付値の中心

$x\in V$ が中心なら $C\subset C_{\mathfrak{p}_x}=\mathcal{O}_{X,x}\subset R$ であり、$\mathfrak{m}_R\cap C=\mathfrak{m}_x\cap C=\mathfrak{p}_x$ となるので $x$ は $\mathfrak{m}_R\cap C$ で決まる。逆に $C\subset R$ なら $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}_R\cap C$ は素イデアルで、$C\setminus\mathfrak{p}$ の元は $R$ の単元だから $C_{\mathfrak{p}}\subset R$、さらに $\mathfrak{m}_R\cap C_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}C_{\mathfrak{p}}$ である。よって $\mathfrak{p}$ にあたる点は中心である。$\square$

付値判定法 の補題「体と付値環からの射」の 2 により、$t\circ i=j$ をみたす射 $t$ は、点 $x\in\overline{\{\eta\}}=X$ で、$R$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ の $\kappa(\eta)=K$ での像を支配するものと対応する。$X$ は整なので $\mathcal{O}_{X,x}\to K$ は単射で、その像は $\mathcal{O}_{X,x}$ 自身である。$k$ 上の射であること（$t$ と構造射の合成が $s$）は、$k\to\mathcal{O}_{X,x}\to R$ を $K$ に送ると包含 $k\subset K$ になり、$R\to K$ が単射であることから自動的にみたされる。$\square$

要点：$V$ の外の元は逆元が $\mathfrak{m}_V\subset W$ に入り、$V$ の単元は剰余体で判定する。

$\mathcal{O}_{X,\xi}$ を支配する $K$ の付値環 $V$ をとる（付値環 の定理「支配付値環の存在」）。$k\subset\mathcal{O}_{X,\xi}\subset V$ である。支配の条件から $\kappa(\xi)\to\kappa_V$ は単射で、$\kappa(\xi)\subset\kappa_V$ とみる。剰余写像 $\pi\colon V\to\kappa_V$ の $\mathcal{O}_{X,\xi}$ への制限は $\mathcal{O}_{X,\xi}\to\kappa(\xi)$ である。$R'$ を支配する $\kappa_V$ の付値環 $R''$ をとり、$W=\pi^{-1}(R'')$ とおく。lem-center-composite により $W$ は付値環で、$\pi(k)\subset R'\subset R''$ から $k\subset W$ である。
$R''\cap\kappa(\xi)=R'$ かつ $\mathfrak{m}_{R''}\cap\kappa(\xi)=\mathfrak{m}_{R'}$ である。実際、$b\in(R''\cap\kappa(\xi))\setminus R'$ があれば $b^{-1}\in\mathfrak{m}_{R'}\subset\mathfrak{m}_{R''}$ となり $1=bb^{-1}\in\mathfrak{m}_{R''}$ で矛盾し、後者は支配の条件 $\mathfrak{m}_{R''}\cap R'=\mathfrak{m}_{R'}$ から従う。
2：$x\in\overline{\{\xi\}}$ なら $\mathcal{O}_{X,x}\subset\mathcal{O}_{X,\xi}\subset V$ で、$a\in\mathcal{O}_{X,x}$ について $\pi(a)$ は $a$ の $\kappa(\xi)$ での像、すなわち $\mathcal{O}_{Z,x}$ の元である。$\mathcal{O}_{Z,x}\subset R'\subset R''$ だから $a\in W$ であり、$a\in\mathfrak{m}_x$ なら $\pi(a)\in\mathfrak{m}_{R'}\subset\mathfrak{m}_{R''}$ で $a\in\mathfrak{m}_W$ である。よって $\mathcal{O}_{X,x}\subset W$、$\mathfrak{m}_x\subset\mathfrak{m}_W\cap\mathcal{O}_{X,x}$ で、右辺は真のイデアルだから等号が成り立つ。
3：$\mathcal{O}_{X,x}\subset W\subset V$ なので $\mathfrak{q}=\mathfrak{m}_V\cap\mathcal{O}_{X,x}$ は素イデアルで、$x$ の一般化 $y$ にあたり、$\mathcal{O}_{X,y}=(\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{q}}$ である。$\mathcal{O}_{X,x}\setminus\mathfrak{q}$ の元は $V$ の単元なので $\mathcal{O}_{X,y}\subset V$、$\mathfrak{m}_y=\mathfrak{q}\mathcal{O}_{X,y}\subset\mathfrak{m}_V$ であり、$V$ は $\mathcal{O}_{X,y}$ を支配する。$y=\xi$ なら $\mathcal{O}_{X,x}\subset\mathcal{O}_{X,\xi}$ で、$a\in\mathcal{O}_{X,x}$ の $\kappa(\xi)$ での像 $\pi(a)$ は $R''\cap\kappa(\xi)=R'$ に入り、$a\in\mathfrak{m}_x\subset\mathfrak{m}_W$ なら $\pi(a)\in\mathfrak{m}_{R''}\cap\kappa(\xi)=\mathfrak{m}_{R'}$ に入る。よって $R'$ は $\mathcal{O}_{Z,x}$ を支配する。$\square$

$X$ は $k$ 上有限型なので Noether スキームであり、付値判定法 の定理「分離性の付値判定法」「固有性の付値判定法」を $X\to\operatorname{Spec}k$ に使える。
1 の必要性と 2 の必要性。 prop-center-lifting により、$K/k$ の付値環 $R$ の中心は図式 $(j,s)$ の持ち上げと 1 対 1 に対応する。$X$ が分離的なら持ち上げは高々 1 つ、固有ならただ 1 つなので、中心もそうである。
1 の十分性。 中心がつねに高々 1 つであるとする。体 $L$、その付値環 $R$、$k$ 上の付値環の図式 $(u,s)$ と 2 つの持ち上げ $t,t'$ をとる。付値判定法 の補題「体と付値環からの射」により、$u$ は点 $\xi$ と埋め込み $\kappa(\xi)\subset L$ に対応し、$t,t'$ は閉点の像 $x=t(\mathfrak{m}_R)$、$x'=t'(\mathfrak{m}_R)\in\overline{\{\xi\}}$ について $R$ が $\mathcal{O}_{Z,x}$ と $\mathcal{O}_{Z,x'}$ を支配することに対応する（$Z=\overline{\{\xi\}}$）。$R'=R\cap\kappa(\xi)$ は $\kappa(\xi)$ の付値環で（$b\in\kappa(\xi)^\times$ なら $b$ か $b^{-1}$ が $R$ に入る）、$s$ との両立から $k$ の像を含み、$\mathcal{O}_{Z,x}\subset R'$、$\mathfrak{m}_{Z,x}\subset\mathfrak{m}_R\cap\kappa(\xi)=\mathfrak{m}_{R'}$ なので $R'$ は $\mathcal{O}_{Z,x}$ を支配する。$x'$ についても同じである。lem-center-transfer の 2 により、$x$ と $x'$ はともに $K/k$ の付値環 $W$ の中心であり、仮定から $x=x'$ である。すると $t$ と $t'$ に対応する組が一致するので $t=t'$ であり、$X$ は分離的である。
2 の十分性。 中心がつねにちょうど 1 つであるとする。$X$ は有限型で、定理の 1 により分離的である。持ち上げの存在を示す。体 $L$、付値環 $R\subset L$、図式 $(u,s)$ をとり、$u$ に対応する点を $\xi$、$R'=R\cap\kappa(\xi)$ とおく。lem-center-transfer の $V\supset W$ をとると、$W$ は $K/k$ の付値環なので中心 $x$ をもつ。lem-center-transfer の 3 により $\mathfrak{m}_V\cap\mathcal{O}_{X,x}$ にあたる点 $y$ は $V$ の中心であり、同じ補題の 1 により $V$ は $\mathcal{O}_{X,\xi}$ を支配するので $\xi$ も $V$ の中心である。中心の一意性から $y=\xi$ であり、同じ補題の 3 の後半により $R'$ は $\mathcal{O}_{Z,x}$ を支配する。$R'\subset R$、$\mathfrak{m}_{R'}\subset\mathfrak{m}_R$ だから $R$ も $\mathcal{O}_{Z,x}$ を支配し、付値判定法 の補題「体と付値環からの射」により射 $t\colon\operatorname{Spec}R\to X$ で $t(\mathfrak{m}_R)=x$、$t$ の $\operatorname{Spec}L$ への制限が $u$ になるものがある。$k\to\mathcal{O}_{X,x}\to R$ を $L$ に送ったものは $s$ を $L$ に送ったものに等しく、$R\to L$ が単射なので $t$ は $k$ 上の射であり、持ち上げである。よって $X$ は固有である。$\square$

$X$ は整なので、大域切断を生成点の茎 $K$ へ制限する写像は単射である（空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}C$ の上では $C\subset\operatorname{Frac}C=K$）。これで $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\subset K$ とみる。各 $x$ について $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\subset\mathcal{O}_{X,x}$ である。
$a\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ で $a\notin k$ なるものがあったとする。$a$ が $k$ 上代数的なら、$a$ をみたす多項式は $k$ で 1 次式の積に分解し、$K$ は整域なので $a$ はその根のどれか、すなわち $k$ の元となって矛盾する。よって $a$ は $k$ 上超越的で、$a^{-1}$ も超越的である。$k[a^{-1}]\subset K$ は多項式環で、その素イデアル $(a^{-1})$ での局所化 $k[a^{-1}]_{(a^{-1})}$ を支配する $K$ の付値環 $R$ をとる（付値環 の定理「支配付値環の存在」）。$R$ は $k$ を含み、$a^{-1}\in\mathfrak{m}_R$ である。thm-center-criterion の 2 により $R$ は中心 $x$ をもち、$a\in\mathcal{O}_{X,x}\subset R$ となる。すると $1=a\cdot a^{-1}\in\mathfrak{m}_R$ となり矛盾する。$\square$

$\pi$ が誘導する局所準同型 $\mathcal{O}_{X,\pi(x')}\to\mathcal{O}_{X',x'}$ は、$K$ の中では包含であり（生成点での準同型が恒等写像なので）、$\mathfrak{m}_{x'}\cap\mathcal{O}_{X,\pi(x')}=\mathfrak{m}_{\pi(x')}$ をみたす。$R$ が $\mathcal{O}_{X',x'}$ を支配するので、$\mathcal{O}_{X,\pi(x')}\subset R$ かつ $\mathfrak{m}_R\cap\mathcal{O}_{X,\pi(x')}=\mathfrak{m}_{x'}\cap\mathcal{O}_{X,\pi(x')}=\mathfrak{m}_{\pi(x')}$ である。$\square$