Laurent多項式環

1：一意性。$\Phi$ があれば $\Phi(x_i^{-1})=\Phi(x_i)^{-1}=u_i^{-1}$ なので $\Phi(x^m)=u^m:=u_1^{m_1}\cdots u_n^{m_n}$ であり、$\Phi(\sum a_mx^m)=\sum\varphi(a_m)u^m$ と決まる。存在。この式で $\Phi$ を定めると加法的で、$B$ が可換なので $u^{m+m'}=u^mu^{m'}$ が成り立ち、積の定義式と見比べて $\Phi$ は積を保つ。$\Phi(1)=\varphi(1)=1$ である。
2：$P=A[x_1,\dots,x_n]$ とし、包含 $P\to L$ を $\iota$ とする。$\iota(s)$（$s\in S$）は単元なので、局所化の普遍性（AM69 Proposition 3.1、p. 37）により環準同型 $h\colon S^{-1}P\to L$、$h(g/s)=\iota(g)\iota(s)^{-1}$ が定まる。全射：$f=\sum a_mx^m\in L$ について、$N$ をすべての $m\in\operatorname{supp}f$ と $i$ で $m_i+N\ge0$ となるようにとると $g=(x_1\cdots x_n)^Nf\in P$ であり、$f=h(g/(x_1\cdots x_n)^N)$ である。単射：$h(g/s)=0$ なら $\iota(g)=0$ であり、$\iota$ は基底 $x^m$（$m\in\mathbb{N}^n$）を基底の一部に送るので単射だから $g=0$、よって $g/s=0$ である。
3：多項式環の普遍性により $x_i\mapsto x_i$、$y_i\mapsto x_i^{-1}$ となる $A$ 上の準同型 $A[x,y]\to L$ があり、$x_iy_i-1$ を $0$ に送るので $\psi\colon A[x,y]/I\to L$（$I$ は関係式で生成されるイデアル）を誘導する。逆向きには、$A[x,y]/I$ で $\bar x_i$ は逆元 $\bar y_i$ をもつ単元なので、1 により $\Phi\colon L\to A[x,y]/I$、$x_i\mapsto\bar x_i$ がある。$\psi\circ\Phi$ は $A$ と $x_i$ を固定するので 1 の一意性により恒等写像である。$\Phi\circ\psi$ は $\bar x_i$ を固定し、$\bar y_i$ を $\Phi(x_i^{-1})=\bar x_i^{-1}=\bar y_i$ に送るので、多項式環の普遍性により恒等写像である。$\square$

要点：$L$ のイデアル $J$ は $J\cap A[x_1,\dots,x_n]$ で決まる。

1：$f\in L$ が $A[M]$ に入ることは $\operatorname{supp}f\subset M$ と同値なので、$f$ がすべての $A[M_\lambda]$ に入ることは $\operatorname{supp}f\subset\bigcap_\lambda M_\lambda$ と同値である。
2：$M_i$ は $e_1,\dots,e_r$ と $-e_i$ で生成されるモノイドである（$m\in M_i$ は $\sum_{j\ne i}m_je_j$ と $m_ie_i$ または $(-m_i)(-e_i)$ の和）。よって $B$ と $x_i^{-1}$ で生成される部分環は $A[M_i]$ である。$B_{x_i}$ との同型は thm-laurent-universal の 2 の証明と同じで、$x_i^N$ を掛けると $A[M_i]$ の元が $B$ に入ること、$B\to L$ が単射であることから従う。
3：$r\ge2$ のとき $m\in\bigcap_iM_i$ なら、各 $j$ について $i\ne j$ となる $i$ をとれば $m_j\ge0$ なので $\bigcap_iM_i=\mathbb{N}^r$ であり、1 から主張が従う。$k[x]=k[\mathbb{N}]$、$k[x^{-1}]=k[-\mathbb{N}]$、$\mathbb{N}\cap(-\mathbb{N})=\{0\}$ から最後の主張が従う。$\square$

$0$ でない $f$ について、$\operatorname{supp}f$ の $\prec$ に関する最大元を $\max f$、最小元を $\min f$ と書く。$f,g\ne0$ について、$fg$ の $x^{\max f+\max g}$ の係数は $f$ と $g$ の最大の項の係数の積である。実際、$m\in\operatorname{supp}f$、$m'\in\operatorname{supp}g$ で $m+m'=\max f+\max g$ なら、$m\prec\max f$ または $m'\prec\max g$ のとき和は真に小さくなるので、$m=\max f$、$m'=\max g$ に限る。$D$ は整域なのでこの係数は $0$ でなく、$fg\ne0$、$\max(fg)=\max f+\max g$ である。同様に $\min(fg)=\min f+\min g$ である。
$fg=1$ なら $\max f+\max g=0=\min f+\min g$ であり、$\min f\preceq\max f$、$\min g\preceq\max g$ だから、もし $\min f\prec\max f$ なら $0=\min f+\min g\prec\max f+\max g=0$ となって矛盾する。よって $\min f=\max f$、すなわち $f=ux^m$ と単項式である。同様に $g=vx^{-m}$ で、$uv=1$ だから $u\in D^\times$ である。逆に $ux^m$ は $u^{-1}x^{-m}$ を逆元にもつ。$\square$

$ax^m$ が単元であることは明らかである。逆に $f=\sum_ma_mx^m$ を単元とし、$fg=1$ とする。$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ について、係数を $A/\mathfrak{p}$ に落とす準同型 $L\to(A/\mathfrak{p})[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]$（thm-laurent-universal の 1）による $f$ の像 $\bar f$ は単元であり、$A/\mathfrak{p}$ は整域なので、lem-laurent-domain により $\bar f$ は $0$ でない単項式である。$\bar f$ の台は $a_m\notin\mathfrak{p}$ となる $m$ の集合だから、次の 2 つが従う。

• $m\ne m'$ ならどの素イデアル $\mathfrak{p}$ についても $a_m\in\mathfrak{p}$ または $a_{m'}\in\mathfrak{p}$ なので、積 $a_ma_{m'}$ はすべての素イデアルに入る。すべての素イデアルの共通部分は冪零元の全体である（AM69 Proposition 1.8、p. 5）から $a_ma_{m'}$ は冪零であり、$A$ は被約なので $a_ma_{m'}=0$ である。
• 係数 $a_m$（$m\in\operatorname{supp}f$）で生成されるイデアルはどの素イデアルにも含まれないので、極大イデアルの存在（AM69 Theorem 1.3・Corollary 1.4、pp. 3–4）により $A$ 全体である。$\sum_mb_ma_m=1$ となる $b_m\in A$ をとる。
  $\varepsilon_m=b_ma_m$ とおくと、$m\ne m'$ なら $\varepsilon_m\varepsilon_{m'}=0$、$\sum_m\varepsilon_m=1$ なので、$\varepsilon_m=\varepsilon_m\sum_{m'}\varepsilon_{m'}=\varepsilon_m^2$ は冪等元である。仮定から各 $\varepsilon_m$ は $0$ か $1$ で、和が $1$ なのでちょうど一つの $m_0$ で $\varepsilon_{m_0}=1$ となる。すると $a_{m_0}b_{m_0}=1$ で $a_{m_0}$ は単元であり、$m\ne m_0$ なら $a_m=a_ma_{m_0}b_{m_0}=0$ である。よって $f=a_{m_0}x^{m_0}$ である。$\square$

要点：$k[s]$ では「単元と $0$」の全体 $k$ が和で閉じているが、$k[x,x^{-1}]$ ではそうでない。