射影Homの補題が項ごとに適用でき、この三項は $\operatorname{Hom}_B(P_i\otimes_A B,N\otimes_A B)$ と自然に一致する。微分にも可換し、平坦性による核と像の保存を使えば次数 $n$ のコホモロジーは同型である。$n=0$ の場合は負次数の項が零であり、$P_0,P_1$ の有限性だけで同じ計算となる。比較鎖写像とそのホモトピーに項の同型は可換するので、比較は分解の選択によらず自然である。$\square$

逆写像は $n/s\mapsto(1/s)\otimes n$ である。$n/s=n'/s'$ なら、ある $t\in S$ に対し $t(s'n-sn')=0$。テンソル積の側で差を共通分母 $ss't$ に直すと
$$ (1/(ss't))\otimes t(s'n-sn')=0$$
となるので逆写像は分数の表示によらない。正方向も分数表示の変更を同じ零判定で保つ。$A$ 釣合いは $((aa')/s)\otimes n=(a/s)\otimes a'n$ によって一致する。両合成は生成元上で恒等である。
単射 $N'\to N$ の局所化において、源の $n/s$ が零に写れば、ある $t\in S$ が像の分子を殺す。源の単射性から $tn=0$ となり、源でも $n/s=0$ である。先の同型により、これはテンソルによる単射保存を証明する。$0\in S$ なら全ての局所化加群は零であり、両同型と平坦性は同じく成立する。

各積 $g=f_{i_1}\cdots f_{i_q}$ について同型
$$M_g\otimes_A B\longrightarrow(M\otimes_A B)_g,\qquad (m/g^a)\otimes b\mapsto(m\otimes b)/g^a$$
を取る。逆は $(m\otimes b)/g^a\mapsto(m/g^a)\otimes b$ を加法的に延長する。分子の $A$ 釣合いを保ち、$g$ のある冪が分子を殺すという分数零判定も両側で同じである。これは lem-fbc-localization とテンソルの係数拡大同型の合成としても得られる。有限直和と交換するので、全 Čech 項が比較できる。
これらの同型はさらに分母を増やす写像と可換するから、交代符号付き微分とも可換する。余鎖複体のサイクル $Z^q$ と境界 $D^q$ に対し $0\to Z^q\to C^q\to D^{q+1}\to0$ と $0\to D^q\to Z^q\to H^q\to0$ を使う。平坦性によって両列と境界の包含が保たれ、テンソル後のサイクル・境界・その商をそれぞれ得る。これが主張であり、全構成は $M$ の準同型に関して自然である。

Noether 性から $I=(f_1,\ldots,f_r)$ と有限生成できる。両環について Čech複体 の定理「Noether環の局所コホモロジーとの比較」を適用すると、左側の $H_I^q(M)$ は $H^q(C(f;M))$、右側の $H_{IB}^q(M_B)$ は $H^q(C(f;M_B))$ と同定される。間の係数拡大同型は prop-fbc-cech で示した。従ってこの二つの同定を合成すれば結論する。$M$ の有限生成性はここでは不要である。一般の非Noether 環における右導来比較まで、この帰結から結論することはできない。

平坦なら任意複体の比較は fbc-lem-tor-flat-homology で示した。逆に単射 $i:L\to N$ を $C_1=L,C_0=N,d_1=i$ とする。元の一次ホモロジーは零である。比較を仮定すると $H_1(C\otimes B)=0$、すなわち $\ker(i\otimes1)=0$ となる。任意の単射について成立するから $B$ は平坦である。単に零次ホモロジーが交換するという条件は、二項複体では余核とテンソルの右完全性にすぎず、平坦性を導かない。