Selmer群

前提知識: Galoisコホモロジー, 楕円曲線, Mordell–Weilの定理

楕円曲線 $E$ の有理点の群 $E(\mathbb{Q})$ を求めるとき、最初の関門は $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ を決めることである。Mordell–Weilの定理 の証明では、$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ を平方類の組のなす有限群 $H_D$ に埋め込んだが、$H_D$ は大きすぎて、どの元が実際に有理点から来るかは分からない。Selmer 群は、各素数 $p$ についての $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ と実数体 $\mathbb{R}$ の上の条件（局所的な条件）だけで候補を絞った群であり、有限回の計算で求められる。Selmer 群は $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ を含み、その差は Tate–Shafarevich群 の $2$ 捩れ部分で測られる。したがって Selmer 群の位数は階数の計算可能な上界を与え、差が $0$ と分かれば階数が決まる。この記事では、Selmer 群を Galois コホモロジーで定義し、2 等分点がすべて有理的な曲線の 2-Selmer 群を平方類と 2 次曲面の交わりで具体的に書き、例を計算する。

定義

$K$ を代数体、$v$ を $K$ の素点（有限素点とアルキメデス素点）、$K_v$ を $v$ での完備化とする（$K=\mathbb{Q}$ では $\mathbb{Q}_v$ は $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ か $\mathbb{R}$）。$E$ を $K$ 上の楕円曲線、$n\ge2$ を整数とし、$E[n]:=E(\bar K)[n]$ を $n$ 等分点のなす有限群とする。$H^1(K,M)$ は離散 $G_K$ 加群 $M$ の連続な 1 次 Galoisコホモロジー、$H^1(K,E):=H^1(K,E(\bar K))$ である。$n$ 倍写像 $E(\bar K)\to E(\bar K)$ は全射で、その核が $E[n]$ なので（Mil06 第 IV 章 Lemma 2.1、p.108）、長完全列から Kummer 列
$$ 0\to E(K)/nE(K)\xrightarrow{\ \delta\ }H^1(K,E[n])\to H^1(K,E)[n]\to0 $$
が得られる（Tate–Shafarevich群 の節「捩れ群であることと Selmer 群との完全列」）。連結写像 $\delta$ は、$P\in E(K)$ に対して $nQ=P$ となる $Q\in E(\bar K)$ を 1 つ選び、$\sigma\mapsto\sigma(Q)-Q\in E[n]$ の類を対応させる写像である（$Q$ の選び方によらない。Mil06 第 IV 章 Proposition 1.5、p.104）。これを Kummer 写像という。各素点 $v$ でも同じ列があり、$G_{K_v}\subset G_K$ への制限と両立する。

局所的な Kummer 列の完全性により、$H^1(K_v,E[n])\to H^1(K_v,E)$ の核は $\delta_v(E(K_v)/nE(K_v))$ である。したがって
$$ \mathrm{Sel}^{(n)}(E/K)=\bigl\{\xi\in H^1(K,E[n])\ \bigm|\ \text{すべての }v\text{ で }\mathrm{res}_v(\xi)\in\delta_v\bigl(E(K_v)/nE(K_v)\bigr)\bigr\} $$
と言い換えられる。すなわち Selmer 群は「すべての完備化の上では点から来ている類」の全体である。記号は Tate–Shafarevich群 の定義「Selmer 群」（アーベル多様体 $A$ に対する $\mathrm{Sel}^{(n)}(A/K)$）に合わせた。Mil06 第 IV 章 §2（p.109）では $S^{(n)}(E/\mathbb{Q})$ と書く。
大域と局所の Kummer 列の関係を図式で書くと次のとおりである（縦の写像は制限、$\prod$ はすべての素点にわたる）。
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & E(K)/nE(K) \ar[r]^-{\delta} \ar[d] & H^1(K,E[n]) \ar[r] \ar[d]^{\mathrm{res}} & H^1(K,E)[n] \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \prod_v E(K_v)/nE(K_v) \ar[r]^-{\prod\delta_v} & \prod_v H^1(K_v,E[n]) \ar[r] & \prod_v H^1(K_v,E)[n] \ar[r] & 0 } $$
図式が可換であるとは、$\mathrm{res}_v\circ\delta=\delta_v\circ(E(K)/nE(K)\to E(K_v)/nE(K_v))$ と、右の四角形の同様の等式が成り立つことである。$\mathrm{Sel}^{(n)}(E/K)$ は、中央の縦の写像で下の行の左の項の像に入る元の全体であり、$Ш(E/K)[n]$ は右の縦の写像の核である。

この完全列から、$E(K)/nE(K)$ は有限であり（弱 Mordell–Weil の定理）、Selmer 群の位数が $E(K)/nE(K)$ の位数の上界を与える。$H^1(K,E[n])$ 自体は一般に無限群なので（ex-sel-no-local）、局所的な条件が有限性の源である。

2 次の Kummer 理論

以下、$K$ は標数 $0$ の体（$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}_p$、$\mathbb{R}$ など）、$\bar K$ はその代数閉包、$G_K=\operatorname{Gal}(\bar K/K)$ とする（絶対Galois群）。$\mu_2=\{\pm1\}$ には $G_K$ が自明に作用するので、$H^1(K,\mu_2)$ は連続準同型 $G_K\to\mu_2$ の群である（Galoisコホモロジー の例「自明な作用の1次コホモロジー」）。

この同型は、Galoisコホモロジー の命題「1の $n$ 乗根の係数のコホモロジー」の $n=2$ の場合を、指標の形で具体的に書いたものである（Mil06 第 IV 章 Example 1.8 (b)、p.106–107）。$K=\mathbb{Q}$ では $\mathbb{Q}^\times/\mathbb{Q}^{\times2}$ は $-1$ と素数の類で生成される無限群であり、$K=\mathbb{R}$ では $\mathbb{R}^\times/\mathbb{R}^{\times2}=\{\pm1\}$ である。

2 等分点が有理的な曲線

以下、$e_1,e_2,e_3\in K$ を相異なる元とし、
$$ E\colon y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3),\qquad T_i=(e_i,0) $$
とする。$E[2]=\{O,T_1,T_2,T_3\}$ の元はすべて $K$ 有理的なので、$G_K$ は $E[2]$ に自明に作用する。Mordell–Weilの定理 の定義「平方類への写像 $\varphi$」の $\varphi_K\colon E(K)\to(K^\times/K^{\times2})^3$ と、その像が入る群
$$ H(K):=\{(d_1,d_2,d_3)\in(K^\times/K^{\times2})^3\mid d_1d_2d_3=1\} $$
を使う。$E[2]$ を符号の組と同一視する同型
$$ \iota\colon E[2]\xrightarrow{\ \sim\ }\mu_2^{3,1}:=\{(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\in\mu_2^3\mid\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3=1\},\qquad T_1\mapsto(1,-1,-1),\ T_2\mapsto(-1,1,-1),\ T_3\mapsto(-1,-1,1) $$
を固定する（$T_1+T_2=T_3$ と $(1,-1,-1)(-1,1,-1)=(-1,-1,1)$ が対応するので群の同型である）。prop-sel-kummer を成分ごとに使うと
$$ H^1(K,E[2])\xrightarrow[\ \iota_*\ ]{\sim}H^1(K,\mu_2^{3,1})=\{(\chi_1,\chi_2,\chi_3)\mid\chi_1\chi_2\chi_3=1\}\cong H(K) $$
となる（最後の同型は $(d_1,d_2,d_3)\mapsto(\chi_{d_1},\chi_{d_2},\chi_{d_3})$ で、$\chi_{d_1}\chi_{d_2}\chi_{d_3}=\chi_{d_1d_2d_3}$ が $1$ であることと $d_1d_2d_3=1$ が同値）。以下この合成で $H^1(K,E[2])=H(K)$ と同一視する。

この定理により、Mordell–Weilの定理 で初等的に定めた $\varphi$ が、Galois コホモロジーの Kummer 写像の具体形であることが分かる。とくに $\varphi_K$ が準同型で核が $2E(K)$ であることは、Kummer 列の完全性からも従う。

2 次曲面の交わり

$\varphi_K$ の像に入るかどうかは、ある曲線が $K$ 点をもつかどうかで判定できる。$d=(d_1,d_2,d_3)$ を $K^\times$ の元の組で $d_1d_2d_3\in K^{\times2}$ となるものとし、射影空間 $\mathbb{P}^3$（座標 $z_1,z_2,z_3,w$）の中の 2 つの 2 次曲面の交わり
$$ C_d\colon\quad d_1z_1^2-d_2z_2^2=(e_2-e_1)w^2,\qquad d_1z_1^2-d_3z_3^2=(e_3-e_1)w^2 $$
を考える。$w=1$ の部分は連立方程式 $x-e_i=d_iz_i^2$（$i=1,2,3$）で $x$ を消去したものである。$d_i$ を平方倍しても $z_i$ の取り替えで同型な曲線になるので、「$C_d$ が $K$ 点をもつか」は平方類の組 $d\in H(K)$ だけで決まる。

$C_d$ は、$E$ の 2 倍写像による「降下」で現れる曲線で、2 次曲面の交わりとして具体的に書けることがこの方法の利点である。

2-Selmer 群の具体的な形

ここからは $K=\mathbb{Q}$、$e_1,e_2,e_3$ を相異なる整数とし、Mordell–Weilの定理 と同じく $D:=(e_1-e_2)(e_2-e_3)(e_3-e_1)$、$G_D:=\langle-1,\ p\ (p\mid D)\rangle\subset\mathbb{Q}^\times/\mathbb{Q}^{\times2}$、$H_D:=\{d\in G_D^3\mid d_1d_2d_3=1\}$ とおく。$\mathbb{Q}$ の代数閉包を各 $\mathbb{Q}_v$ の代数閉包に埋め込んでおく。

$p\nmid D$ で $\operatorname{ord}_p(d_i)$ が偶数であることは、2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{d_i})$ が $D$ を割らない奇素数で分岐しないことにあたる。つまり Selmer 群の元は「$E$ の悪い素数の外で不分岐」な類である。これが有限性の源で、一般の代数体と一般の $n$ でも同じ形の議論（悪い素数の外で不分岐な類の有限性）で rem-sel-exact-source の有限性が示される（Mil06 第 IV 章 Proposition 3.6 と特別な場合の有限性の証明、p.112–113）。
lem-sel-quadrics と合わせると、Selmer 群の元のうち $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ から来ないもの（$Ш(E/\mathbb{Q})[2]$ の $0$ でない元に写るもの）は、すべての $\mathbb{Q}_v$ の上では点をもつのに $\mathbb{Q}$ 点をもたない曲線 $C_d$ に対応する。
実際に上界を計算するには、$H_D$ の各元 $d$ について、$v=\infty$ と $D$ を割る素数 $p$ で $C_d(\mathbb{Q}_v)$ が空かどうかを調べ、空になる $d$ を除けばよい。除かれずに残った元の集合は $\mathrm{Sel}^{(2)}(E/\mathbb{Q})$ を含む（ほかの素数の条件で候補がさらに減るかどうかは、上界としては調べなくてよい）。$C_d(\mathbb{Q}_p)$ が空であることは、次の原理で有限の計算に帰着する。$C_d$ の $\mathbb{Q}_p$ 点は、座標をスケールして $\mathbb{Z}_p$ に入り少なくとも 1 つが単元であるようにできるので、$p^k$ を法として「どれかが $p$ で割れない」解をもつ。したがって、ある $k$ で $p^k$ を法とするそのような解がなければ、$C_d(\mathbb{Q}_p)=\emptyset$ である。

例

反例

注意

• 名前について：「Selmer 群」と「Selmer の 3 次曲線」$3x^3+4y^3+5z^3=0$（楕円曲線 の例「反例：有理点をもたない種数 $1$ の曲線」）は同じ人名を冠するが、Selmer 群はコホモロジー群、Selmer の 3 次曲線は 1 本の曲線で、別の対象である。後者は $Ш$ の元の例として現れる。
• 階数の計算法として：$Ш(E/\mathbb{Q})[2]\ne0$ のときは、$n=4,8,\ldots$ の Selmer 群の像を順に調べて候補を減らすことができ、$Ш(E/\mathbb{Q})$ に $2$ の任意の冪で割れる $0$ でない元がなければ、この手続きは有限回で $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ に到達する（Mil06 第 IV 章 Proposition 5.1 と Remark 5.2、p.127）。$Ш$ が有限であること（Tate–Shafarevich群 の予想「Tate–Shafarevich 群の有限性」）は、このような算法が必ず止まることを保証する予想でもある。
• $n$ を変えると：$n$ が奇素数 $\ell$ のときの $\ell$-Selmer 群も同様に定義され、同じ完全列を満たす。一般の場合の有限性の証明では、$\ell$ 等分点の座標と 1 の $\ell$ 乗根を含む有限次拡大体に移って議論する（Mil06 第 IV 章 Lemma 3.8 とその後の段落、p.114）。
• 一般の代数体 $K$ とアーベル多様体でも、定義・完全列・有限性は同じ形で成り立つ（Tate–Shafarevich群 の定義「Selmer 群」と定理「Selmer 群の有限性」）。

関連項目

• 前提: Galoisコホモロジー, 楕円曲線, Mordell–Weilの定理
• 比較: Tate–Shafarevich群, 有理点
• 直後に読む: 合同数
• 発展: アーベル多様体, p進数