Volterra作用素

1：積分の絶対連続性から $Vu$ は連続である。$\|Vu\|_\infty\le\|u\|_1\le\|u\|_p$ で、区間の測度は $1$ なので $\|Vu\|_p\le\|Vu\|_\infty$ である。
2：$Vu=0$ なら、すべての区間 $(a,b]\subset[0,1]$ で $\int_a^bu=0$ である。そのような区間の有限個の互いに素な和の全体は Borel σ-代数を生成する集合代数なので、有限測度 $B\mapsto\int_B(\operatorname{Re}u)^{\pm}$ は Borel 集合の上で一致し（Fubiniの定理 の補題「測度の一意性」）、$B=\{\operatorname{Re}u>0\}$ をとって $(\operatorname{Re}u)^+=0$ a.e. を得る。負の部分と虚部も同様で、$u=0$ である。
3：$Vu$ がほとんどいたるところ $1$ なら、連続性からいたるところ $1$ となり、$(Vu)(0)=0$ に反する。
4：

公式は $n$ についての帰納法で示す。$n=1$ は定義である。$n$ で成り立てば、$u\in L^1$ なので $(s,t)\mapsto(s-t)^{n-1}u(t)$ は三角形 $\{0< t< s< x\}$ の上で可積分であり、Fubini の定理から
$$ (V^{n+1}u)(x)=\int_0^x\frac1{(n-1)!}\int_0^s(s-t)^{n-1}u(t)\,dt\,ds=\int_0^xu(t)\,\frac1{(n-1)!}\int_t^x(s-t)^{n-1}\,ds\,dt=\frac1{n!}\int_0^x(x-t)^nu(t)\,dt $$
となる。
評価：$V^n$ の核 $k_n(x,t)=(x-t)^{n-1}/(n-1)!$（$t< x$）、$0$（$t\ge x$）について、行の積分は $\int_0^xk_n(x,t)\,dt=x^n/n!\le1/n!$、列の積分は $\int_t^1k_n(x,t)\,dx=(1-t)^n/n!\le1/n!$ である。積分作用素 の系「行と列の積分による判定」から、すべての $1\le p\le\infty$ で $\|V^n\|_{L^p\to L^p}\le1/n!$ である。$C([0,1])$ では $|(V^nu)(x)|\le\|u\|_\infty\,x^n/n!$ から同じ評価が出る。
極限：$n!\ge(n/2)^{n/2}$（大きいほうの半分の因子がそれぞれ $n/2$ 以上）なので $\|V^n\|^{1/n}\le(n!)^{-1/n}\le(2/n)^{1/2}\to0$ である。最後に、$V^n1=x^n/n!\ne0$ である。$\square$

1：thm-vo-powers により $\sum_{n\ge0}\|V^n\|/|\lambda|^{n+1}\le\sum_n1/(n!|\lambda|^{n+1})<\infty$ なので、$R_\lambda:=\sum_{n\ge0}V^n/\lambda^{n+1}$ は作用素ノルムで絶対収束する。
$$ (\lambda I-V)\sum_{n=0}^N\frac{V^n}{\lambda^{n+1}}=\sum_{n=0}^N\frac{V^n}{\lambda^{n+1}}(\lambda I-V)=I-\frac{V^{N+1}}{\lambda^{N+1}} $$
で右辺は $I$ に収束するから、$R_\lambda$ は $\lambda I-V$ の有界な逆である。核を足し合わせると、$t< x$ で
$$ \sum_{n\ge1}\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!\,\lambda^{n+1}}=\frac1{\lambda^2}\sum_{m\ge0}\frac1{m!}\Bigl(\frac{x-t}\lambda\Bigr)^m=\frac{e^{(x-t)/\lambda}}{\lambda^2} $$
であり、この級数は三角形の上で一様に収束する（各項の絶対値は $1/((n-1)!|\lambda|^{n+1})$ 以下）。$f\in L^1$ なので和と積分を入れ替えられ、公式を得る。
2：$Vu=\lambda u$ とする。$\lambda\ne0$ なら $(\lambda I-V)u=0$ と 1 から $u=0$、$\lambda=0$ なら prop-vo-basic の 2 から $u=0$ である。
3：1 から $\sigma(V)\subset\{0\}$ である。prop-vo-basic の 3 から $0I-V=-V$ は全射でないので $0\in\sigma(V)$ である。$\square$

積分作用素 の節「随伴」により $(V^*v)(t)=\int_t^1v(x)\,dx$ である。$S:=V^*V$ は自己共役で、$\langle Su,u\rangle=\|Vu\|^2\ge0$ であり、$V$ がコンパクトなので $S$ もコンパクトである。
固有値の決定：$Su=\mu u$、$\mu>0$ とする。$w:=Vu$ は連続なので $V^*w$ は $C^1$ 級で、$u=\mu^{-1}V^*w$ と取り直せば $u\in C^1$、$u(1)=0$、$u'=-\mu^{-1}w=-\mu^{-1}Vu$ である。右辺は $C^1$ 級なので $u\in C^2$ で、$u'(0)=-\mu^{-1}(Vu)(0)=0$、$u''=-\mu^{-1}u$ である。$\omega:=\mu^{-1/2}$ とおくと、$u'(0)=0$ から $u=c\cos\omega x$、$u\ne0$ と $u(1)=0$ から $\cos\omega=0$、すなわち $\omega=(2j+1)\pi/2$ である。逆に $u_j(x):=\cos(\omega_jx)$、$\omega_j=(2j+1)\pi/2$ とすると、$Vu_j=\omega_j^{-1}\sin(\omega_jx)$、$V^*Vu_j(t)=\omega_j^{-2}\bigl(\cos(\omega_jt)-\cos\omega_j\bigr)=\omega_j^{-2}u_j(t)$ である。
ノルム：$\|Vu\|^2=\langle Su,u\rangle\le\|S\|\|u\|^2$ と $\|S\|\le\|V^*\|\|V\|=\|V\|^2$ から $\|S\|=\|V\|^2$ である。コンパクト作用素 の補題「固有値 ±‖T‖ の存在」により $\|S\|$ か $-\|S\|$ が $S$ の固有値であり、$S\ge0$ なので $-\|S\|<0$ は固有値でない。よって $\|V\|^2=\|S\|$ は $S$ の最大の固有値 $\mu_0=4/\pi^2$ である。$\square$

$k$ を $\Delta$ の外で $0$ とおき、反復核を $k_1=k$、$k_{n+1}(x,t)=\int_0^1k(x,s)k_n(s,t)\,ds$ とする（積分作用素 の節「合成と反復核」）。$t< x$ なら被積分関数は $t< s< x$ でしか $0$ でなく、$t\ge x$ なら $k_{n+1}(x,t)=0$ である。帰納法で $|k_n(x,t)|\le M^n(x-t)^{n-1}/(n-1)!$（$t< x$）がほとんどいたるところ成り立つ：
$$ |k_{n+1}(x,t)|\le\int_t^xM\cdot\frac{M^n(s-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,ds=\frac{M^{n+1}(x-t)^n}{n!}. $$
thm-vo-powers の証明と同じく行と列の積分は $M^n/n!$ 以下なので、積分作用素 の系「行と列の積分による判定」から $\|T^n\|=\|T_{k_n}\|\le M^n/n!$ である。$\sum_n|\lambda|^n\|T^n\|\le e^{|\lambda|M}$ なので、$\sum_n\lambda^nT^n$ は作用素ノルムで収束して $I-\lambda T$ の逆を与える（Banach代数 の命題「Neumann 級数」の証明と同じく、部分和との積が $I-\lambda^{N+1}T^{N+1}\to I$ となる）。$\square$