Minkowskiの凸体定理

$Q:=[0,1)^n$ とおく。$z\in\mathbb{Z}^n$ について $Q+z:=\{q+z\mid q\in Q\}$ とおくと、これらは互いに交わらず、$\mathbb{R}^n$ を覆う（各座標 $t$ は $\lfloor t\rfloor\le t<\lfloor t\rfloor+1$ によってただ 1 つの半開区間に入る）。$S_z:=S\cap(Q+z)$ とおくと、$S$ は可算個の互いに交わらない可測集合 $S_z$（$z\in\mathbb{Z}^n$）の和集合なので、可算加法性により
$$ \sum_{z\in\mathbb{Z}^n}\operatorname{vol}(S_z)=\operatorname{vol}(S)>1 $$
である。各 $S_z$ を $-z$ だけ平行移動した集合 $S_z-z$ は $Q$ に含まれ、平行移動で測度は変わらないので $\operatorname{vol}(S_z-z)=\operatorname{vol}(S_z)$ である。
もし集合 $S_z-z$（$z\in\mathbb{Z}^n$）が互いに交わらないとすると、可算加法性により
$$ \sum_{z\in\mathbb{Z}^n}\operatorname{vol}(S_z-z)=\operatorname{vol}\Bigl(\bigcup_{z\in\mathbb{Z}^n}(S_z-z)\Bigr)\le\operatorname{vol}(Q)=1 $$
となり、上の式に反する。したがって相異なる $z,w\in\mathbb{Z}^n$ と点 $q\in(S_z-z)\cap(S_w-w)$ がある。$x:=q+z\in S_z\subset S$、$y:=q+w\in S_w\subset S$ とおくと、$z\ne w$ なので $x\ne y$ であり、$x-y=z-w\in\mathbb{Z}^n$ である。$\square$

$S:=\frac12K=\{\frac12x\mid x\in K\}$ とおく。$S$ は可測で、$\operatorname{vol}(S)=2^{-n}\operatorname{vol}(K)>1$ である。lem-mink-blichfeldt により、$S$ の相異なる 2 点 $\frac12x,\frac12y$（$x,y\in K$）で $\frac12x-\frac12y\in\mathbb{Z}^n$ となるものがある。$z:=\frac12x-\frac12y$ とおくと、$x\ne y$ なので $z\ne0$ である。$K$ は原点について対称なので $-y\in K$ であり、$K$ は凸なので $x$ と $-y$ の中点
$$ \tfrac12x+\tfrac12(-y)=z $$
も $K$ に属する。よって $z$ は $K$ に含まれる $0$ でない格子点である。$\square$

$\operatorname{vol}(K)>2^n$ なら thm-mink-main そのものなので、$\operatorname{vol}(K)=2^n$ とする。正の整数 $j$ について $K_j:=(1+\frac1j)K$ とおく。$K_j$ は原点について対称な凸集合で、$\operatorname{vol}(K_j)=(1+\frac1j)^n2^n>2^n$ なので、thm-mink-main により $0$ でない格子点 $z_j\in K_j$ がある。$K$ は凸で原点を含むので、$x\in K$ と $0\le t\le1$ について $tx\in K$ であり、$(1+\frac1j)x=2\cdot\frac{j+1}{2j}x$ から $K_j\subset2K$ である。$2K$ は有界なので、$2K$ に含まれる格子点は有限個しかない。したがって、ある格子点 $z\ne0$ が無限個の $j$ について $z_j=z$ となる。そのような $j$ について $\frac{j}{j+1}z\in K$ であり、$j\to\infty$ とすると $\frac{j}{j+1}z\to z$ で、$K$ は閉集合なので $z\in K$ である。$\square$

$K':=M^{-1}K=\{M^{-1}x\mid x\in K\}$ とおく。線形写像は原点についての対称性と凸性を保つ（$M^{-1}(-x)=-M^{-1}x$、$M^{-1}((1-t)x+ty)=(1-t)M^{-1}x+tM^{-1}y$）ので、$K'$ は原点について対称な凸集合である。また $K'$ は可測で、$\operatorname{vol}(K')=|\det M^{-1}|\operatorname{vol}(K)=\operatorname{vol}(K)/|\det M|>2^n$ である。thm-mink-main により、$0$ でない $z\in\mathbb{Z}^n$ で $z\in K'$ となるものがある。すると $Mz\in K$ であり、$M$ は正則なので $Mz\ne0$ で、$Mz\in\Lambda$ である。$\square$

$K:=\{(x,y)\mid|x|< N+1,\ |\alpha x-y|<\frac1N\}$ とおく。$K$ は原点について対称な凸集合（2 組の平行線にはさまれた帯の共通部分）であり、行列式 $1$ の線形写像 $(x,y)\mapsto(x,\,y-\alpha x)$ で長方形 $(-(N+1),N+1)\times(-\frac1N,\frac1N)$ に写るので、面積は
$$ 2(N+1)\cdot\frac2N=\frac{4(N+1)}{N}>4 $$
である。thm-mink-main により、原点以外の格子点 $(q,p)\in K$ がある。$q$ は $|q|< N+1$ を満たす整数なので $|q|\le N$ であり、$|q\alpha-p|<\frac1N$ である。$q=0$ とすると $|p|<\frac1N\le1$ から $p=0$ となり、$(q,p)\ne(0,0)$ に反する。$q<0$ なら $(q,p)$ を $(-q,-p)$ に取り替えてよい（$K$ は原点について対称）。よって $1\le q\le N$ である。$\square$

Fermatの二平方定理 の記事の補題「法pでのマイナス1の平方根」により、$u^2\equiv-1\pmod p$ を満たす整数 $u$ がある。
$$ M:=\begin{pmatrix}1&0\\u&p\end{pmatrix},\qquad\Lambda:=M\mathbb{Z}^2 $$
とおく。$\Lambda$ は $b\equiv ua\pmod p$ を満たす整数の組 $(a,b)$ の全体である。実際、$M\binom st=\binom{s}{us+pt}$ はこの条件を満たし、逆にこの条件を満たす $(a,b)$ は $s=a$、$t=(b-ua)/p$ とおけば $M\binom st$ と書ける。$\det M=p$ である。
$K$ を開円板 $\{(x,y)\mid x^2+y^2<2p\}$ とする。$K$ は原点について対称な凸集合で、面積は $2\pi p>4p=2^2\det M$ である。cor-mink-lattice により、$0$ でない $(a,b)\in\Lambda$ で $a^2+b^2<2p$ となるものがある。$b\equiv ua\pmod p$ なので
$$ a^2+b^2\equiv a^2(1+u^2)\equiv0\pmod p $$
である。$0< a^2+b^2<2p$ で $a^2+b^2$ は $p$ の倍数だから、$a^2+b^2=p$ である。$\square$