前層(圏論)
概要
前層(圏論)（presheaf）とは、小圏 $\mathcal C$ から集合の圏への反変関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ のことであり、各対象にデータの集合を、各射にデータを引き戻す写像を与える。開集合上の関数の制限、群の右作用、有向グラフ、単体的集合はいずれも前層として表せる。表現可能前層からの自然変換は $F(c)$ の元と一対一に対応し、米田埋め込みは充満忠実である。さらに任意の前層は要素の圏を添字とする表現可能前層の余極限として表され（稠密性定理）、前層圏は $\mathcal C$ に余極限を自由に付け加えた圏とみなせる（層と違い貼り合わせの条件は課さない）。
定義
対象の上で観測できるデータを集め、射に沿ってデータを引き戻す構造が前層である。
小圏（局所小圏） $\mathcal C$ 上の前層（presheaf）とは、関手 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ のことである。ここで $\mathbf{Set}$ は固定したGrothendieck宇宙に属する集合の圏、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は $\mathcal C$ の反対圏（射の向きをすべて反転した圏）である。具体的には、各対象 $c$ に集合 $F(c)$、各射 $u:c\to d$ に写像 $F(u):F(d)\to F(c)$ を与え、
$$
F(\operatorname{id}_c)=\operatorname{id}_{F(c)},\qquad F(vu)=F(u)F(v)
$$
を満たす。
前層の射 $\alpha:F\to G$ は、写像 $\alpha_c:F(c)\to G(c)$ の族で、すべての $u:c\to d$ に対して $G(u)\alpha_d=\alpha_cF(u)$ を満たすもの、すなわち自然変換である。前層とその射の圏を
$$
\widehat{\mathcal C}=\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})
$$
と書く。これは一般には小圏ではないが、自然変換の集合は $\prod_c\operatorname{Hom}(F(c),G(c))$ の部分集合なので、$\widehat{\mathcal C}$ は局所小圏である。前層圏は関手圏 $[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ の特別な場合である。
定義および表現可能前層との関係は Rie16 §§2.1–2.2、前層と層の違いは同書 Definition 3.4.4（p. 104）を参照。
直感
$c$ を観測領域、$F(c)$ をそこで得られるデータと考える。領域を小さくするとデータを制限できるので、射とデータの移動方向が逆になる。一般の圏では射は包含とは限らず、「制限」は引き戻し一般を意味する。
例と反例
$c\in\mathcal C$ に対して $y(c)(d)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(d,c)$ と置く。$u:d'\to d$ に対する制限は $h\mapsto hu$ である。恒等射と合成の条件は圏の公理から従う。これを $c$ による表現可能関手、または表現可能前層という。
群 $G$ を一対象圏 $BG$ とみなし、積を合成 $g\circ h=gh$ とする。前層 $F:(BG)^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ は右 $G$-集合である。実際 $x\cdot g=F(g)(x)$ と定めると、$(x\cdot g)\cdot h=F(h)F(g)(x)=F(gh)(x)=x\cdot(gh)$ となる。逆にこの式から前層が作れる。
対象 $V,E$ と、恒等射のほかに二本の射 $\sigma,\tau\colon V\to E$ だけをもつ圏を $\mathcal G$ とする。前層 $F\colon\mathcal G^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ は、二つの集合 $F(V)$、$F(E)$ と二つの写像 $F(\sigma),F(\tau)\colon F(E)\to F(V)$ の組にほかならない。$F(V)$ を頂点の集合、$F(E)$ を辺の集合、$F(\sigma)(e)$ と $F(\tau)(e)$ を辺 $e$ の始点と終点と読めば、これは多重辺やループを許す有向グラフである。前層の射は、頂点を頂点へ、辺を辺へ送り、始点・終点を保つ写像の組、すなわちグラフの準同型である。表現可能前層 $y(V)$ は頂点一つだけのグラフ、$y(E)$ は二頂点と一辺からなるグラフ $\bullet\to\bullet$ になる。
対象を有限全順序集合 $[n]=\{0< 1< \dots< n\}$（$n\ge0$）、射を順序を保つ写像とする圏を $\Delta$ とする。$\Delta$ 上の前層を単体的集合という。$X([n])$ を $n$ 次元の単体の集合と読むと、単射 $[n-1]\to[n]$ に沿った制限が面をとる操作、全射 $[n+1]\to[n]$ に沿った制限が退化した単体を作る操作を与える。表現可能前層 $y([n])$ は標準 $n$-単体とよばれ、$\Delta^n$ と書かれる。単体的集合はホモトピー論や∞-圏の組合せ的なモデルの土台になる。
離散空間 $X=\{a,b\}$ の各開集合 $U$ に、$U\to\{0,1\}$ の定値関数全体を対応させる。非空の $U$ では二元集合、$U=\emptyset$ では一元集合であり、制限によって前層になる。
被覆 $X=\{a\}\cup\{b\}$ において、$\{a\}$ 上で値 $0$、$\{b\}$ 上で値 $1$ のデータは共通部分で一致する。しかし両方を制限として持つ大域的な定値関数はない。従ってこの前層は層ではない。層には、被覆上の整合するデータが一意に貼り合わさるという追加条件が必要である。
性質と証明
前層 $F$ と対象 $c$ に対して、写像 $\operatorname{Nat}(y(c),F)\to F(c)$、$\alpha\mapsto\alpha_c(\operatorname{id}_c)$ は全単射である。
対応 $c\mapsto y(c)$ で定まる関手 $y:\mathcal C\to\widehat{\mathcal C}$ は充満忠実である。
上の全単射で $F=y(c')$ とすると $\operatorname{Nat}(y(c),y(c'))\cong y(c')(c)=\mathcal C(c,c')$ が成り立つ。この全単射の逆写像（rem-presheaf-yoneda）は $u\in\mathcal C(c,c')$ を、$\hat u_d(h)=y(c')(h)(u)=u\circ h=y(u)_d(h)$（$h\colon d\to c$）で定まる自然変換、すなわち $y(u)$ に送る。よって$y$ は $\mathcal C(c,c')\to\operatorname{Nat}(y(c),y(c'))$ という全単射を与える。すなわち $y$ は充満忠実である。
米田埋め込みが $\mathcal C$ の極限を保つことと、余極限は一般に保たないことは 米田埋め込み で扱う。
前層圏 $\widehat{\mathcal C}=[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ は関手圏であり、$\mathbf{Set}$ はすべての小さい極限・余極限をもつ。したがって関手圏の命題「関手圏の極限は各点で計算される」と注意「余極限は双対に各点で計算される」により、前層圏の小さい極限・余極限は、各対象 $c$ で集合の極限・余極限 $\lim_jD(j)(c)$、$\operatorname{colim}_jD(j)(c)$ を取ることで計算できる（Rie16 Proposition 3.4.9, p. 107）。層の圏の余極限では一般に層化が必要であり、そのまま同一視してはならない。
表現可能前層の余極限としての表示
前層圏では余極限が各対象ごとに計算でき、表現可能前層 $y(c)$ は $\mathcal C$ の対象の「複製」である。次の定理は、任意の前層が表現可能前層を貼り合わせて得られることを述べる。貼り合わせの設計図を与えるのが要素の圏である。
前層 $F\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ の要素の圏（category of elements）$\textstyle\int F$ を次で定める。対象は組 $(c,x)$（$c\in\mathcal C$、$x\in F(c)$）である。$(c,x)$ から $(d,z)$ への射は、$\mathcal C$ の射 $u\colon c\to d$ で $F(u)(z)=x$ を満たすものである。恒等射と合成は $\mathcal C$ のものを使う。$(c,x)\mapsto c$ で定まる関手を $\pi\colon\textstyle\int F\to\mathcal C$ と書く。
$\mathcal C$ が小圏なら $\textstyle\int F$ も小圏である。合成が条件を保つことは、$u\colon(c,x)\to(d,z)$、$v\colon(d,z)\to(e,w)$ に対し $F(vu)(w)=F(u)F(v)(w)=F(u)(z)=x$ となることから分かる。$\mathcal C=\Delta$ のとき（ex-presheaf-simplicial）、単体的集合 $K$ の要素の圏は $K$ の単体を対象とする圏 $\Delta/K$ であり、単体的集合の単体の圏 で詳しく扱う。要素の圏の考え方は Rie16 §2.4（Definition 2.4.1, p. 72）にある。集合を離散圏とみなすと前層は圏に値をとる関手であり、要素の圏はその Grothendieck構成 の特別な場合である（同記事の例「前層の元の圏」）。
表現可能前層 $y(c)$ の要素の圏を $\mathcal C/c:=\textstyle\int y(c)$ と書く。対象は $\mathcal C$ の射 $v\colon d\to c$ と始域の組 $(d,v)$、$(d,v)$ から $(d',v')$ への射は $v'w=v$ をみたす $w\colon d\to d'$ であり、これは $c$ の上のスライス圏である。射 $u\colon c'\to c$ は関手 $\mathcal C/u\colon\mathcal C/c'\to\mathcal C/c$、$(d,v)\mapsto(d,uv)$、$w\mapsto w$ を定める。
$\mathcal C$ を小圏、$\mathbf{Cat}$ を小圏と関手の圏とする。前層の射 $\sigma\colon F\to G$ に関手 $(c,x)\mapsto(c,\sigma_c(x))$、$u\mapsto u$ を対応させると、要素の圏をとる関手 $i_{\mathcal C}\colon\widehat{\mathcal C}\to\mathbf{Cat}$、$F\mapsto\textstyle\int F$ が得られる。小圏 $\mathcal D$ について $R(\mathcal D)(c):=\operatorname{Fun}(\mathcal C/c,\mathcal D)$、射 $u\colon c'\to c$ について $R(\mathcal D)(u):=(-)\circ(\mathcal C/u)$ とおくと $R(\mathcal D)$ は前層であり、$F$ と $\mathcal D$ について自然な全単射
$$
\operatorname{Fun}\bigl(\textstyle\int F,\mathcal D\bigr)\cong\operatorname{Nat}\bigl(F,R(\mathcal D)\bigr)
$$
がある。すなわち $i_{\mathcal C}$ は右随伴 $R\colon\mathbf{Cat}\to\widehat{\mathcal C}$ をもつ。
要点：$x\in F(c)$ は関手 $K_x\colon\mathcal C/c\to\textstyle\int F$、$(d,v)\mapsto(d,F(v)(x))$ を定め、$H\colon\textstyle\int F\to\mathcal D$ には $x\mapsto H\circ K_x$ を対応させる。逆向きは、$\tau\colon F\to R(\mathcal D)$ を各 $(c,x)$ で $(c,\mathrm{id}_c)$ に評価する。
詳しい証明を開く
準備。$i_{\mathcal C}(\sigma)$ が射を保つことは $G(u)(\sigma_d(z))=\sigma_c(F(u)(z))=\sigma_c(x)$（$F(u)(z)=x$）から、$R(\mathcal D)$ が前層であることは $\mathcal C/(uu')=(\mathcal C/u)\circ(\mathcal C/u')$ から分かる。$K_x$ が関手であることは、$v'w=v$ なら $F(w)(F(v')(x))=F(v)(x)$ であることによる。
$H$ から $\tau$。$T(H)_c(x):=H\circ K_x$ とおく。$u\colon c'\to c$ について $K_x\circ(\mathcal C/u)$ は $(d,v)$ を $(d,F(uv)(x))=(d,F(v)(F(u)(x)))$ に送り、射を変えないので $K_x\circ(\mathcal C/u)=K_{F(u)(x)}$ であり、$T(H)$ は自然変換である。
$\tau$ から $H$。$S(\tau)(c,x):=\tau_c(x)(c,\mathrm{id}_c)$ とおく。射 $u\colon(c,x)\to(c',x')$（$F(u)(x')=x$）について、$\tau$ の自然性から $\tau_c(x)=\tau_{c'}(x')\circ(\mathcal C/u)$ なので $S(\tau)(c,x)=\tau_{c'}(x')(c,u)$ であり、$\mathcal C/c'$ の射 $u\colon(c,u)\to(c',\mathrm{id}_{c'})$ の像を $S(\tau)(u)$ とおく。恒等射は保たれる。$u'\colon(c',x')\to(c'',x'')$ について、$\tau_{c'}(x')=\tau_{c''}(x'')\circ(\mathcal C/u')$ から $S(\tau)(u)$ は $\tau_{c''}(x'')$ による $u\colon(c,u'u)\to(c',u')$ の像であり、$S(\tau)(u')$ は $u'\colon(c',u')\to(c'',\mathrm{id})$ の像なので、合成は $u'u\colon(c,u'u)\to(c'',\mathrm{id})$ の像 $S(\tau)(u'u)$ である。
互いに逆。$S(T(H))(c,x)=H(K_x(c,\mathrm{id}_c))=H(c,x)$ で、射 $u$ の像も $H(K_{x'}(u))=H(u)$ である。$T(S(\tau))_c(x)$ は $(d,v)$ を $\tau_d(F(v)(x))(d,\mathrm{id}_d)=\tau_c(x)\bigl((\mathcal C/v)(d,\mathrm{id}_d)\bigr)=\tau_c(x)(d,v)$（$\tau$ の $v\colon d\to c$ についての自然性） に送り、$w\colon(d,v)\to(d',v')$ を $\tau_{d'}(F(v')(x))$ による $w\colon(d,w)\to(d',\mathrm{id})$ の像、すなわち $\tau_c(x)$ による $w\colon(d,v'w)\to(d',v')$ の像 $\tau_c(x)(w)$ に送る。
自然性。$\sigma\colon F'\to F$ について $\textstyle\int\sigma\circ K_{x'}=K_{\sigma_c(x')}$（$(d,\sigma_dF'(v)(x'))=(d,F(v)(\sigma_c(x')))$）なので $T(H\circ\textstyle\int\sigma)=T(H)\circ\sigma$ であり、関手 $G\colon\mathcal D\to\mathcal D'$ について $T(G\circ H)=R(G)\circ T(H)$（$R(G)$ は $G$ との合成）である。$\square$
単位は $x\in F(c)$ を $K_x$ に送る $F\to R(\textstyle\int F)$、余単位は $(c,T)\mapsto T(c,\mathrm{id}_c)$ で定まる関手 $\textstyle\int R(\mathcal D)\to\mathcal D$ である。この随伴は Mal05 1.2.1–1.2.2（pp. 29–30）で導入され、前層圏と小圏の圏のホモトピー論を比べる理論の出発点になっている。
$\mathcal C$ を小圏、$F$ を $\mathcal C$ 上の前層とする。図式 $D=y\circ\pi\colon\textstyle\int F\to\widehat{\mathcal C}$、$(c,x)\mapsto y(c)$ と、各 $(c,x)$ での射 $\hat x\colon y(c)\to F$（rem-presheaf-yoneda の逆写像で $x$ に対応する自然変換）は、$\widehat{\mathcal C}$ における余極限の余錐をなす。すなわち
$$
F\cong\operatorname*{colim}_{(c,x)\in\int F}y(c).
$$
余錐であること。 $u\colon(c,x)\to(d,z)$ に対し $\hat z\circ y(u)=\hat x$ を示す。$h\colon e\to c$ で両辺を評価すると、$y(u)$ は後から $u$ を合成する写像なので
$$
(\hat z\circ y(u))_e(h)=\hat z_e(u\circ h)=F(u\circ h)(z)=F(h)\bigl(F(u)(z)\bigr)=F(h)(x)=\hat x_e(h).
$$
普遍性。 前層 $G$ と、余錐をなす自然変換の族 $\mu_{(c,x)}\colon y(c)\to G$（すべての射 $u\colon(c,x)\to(d,z)$ で $\mu_{(d,z)}\circ y(u)=\mu_{(c,x)}$）が与えられたとする。写像 $\alpha_c\colon F(c)\to G(c)$ を
$$
\alpha_c(x)=\bigl(\mu_{(c,x)}\bigr)_c(\operatorname{id}_c)
$$
で定める。
$\alpha$ が自然変換であること：$v\colon c'\to c$ と $x\in F(c)$ をとり、$x'=F(v)(x)$ とおく。$v$ は $\textstyle\int F$ の射 $(c',x')\to(c,x)$ なので、余錐の条件 $\mu_{(c,x)}\circ y(v)=\mu_{(c',x')}$ を $\operatorname{id}_{c'}$ で評価して $(\mu_{(c,x)})_{c'}(v)=\alpha_{c'}(x')$ を得る。一方 $\mu_{(c,x)}$ の自然性を射 $v$ と元 $\operatorname{id}_c$ に当てはめると $(\mu_{(c,x)})_{c'}(\operatorname{id}_c\circ v)=G(v)\bigl((\mu_{(c,x)})_c(\operatorname{id}_c)\bigr)=G(v)(\alpha_c(x))$ である。二式から $\alpha_{c'}(F(v)(x))=G(v)(\alpha_c(x))$ となり、$\alpha$ は自然である。
$\alpha\circ\hat x=\mu_{(c,x)}$ であること：どちらも $y(c)$ から $G$ への自然変換なので、rem-presheaf-yoneda により $\operatorname{id}_c$ での値を比べればよい。$(\alpha\circ\hat x)_c(\operatorname{id}_c)=\alpha_c(F(\operatorname{id}_c)(x))=\alpha_c(x)=(\mu_{(c,x)})_c(\operatorname{id}_c)$ である。
一意性：$\beta\colon F\to G$ も $\beta\circ\hat x=\mu_{(c,x)}$ をすべての $(c,x)$ で満たすとする。$\hat x_c(\operatorname{id}_c)=x$ なので $\beta_c(x)=(\beta\circ\hat x)_c(\operatorname{id}_c)=(\mu_{(c,x)})_c(\operatorname{id}_c)=\alpha_c(x)$。よって $\beta=\alpha$ である。$\square$
この定理は稠密性定理（density theorem）ともよばれ、Rie16 Theorem 6.5.9（p. 246）に述べられている。上の証明は米田の対応だけを使って余錐の普遍性を直接確かめたものである。前層圏が $\mathcal C$ に余極限を「自由に」付け加えた圏とみなされるのは、この定理による（普遍性の形の主張と証明は 米田埋め込み の定理「自由余完備化」）。
ex-presheaf-quiver の有向グラフ $F$ では、要素の圏の対象は頂点 $(V,p)$ と辺 $(E,e)$ であり、辺 $e$ の始点が $p$ なら射 $\sigma\colon(V,p)\to(E,e)$、終点が $p$ なら射 $\tau\colon(V,p)\to(E,e)$ がある。定理は、グラフ $F$ が「頂点ごとに一点グラフ $y(V)$、辺ごとに一辺グラフ $y(E)$ を用意し、辺の端点を指定どおりに頂点へ貼る」ことで得られることを述べている。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 貼り合わせの条件（層の条件） | 二点離散空間上の定値関数の前層 | 前層が層であること |
| 表現可能であること | 空前層 | ある $c$ について $F\cong y(c)$ となること |
| 前層圏で計算すること | 一点層の自分自身との余積 | 余極限が各点で計算できること |
| 左随伴であること（充満忠実なだけ） | 二点離散空間の開集合の圏での米田埋め込み | 余積を保つこと |
表の一行目は rem-presheaf-not-sheaf で確かめた。二行目：どの対象 $c$ でも表現可能前層は $\operatorname{id}_c\in y(c)(c)$ をもつので、すべての値が空集合である前層（前層圏の始対象）はどの $y(c)$ とも同型でない。前層圏には表現可能でない前層が多くあり、上の定理はそれらを表現可能前層の余極限として捉える。三行目：一点空間上の一点層（各開集合に一点を対応させる層）$1$ について、前層としての余積 $1\amalg1$ は空集合上でも二元集合になる。層では空集合は空の被覆で覆われ、空の整合族がただ一つに貼り合わさるので、空集合上の値は一元集合でなければならない。よって各点で取った余積は層でなく、層の圏の余極限は前層の余極限を層化して得られる。四行目は次の例で確かめる。
二点離散空間 $X=\{a,b\}$ の開集合を包含で順序づけた圏 $\mathcal O(X)$ で、$U=\{a\}$、$V=\{b\}$ の余積（最小上界）は $X$ である。前層圏の余積は各点で計算されるので、空集合での値は $(y(U)\amalg y(V))(\emptyset)$ が二元集合、$y(X)(\emptyset)=\operatorname{Hom}(\emptyset,X)$ が一元集合となり、$y(X)\not\cong y(U)\amalg y(V)$ である。よって充満忠実な関手 $y$ は余積を保たない（米田埋め込み の例「反例：余積」）。
豊穣圏・∞圏との接続
前層の構成は、Hom集合を対象に取り替える豊穣圏の枠組みや、空間を値とする∞圏の枠組みへも一般化できる。完備な対称モノイダル閉圏 $\mathcal V$ を値にする豊穣前層では、Hom集合の代わりにHom対象を使い、自然変換の対象もエンドで構成する。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ の場合が上の定義である（Kel82 第2章）。
∞-圏の前層は空間値関手 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal S$ である。集合値だけでなく、データの同値やその間の高次ホモトピーを保持する。通常圏 $\mathcal C$ の脈体上で離散空間だけを値に取る部分は通常の前層圏に戻るが、空間値前層全体は一般にそれより大きい。詳しくは前層(∞圏)を参照（HTT09 §5.1.1）。
関連項目
参考文献
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