Dynkin図形

1. $(\alpha_i,\alpha_j)\le0$ は ルート系 の補題「単純ルートどうしの内積」による。$a_{ij}$ と $a_{ji}$ は $(\alpha_i,\alpha_j)$ の正の倍数なので同時に $0$ になる。$\alpha_i,\alpha_j$ は線形独立なので、同記事の補題「二つのルートのなす角」により $m_{ij}=4\cos^2\theta\in\{0,1,2,3\}$（$\theta$ はなす角）であり、$\cos\theta\le0$ から角が決まる。
2. $a_{ij}/a_{ji}=(\alpha_j,\alpha_j)/(\alpha_i,\alpha_i)\ge1$ なので $\lvert a_{ij}\rvert\ge\lvert a_{ji}\rvert\ge1$ である。$\lvert a_{ji}\rvert\ge2$ なら $m_{ij}\ge4$ となるので $a_{ji}=-1$ であり、残りはそこから従う。$\square$

1. $m_{ij}=0$ なら $a_{ij}=a_{ji}=0$ である。$m_{ij}=1$ なら、長さが等しく $a_{ij}=a_{ji}=-1$ である。$m_{ij}\ge2$ なら、矢印の先が短い方の $\alpha_i$ で、lem-dyn-cartan-values の 2 により $a_{ij}=-m_{ij}$、$a_{ji}=-1$ である。
2. ルート系 の命題「Weyl群の正系への推移性」により $\Delta'=w(\Delta)$ となる $w\in W$ がある。$w$ は内積を保つので $n(w\alpha_i,w\alpha_j)=n(\alpha_i,\alpha_j)$ であり、$w\alpha_i$ に番号 $i$ を付ければ Cartan 行列は同じである。$\square$

$\Delta,\Delta'$ は基底なので $\varphi$ は線形同型である。$s_i:=s_{\alpha_i}$、$s'_i:=s_{\alpha'_i}$ とおく。各 $j$ について
$$ \varphi(s_i\alpha_j)=\varphi(\alpha_j-n(\alpha_i,\alpha_j)\alpha_i)=\alpha'_j-n(\alpha'_i,\alpha'_j)\alpha'_i=s'_i(\varphi\alpha_j) $$
なので、基底の上で一致する線形写像として $\varphi s_i\varphi^{-1}=s'_i$ である。ルート系 の命題「Weyl群は単純鏡映で生成される」により $W$、$W'$ はそれぞれ $s_i$、$s'_i$ で生成されるので $\varphi W\varphi^{-1}=W'$ であり、同じ命題の後半 $R=W\Delta$、$R'=W'\Delta'$ から $\varphi(R)=\varphi W\varphi^{-1}\varphi(\Delta)=W'\Delta'=R'$ である。
次に $n$ が保たれることを示す。$\alpha\in R$ を $\alpha=w\alpha_i$（$w\in W$）と書くと、$s_\alpha=ws_iw^{-1}$（同記事の補題「Weyl群の有限性」の 3）なので $\varphi s_\alpha\varphi^{-1}=w's'_iw'^{-1}=s_{w'\alpha'_i}=s_{\varphi\alpha}$（$w':=\varphi w\varphi^{-1}\in W'$）である。よって $\beta\in R$ について
$$ \varphi\beta-n(\alpha,\beta)\varphi\alpha=\varphi(s_\alpha\beta)=s_{\varphi\alpha}(\varphi\beta)=\varphi\beta-n(\varphi\alpha,\varphi\beta)\varphi\alpha $$
であり、$\varphi\alpha\neq0$ から $n(\varphi\alpha,\varphi\beta)=n(\alpha,\beta)$ である。最後の主張は prop-dyn-well-defined の 1 による。$\square$

図形が連結でないとし、$\Delta=\Delta_1\sqcup\Delta_2$（空でなく、互いに辺で結ばれない、すなわち直交する）と分ける。$V_k$ を $\Delta_k$ が張る部分空間とすると $V=V_1\oplus V_2$ は直交分解で、$\alpha\in\Delta_1$ について $s_\alpha$ は $V_1$ を保ち $V_2$ を各点固定する（$\Delta_2$ についても同様）。よって単純鏡映が生成する $W$ は $V_1$、$V_2$ を保ち、$R=W\Delta$ は $R_k:=R\cap V_k$ の直交する和に分かれ、$R$ は既約でない。逆に $R=R_1\sqcup R_2$（空でなく直交）とすると、$\Delta_k:=\Delta\cap R_k$ は互いに直交する。$\Delta_2=\emptyset$ なら $R_2$ は $\Delta$ が張る $V$ 全体と直交し $R_2=\emptyset$ となって矛盾するので、$\Delta_1,\Delta_2$ はともに空でなく、図形は連結でない。$\square$

段 1（正定値な 2 次形式への言い換え）。$e_i:=\alpha_i/\|\alpha_i\|$ とおくと、lem-dyn-cartan-values により $4(e_i,e_j)^2=m_{ij}$、$(e_i,e_j)\le0$ だから $(e_i,e_j)=-\sqrt{m_{ij}}/2$（$i\neq j$）である。Coxeter グラフ $\Gamma$ に対し
$$ q_\Gamma(z):=2\Bigl\|\sum_iz_ie_i\Bigr\|^2=2\sum_iz_i^2-2\sum_{i< j}\sqrt{m_{ij}}\,z_iz_j\qquad(z\in\mathbb{R}^l) $$
とおくと、$e_i$ は線形独立なので $q_\Gamma$ は正定値である。以下では「$q_\Gamma$ が正定値な連結な Coxeter グラフ」を決める。$m_{ij}$ がすべて $1$ 以下のとき、$q_\Gamma$ は Du Val特異点 の記事の $q_\Gamma$ と同じものである。
段 2（小さくすると値が増える）。$\Gamma'$ を、$\Gamma$ から頂点を除いたり辺の本数を減らしたりして得たグラフとする。$z\ge0$（各成分が $0$ 以上）が $\Gamma'$ の頂点の上にだけ値をもつなら、$q_\Gamma(z)\le q_{\Gamma'}(z)$ である（$\Gamma$ にだけある項 $-2(\sqrt{m_{ij}}-\sqrt{m'_{ij}})z_iz_j$ は $0$ 以下）。したがって、$q_{\Gamma'}(z)=0$ となる $0$ でない $z\ge0$ をもつ $\Gamma'$ は、正定値な $\Gamma$ からは得られない。
段 3（禁止されるグラフ）。次のグラフは、書いた値の $z$ で $q=0$ となる（計算は下の「詳細」）。

• (i) 長さ $3$ 以上の閉路で辺がすべて 1 本のもの：すべて $1$。
• (ii) $x-y\equiv w$（$y,w$ の間が 3 本）：$(z_x,z_y,z_w)=(1,2,\sqrt3)$。
• (iii) 両端の辺が 2 本の道 $v_0=v_1-\cdots-v_{k-1}=v_k$（$k\ge2$）：$(1,\sqrt2,\dots,\sqrt2,1)$。
• (iv) 頂点 $v_1$ に 2 本の葉 $c,c'$ が付き、$v_1-\cdots-v_k$ と道が続いて $v_k=w$ が 2 本の辺（$k\ge1$）：葉 $1$、$v_1,\dots,v_k$ は $2$、$w$ は $\sqrt2$。
• (v) $a_1-a_2-a_3=b_2-b_1$（$a_3,b_2$ の間が 2 本）：$(1,2,3,2\sqrt2,\sqrt2)$。
  詳細

  (i) $2m-2m=0$。(ii) $2(1+4+3)-2\cdot2-2\sqrt3\cdot2\sqrt3=16-4-12=0$。(iii) 頂点の値の 2 乗の和は $2+2(k-1)=2k$、両端の項は $\sqrt2\cdot\sqrt2\cdot1=2$ がそれぞれ係数 $2$、内側の $k-2$ 本の辺は $2$ ずつなので $4k-4-4-4(k-2)=0$。(iv) 2 乗の和 $1+1+4k+2$、葉の 2 本の辺 $2+2$、道の $k-1$ 本の辺 $4$ ずつ、最後の辺 $\sqrt2\cdot2\cdot\sqrt2=4$ なので $2(4k+4)-2(4+4(k-1)+4)=0$。(v) 2 乗の和 $1+4+9+8+2=24$、辺 $2+6+\sqrt2\cdot3\cdot2\sqrt2+2\sqrt2\cdot\sqrt2=2+6+12+4=24$ なので $48-48=0$。

段 4（場合分け）。$\Gamma$ を $q_\Gamma$ が正定値な連結な Coxeter グラフとする。
(a) 閉路があれば、辺の本数を 1 本に減らして (i) が得られるので、$\Gamma$ は木である。
(b) 3 本の辺があり頂点が 3 つ以上なら、その辺の端点に隣り合う別の頂点があり、辺を 1 本に減らすと (ii) が得られる。よって 3 本の辺をもつのは 2 頂点の $G_2$ だけである。
(c) 以下、辺は 2 本以下とする。2 本の辺が 2 か所以上あれば、互いの距離が最小の 2 か所を結ぶ道（距離の最小性から途中の辺は 1 本）が (iii) である。よって 2 本の辺は高々 1 か所である。
(d) 2 本の辺と、次数 $3$ 以上の頂点 $b$ が両方あれば、$b$ から 2 本の辺への道と、$b$ のほかの隣接頂点 2 つで (iv) が得られる。よって 2 本の辺があれば $\Gamma$ は道で、2 本の辺の両側に $p$ 個と $q$ 個の頂点がある（$p,q\ge1$）。$p\ge3$ かつ $q\ge2$（またはその逆）なら (v) を含む。残るのは $\min(p,q)=1$（端の辺が 2 本の道）と $p=q=2$ である。
(e) 辺がすべて 1 本なら、Du Val特異点 の定理「正定値な Cartan 行列をもつグラフ」により $\Gamma$ は $A_n$、$D_n$（$n\ge4$）、$E_6$、$E_7$、$E_8$ のどれかである。
最後に矢印を付ける。端の辺が 2 本の道では、矢印が端の頂点へ向けば $B_n$、内側へ向けば $C_n$ で、$n=2$ では両者は同じ図形である。$p=q=2$ の道では、どちら向きの矢印も道を逆にたどれば同じ図形 $F_4$ になる。$G_2$ も同様である。これで 1 が示された。
段 5（存在）。$A_n$、$B_n$、$D_n$ は ルート系 の例「$A_{n-1}$ 型」「$B_n$ 型」「$D_n$ 型」の基から得られる（$B_n$ では $\| e_{n-1}-e_n\|^2=2$、$\| e_n\|^2=1$、内積 $-1$ なので 2 本の辺で、矢印は端の $e_n$ へ向く）。単純レース型の図形はすべて lem-dyn-lattice からも得られ、$C_n$、$F_4$、$G_2$ は ex-dyn-c-f-g で作る。どの図形も連結なので、prop-dyn-irreducible によりそのルート系は既約である。表の図形は頂点の数・辺の本数・矢印の向きで互いに区別され、thm-dyn-isomorphism と prop-dyn-well-defined から一対一の対応が従う。$\square$

$x\in L$ について $(x,x)=2\sum_ix_i^2-2\sum_{\text{辺}}x_ix_j$ は偶数で、$x\neq0$ なら正定値性から $(x,x)\ge2$ である。$\{x\mid(x,x)\le2\}$ は有界で $L$ は離散的なので $R$ は有限集合である。
(RS1) $\varepsilon_i\in R$ が $V$ を張り、$0\notin R$。(RS3) $\alpha\in R$ なら $n(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$ は整数行列 $A_\Gamma$ による値なので整数である。(RS2) $s_\alpha(\beta)=\beta-(\beta,\alpha)\alpha\in L$ で、鏡映は内積を保つので $s_\alpha(\beta)\in R$。(RS4) $c\alpha\in R$ なら $2c^2=2$ で $c=\pm1$。
基であること：$\{\varepsilon_i\}$ は基底である。$x=\sum c_i\varepsilon_i\in R$ を $x=x^+-x^-$（$x^+:=\sum_{c_i>0}c_i\varepsilon_i$、$x^-:=\sum_{c_i<0}(-c_i)\varepsilon_i$）と分けると、$i\neq j$ で $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)\le0$ だから $(x^+,x^-)\le0$ であり、
$$ 2=(x,x)=(x^+,x^+)+(x^-,x^-)-2(x^+,x^-)\ge(x^+,x^+)+(x^-,x^-) $$
である。$x^+,x^-$ がともに $0$ でなければ右辺は $4$ 以上で矛盾するので、係数はすべて $0$ 以上かすべて $0$ 以下である。最後に $n(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=(A_\Gamma)_{ij}$ なので Dynkin 図形は $\Gamma$ である。$\square$