Fourier–向井変換
概要
Fourier–向井変換（Fourier–Mukai transform）とは、滑らかな射影多様体 $X,Y$ の連接層の有界導来圏の間の積分関手 $\Phi_{\mathcal K}(E)=Rq_*(p^*E\otimes^{\mathbf L}\mathcal K)$（$\mathcal K$ は $X\times Y$ 上の対象）のうち、圏の同値であるものである。原型は向井茂の定理で、代数閉体上の $g$ 次元アーベル多様体 $A$ と双対 $A^\vee$ では Poincaré 束を核とする関手が同値になり、$2$ 回施すと $(-1)^*[-g]$ になる。これは実ベクトル空間の Fourier 変換の類似である。Orlov の定理により、導来圏の間の完全な同値はすべてこの形である。
Fourier–向井変換（Fourier–Mukai transform）とは、滑らかな射影多様体 $X,Y$ の連接層の有界導来圏の間の関手で、積 $X\times Y$ 上の対象 $\mathcal K$ を「核」として
$$
\Phi_{\mathcal K}(E)=Rq_*\bigl(p^*E\otimes^{\mathbf L}\mathcal K\bigr)\qquad(p\colon X\times Y\to X,\ q\colon X\times Y\to Y)
$$
で定まるもの（積分関手）のうち、圏の同値になっているもののことである。原型は向井茂（Shigeru Mukai）が 1981 年に示した定理で、アーベル多様体 $A$ とその双対 $A^\vee$ の上では、Poincaré 束 $\mathcal P$ を核とする関手 $\Phi_{\mathcal P}\colon D^b(A)\to D^b(A^\vee)$ が同値になり、さらに「2 回施すと $(-1)^*$ と次数のずれ $[-g]$ になる」という反転公式を満たす（Muk81 Theorem 2.2）。
名前の由来は実ベクトル空間の Fourier変換 との類似である。$V$ 上の関数 $f$ を、双対空間 $V^\vee$ 上の関数 $\hat f(\alpha)=\int_Vf(v)e^{2\pi i\langle v,\alpha\rangle}dv$ に移す操作は、積 $V\times V^\vee$ 上の関数 $e^{2\pi i\langle v,\alpha\rangle}$ を核とする積分変換であり、$L^2(V)$ と $L^2(V^\vee)$ を同型にする（Muk81 の序）。向井の変換では、関数が層（の複体）に、積分が順像に、指数関数の核が Poincaré 束に置き換わる。平行移動と指標を掛けることの交換、畳み込みと積の交換といった Fourier 変換の性質も、そのままの形で成り立つ。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| prop-fm-basic | 射の順像・引き戻し・恒等・直線束のテンソル・ずらしは積分関手 |
| prop-fm-point | 点の摩天楼層の像は核の $\{x\}\times Y$ への制限 |
| prop-fm-composition | 積分関手の合成は核の畳み込みを核とする積分関手 |
| lem-fm-vanishing | 自明でない $\operatorname{Pic}^0$ の可逆層のコホモロジーはすべて消える |
| thm-fm-mukai | 向井の定理：$\Phi_{\mathcal P}$ は同値で、$\Psi\circ\Phi_{\mathcal P}\cong(-1_A)^*[-g]$ |
| ex-fm-elliptic | 楕円曲線の導来圏の、標準的でない自己同値 |
定義と記号
以下、$k$ を体とし、多様体は $k$ 上の滑らかな射影多様体とする。多様体 $X$ の連接層（連接層）の有界導来圏（導来圏）を $D^b(X)$ と書く。射 $f$ に対して $Rf_*$・$Lf^*$、テンソル積 $\otimes^{\mathbf L}$ はすべて導来関手（導来関手）として考え、平坦な射 $f$ では $Lf^*=f^*$ である。導来関手について次の 3 つの標準的な同型を使う（どれも Stacks Chapter 36 にある）。
- （射影公式）$f\colon X\to Y$ について $Rf_*E\otimes^{\mathbf L}F\cong Rf_*(E\otimes^{\mathbf L}Lf^*F)$（Lemma 36.22.1、Tag 08EU）。
- （平坦底変換）射 $g\colon S'\to S$ と $f\colon X\to S$ のファイバー積 $X'=X\times_SS'$ で、$g$ か $f$ が平坦なら、$Lg^*Rf_*E\cong Rf'_*Lg'^*E$（Lemma 36.22.5、Tag 08IB）。
- （Künneth の公式）$X\times_SY$ の射影 $p,q$ と構造射 $a,b$ について、$a$ か $b$ が平坦なら $Ra_*K\otimes^{\mathbf L}Rb_*M\cong R(a\circ p)_*(Lp^*K\otimes^{\mathbf L}Lq^*M)$（Lemma 36.23.1、Tag 0FLQ）。
射影公式は加群層の場合（射影公式(加群層)）の導来版であり、平坦底変換は 底変換 の操作がコホモロジーと両立することを述べる。
$X,Y$ を滑らかな射影多様体、$p\colon X\times Y\to X$・$q\colon X\times Y\to Y$ を射影とする。$\mathcal K\in D^b(X\times Y)$ に対し、
$$
\Phi_{\mathcal K}\colon D^b(X)\to D^b(Y),\qquad \Phi_{\mathcal K}(E):=Rq_*\bigl(p^*E\otimes^{\mathbf L}\mathcal K\bigr)
$$
を $\mathcal K$ を核（kernel）とする積分関手（integral functor）という。$\Phi_{\mathcal K}$ が圏の同値であるとき、これを Fourier–向井変換（Fourier–Mukai transform）といい、$D^b(X)$ と $D^b(Y)$ は導来同値（derived equivalent）であるという。
$X\times Y$ は滑らかなので $\mathcal K$ は有限の Tor 次元をもち、$q$ は固有なので、$\Phi_{\mathcal K}$ は実際に $D^b(X)$ を $D^b(Y)$ に移す完全関手（三角圏の関手。三角圏）になる（Muk81 Proposition 1.4、p. 155）。$\Phi_{\mathcal K}$ は左随伴と右随伴をもち、それらも積分関手である（Orl96 §2、p. 6。この記事では使わない）。向井の論文は核 $\mathcal K$ の関手を $R\mathcal S_{X\to Y,\mathcal K}$ と書き（Muk81 (1.4)、p. 154）、アーベル多様体の Poincaré 束を核とするものを Fourier 関手と呼んだ。文献によっては、同値でない積分関手も含めて Fourier–向井関手（Fourier–Mukai functor）と呼ぶ。
直感
積分関手は「行列で与えられる線形写像」の幾何学版である。有限集合 $X,Y$ の上の関数の空間の間の線形写像は、$X\times Y$ 上の関数（行列）$K(x,y)$ を使って $f\mapsto\bigl(y\mapsto\sum_xf(x)K(x,y)\bigr)$ と書ける。積分関手の定義では、$p^*E$ が $f(x)$ を $X\times Y$ に引き上げる操作、$\otimes\mathcal K$ が $K(x,y)$ を掛ける操作、$Rq_*$ が $x$ について和をとる操作に当たる。行列の積が行列の合成を与えるように、核の「畳み込み」が積分関手の合成を与える（prop-fm-composition）。対角線の構造層が単位行列に当たる（prop-fm-basic）。
点の摩天楼層 $k(x)$ は「1 点に集中した関数」（デルタ関数）に当たり、その像は核を $\{x\}\times Y$ に制限したもの、すなわち行列の第 $x$ 行になる（prop-fm-point）。アーベル多様体の場合、点 $a\in A$ の摩天楼層は、$a$ が表す $A^\vee$ 上の可逆層に移る。逆に構造層 $\mathcal O_A$（定数関数 $1$）は、原点の摩天楼層を $g$ だけずらしたもの（デルタ関数）に移る。定数関数の Fourier 変換がデルタ関数であることの類似である。
積分関手の基本性質
$X,Y$ を滑らかな射影多様体とする。
- 射 $f\colon X\to Y$ のグラフ $\Gamma_f\subset X\times Y$ について $\Phi_{\mathcal O_{\Gamma_f}}\cong Rf_*$ であり、$\Gamma_f$ を $Y\times X$ の部分多様体とみたものを核にすると $Lf^*\colon D^b(Y)\to D^b(X)$ になる。
- 対角線 $\Delta\subset X\times X$ について $\Phi_{\mathcal O_\Delta}\cong\mathrm{id}$ である。$X$ 上の可逆層 $L$ と整数 $n$ について、$\Delta_*L[n]$ を核とする積分関手は $E\mapsto E\otimes L[n]$ である。
要点：グラフへの閉埋め込みに射影公式を当てると、$X\times Y$ の上の計算が $X$ の上の計算に帰着する。
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1：$\gamma:=(\mathrm{id},f)\colon X\to X\times Y$ はグラフへの閉埋め込みで、$\mathcal O_{\Gamma_f}=\gamma_*\mathcal O_X$、$p\circ\gamma=\mathrm{id}_X$、$q\circ\gamma=f$ である。射影公式により $p^*E\otimes^{\mathbf L}\gamma_*\mathcal O_X\cong\gamma_*\bigl(L\gamma^*p^*E\bigr)=\gamma_*E$ であり（$\gamma_*$ は閉埋め込みの順像なので完全）、$\Phi_{\mathcal O_{\Gamma_f}}(E)\cong Rq_*\gamma_*E=R(q\circ\gamma)_*E=Rf_*E$ を得る。$Y\times X$ の中では $\gamma':=(f,\mathrm{id})\colon X\to Y\times X$ をとり、$Y\times X$ の射影を $p'\colon Y\times X\to Y$、$q'\colon Y\times X\to X$ と書くと、同じ計算で $Rq'_*(p'^*F\otimes^{\mathbf L}\gamma'_*\mathcal O_X)\cong R(q'\circ\gamma')_*L(p'\circ\gamma')^*F=Lf^*F$ である。
2：1 を $f=\mathrm{id}_X$ に当てると $\Phi_{\mathcal O_\Delta}\cong\mathrm{id}$ である。$\Delta=(\mathrm{id},\mathrm{id})$ として同じ計算をすると $p^*E\otimes\Delta_*L[n]\cong\Delta_*(E\otimes L)[n]$ なので、像は $E\otimes L[n]$ である。$\square$
$k$ 有理点 $x\colon\operatorname{Spec}k\to X$ の摩天楼層（摩天楼層）を $k(x):=x_*k$ と書く。
$\mathcal K\in D^b(X\times Y)$ と $k$ 有理点 $x\in X$ について、$i_x\colon Y\cong\{x\}\times Y\hookrightarrow X\times Y$ を埋め込みとすると、
$$
\Phi_{\mathcal K}(k(x))\cong Li_x^*\mathcal K
$$
である。とくに $\mathcal K$ が $X$ 上平坦な層なら、$\Phi_{\mathcal K}(k(x))$ は $\{x\}\times Y$ への層としての制限 $\mathcal K|_{\{x\}\times Y}$ である。
要点：$p^*k(x)$ は $\{x\}\times Y$ の構造層で、それとのテンソル積は導来制限である。
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$p$ は平坦で、点 $x\colon\operatorname{Spec}k\to X$ の $p$ に沿う底変換は $i_x$ と構造射 $Y\to\operatorname{Spec}k$ である。平坦底変換により $p^*k(x)=p^*x_*k\cong i_{x*}\mathcal O_Y$ である。射影公式により $i_{x*}\mathcal O_Y\otimes^{\mathbf L}\mathcal K\cong i_{x*}(Li_x^*\mathcal K)$ であり、$q\circ i_x=\mathrm{id}_Y$ なので $\Phi_{\mathcal K}(k(x))\cong Rq_*i_{x*}Li_x^*\mathcal K\cong Li_x^*\mathcal K$ となる。$\mathcal K$ が $X$ 上平坦な層なら、$\{x\}\times Y$ は $X\times Y$ の $p$ のファイバーなので、$\mathcal K$ の Tor が消えて $Li_x^*\mathcal K$ は層 $\mathcal K|_{\{x\}\times Y}$ だけになる（Tor関手）。$\square$
$X,Y,Z$ を滑らかな射影多様体、$\mathcal K\in D^b(X\times Y)$、$\mathcal K'\in D^b(Y\times Z)$ とし、$X\times Y\times Z$ から 2 つの因子への射影を $\pi_{XY},\pi_{YZ},\pi_{XZ}$ と書く。
$$
\mathcal K'\ast\mathcal K:=R\pi_{XZ*}\bigl(\pi_{XY}^*\mathcal K\otimes^{\mathbf L}\pi_{YZ}^*\mathcal K'\bigr)\in D^b(X\times Z)
$$
とおくと、$\Phi_{\mathcal K'}\circ\Phi_{\mathcal K}\cong\Phi_{\mathcal K'\ast\mathcal K}$ である。
要点：$\Phi_{\mathcal K}(E)$ の $Y\times Z$ への引き戻しを平坦底変換で $X\times Y\times Z$ の上の順像に直し、射影公式で核をまとめる。
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$X\times Y\times Z$ から $X,Y,Z$ への射影を $\pi_X,\pi_Y,\pi_Z$、$X\times Y$ の射影を $p,q$、$Y\times Z$ の射影を $p',q'$、$X\times Z$ から $X,Z$ への射影を $s,r$ と書く。正方形 $X\times Y\times Z\xrightarrow{\pi_{YZ}}Y\times Z$、$X\times Y\times Z\xrightarrow{\pi_{XY}}X\times Y$、$X\times Y\xrightarrow{q}Y$、$Y\times Z\xrightarrow{p'}Y$ はファイバー積で $p'$ は平坦なので、平坦底変換により $p'^*Rq_*G\cong R\pi_{YZ*}\pi_{XY}^*G$（$G\in D^b(X\times Y)$）である。$G=p^*E\otimes^{\mathbf L}\mathcal K$ とおくと、$\Phi_{\mathcal K'}\Phi_{\mathcal K}(E)=Rq'_*\bigl(p'^*Rq_*G\otimes^{\mathbf L}\mathcal K'\bigr)\cong Rq'_*\bigl(R\pi_{YZ*}\pi_{XY}^*G\otimes^{\mathbf L}\mathcal K'\bigr)$ である。射影公式で $R\pi_{YZ*}\pi_{XY}^*G\otimes^{\mathbf L}\mathcal K'\cong R\pi_{YZ*}(\pi_{XY}^*G\otimes^{\mathbf L}\pi_{YZ}^*\mathcal K')$ となり、$q'\circ\pi_{YZ}=\pi_Z=r\circ\pi_{XZ}$ なので、全体は $Rr_*R\pi_{XZ*}\bigl(\pi_X^*E\otimes^{\mathbf L}\pi_{XY}^*\mathcal K\otimes^{\mathbf L}\pi_{YZ}^*\mathcal K'\bigr)$ である（$p\circ\pi_{XY}=\pi_X$）。$\pi_X^*E=\pi_{XZ}^*s^*E$ なので、もう一度射影公式を $\pi_{XZ}$ に当てると、$Rr_*\bigl(s^*E\otimes^{\mathbf L}(\mathcal K'\ast\mathcal K)\bigr)=\Phi_{\mathcal K'\ast\mathcal K}(E)$ を得る。どの同型も $E$ について自然である。$\square$
この計算は Muk81 Proposition 1.3（pp. 154–155）による。向井はそこで、(1) 導来関手と合成の可換性、(2) 射影公式、(3) 底変換定理、の 3 つを使うと述べている。
アーベル多様体の場合
ここからは $k$ を代数閉体、$A$ を $k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体、$m\colon A\times A\to A$ を加法とする。$A^\vee$ を双対アーベル多様体、$\mathcal P$ を $A\times A^\vee$ 上の Poincaré 束、$\xi\in A^\vee$ の表す可逆層を $L_\xi:=\mathcal P|_{A\times\{\xi\}}$ とする。$\mathcal P|_{\{0\}\times A^\vee}$ と $L_0=\mathcal P|_{A\times\{0\}}$ は自明である。
二重双対の同型 $\kappa_A\colon A\cong A^{\vee\vee}$（双対アーベル多様体 の記事の定理「偏極の基本性質」の 4）により、$\mathcal P$ の因子を入れ替えた $\mathcal P'$ は $A^\vee\times A$ 上の Poincaré 束である。したがって $a\in A$ について $M_a:=\mathcal P|_{\{a\}\times A^\vee}$ は $\operatorname{Pic}^0(A^\vee)$ の元で、$a\neq0$ なら自明でない。関手を
$$
\Phi:=\Phi_{\mathcal P}\colon D^b(A)\to D^b(A^\vee),\qquad\Psi:=\Phi_{\mathcal P'}\colon D^b(A^\vee)\to D^b(A)
$$
とおく。
$B$ を $k$ 上のアーベル多様体、$L\in\operatorname{Pic}^0(B)$ を自明でない可逆層とする。すべての $i$ で $H^i(B,L)=0$ である。
要点：次数 $0$ は $L$ と $L^{-1}$ の切断の積で、正の次数は Künneth の公式と $m\circ(\mathrm{id},0)=\mathrm{id}$ で示す。
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次数 $0$：$0$ でない切断 $s\in H^0(B,L)$ があるとする。$(-1_B)^*L\cong L^{-1}$（双対アーベル多様体 の記事の命題「代数的に0に同値な可逆層と $n$ 倍写像」）なので、$(-1_B)^*s$ は $L^{-1}$ の $0$ でない切断である。$B$ は整なので $s\otimes(-1_B)^*s$ は $\mathcal O_B$ の $0$ でない切断、すなわち $0$ でない定数であり、$s$ はどこでも消えない。よって $L$ は自明で、仮定に反する。
次数 $i\ge1$：$H^i(B,L)\neq0$ となる最小の $i$ があるとし、上の議論から $i\ge1$ である。$L\in\operatorname{Pic}^0(B)$ なので $m^*L\cong p_1^*L\otimes p_2^*L$ である（同記事の定理「双対アーベル多様体の存在と基本構造」の 2）。Künneth の公式により $H^i(B\times B,m^*L)\cong\bigoplus_{a+b=i}H^a(B,L)\otimes_kH^b(B,L)$ である。$a+b=i$、$i\ge1$ なら $a,b$ の少なくとも一方は $i$ より小さいので、右辺は $0$ である。一方 $e\colon B\to B\times B$、$x\mapsto(x,0)$ は $m\circ e=\mathrm{id}_B$ を満たすので、恒等写像 $H^i(B,L)\xrightarrow{m^*}H^i(B\times B,m^*L)\xrightarrow{e^*}H^i(B,L)$ は $0$ を経由する。よって $H^i(B,L)=0$ となり矛盾する。$\square$
次の定理のうち原点での値は、この消滅だけからは出ない。
$\operatorname{pr}_{A^\vee}\colon A\times A^\vee\to A^\vee$、$\operatorname{pr}_A\colon A\times A^\vee\to A$ を射影とする。
- $R\operatorname{pr}_{A^\vee*}\mathcal P\cong k(0)[-g]$、すなわち $i\neq g$ で $R^i\operatorname{pr}_{A^\vee*}\mathcal P=0$、$R^g\operatorname{pr}_{A^\vee*}\mathcal P\cong k(0)$ である。
- 同様に $R\operatorname{pr}_{A*}\mathcal P\cong k(0)[-g]$ である。
この記事では thm-fm-mumford の全体は証明しない。台が原点に含まれることだけは lem-fm-vanishing から従う：$\xi\neq0$ なら $H^i(A,L_\xi)=0$（すべての $i$）なので、$\mathcal P$ は $A^\vee$ 上平坦であることと、コホモロジーと底変換の定理（Har77 III, Theorem 12.11 (a), p. 290）により $R^i\operatorname{pr}_{A^\vee*}\mathcal P\otimes k(\xi)\cong H^i(A,L_\xi)=0$ であり、中山の補題（Nakayamaの補題）から $\xi$ の近くで $R^i\operatorname{pr}_{A^\vee*}\mathcal P=0$ である。原点での値を求める部分は Mumford の本の §13 の結果で、Muk81 Theorem 2.2 の証明（p. 156）はこれを引いて使っている。2 は 1 を $A^\vee$ と Poincaré 束 $\mathcal P'$ に当てたものである。
$A\times A\times A^\vee$ 上で $(m\times\mathrm{id})^*\mathcal P\cong\operatorname{pr}_{13}^*\mathcal P\otimes\operatorname{pr}_{23}^*\mathcal P$ である。
$\mathcal M:=(m\times\mathrm{id})^*\mathcal P\otimes\operatorname{pr}_{13}^*\mathcal P^{-1}\otimes\operatorname{pr}_{23}^*\mathcal P^{-1}$ とおく。$\xi\in A^\vee$ について $\mathcal M|_{A\times A\times\{\xi\}}=m^*L_\xi\otimes p_1^*L_\xi^{-1}\otimes p_2^*L_\xi^{-1}$ は、$L_\xi\in\operatorname{Pic}^0(A)$ なので自明である。シーソー原理（立方体定理 の命題「シーソー原理」の 2）により、$A^\vee$ 上の可逆層 $N$ で $\mathcal M\cong\operatorname{pr}_{A^\vee}^*N$ となるものがあり、$N\cong\mathcal M|_{\{(0,0)\}\times A^\vee}$ である。$\mathcal P|_{\{0\}\times A^\vee}$ は自明なので $N$ も自明である。$\square$
$A$ を代数閉体上の $g$ 次元アーベル多様体とする。関手の同型
$$
\Psi\circ\Phi\cong(-1_A)^*[-g],\qquad\Phi\circ\Psi\cong(-1_{A^\vee})^*[-g]
$$
が成り立つ。とくに $\Phi\colon D^b(A)\to D^b(A^\vee)$ は圏の同値であり、その準逆は $(-1_A)^*\circ\Psi[g]$ である。
prop-fm-composition により、$\Psi\circ\Phi$ の核は $A\times A^\vee\times A$ の上の $\pi_{12}^*\mathcal P\otimes\pi_{23}^*\mathcal P'$ の $\pi_{13}$ による順像である。因子を並べ替えて $W:=A\times A\times A^\vee$ の点を $(a,b,\xi)$ と書くと、これは $\operatorname{pr}_{13}^*\mathcal P\otimes\operatorname{pr}_{23}^*\mathcal P$ の $r:=\operatorname{pr}_{12}\colon W\to A\times A$ による順像である。lem-fm-square により、核は $Rr_*(m\times\mathrm{id})^*\mathcal P$ である。
正方形
$$
\begin{array}{ccc}W&\xrightarrow{m\times\mathrm{id}}&A\times A^\vee\\ {\scriptstyle r}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{pr}_A}\\ A\times A&\xrightarrow{\ m\ }&A\end{array}
$$
はファイバー積で、$m$ は平坦である（自己同型 $(a,b)\mapsto(a+b,b)$ と射影の合成）。平坦底変換と thm-fm-mumford の 2 により
$$
Rr_*(m\times\mathrm{id})^*\mathcal P\cong m^*R\operatorname{pr}_{A*}\mathcal P\cong m^*k(0)[-g]\cong\mathcal O_{m^{-1}(0)}[-g]
$$
である。$m^{-1}(0)=\{(a,-a)\}$ は $-1_A$ のグラフ $\Gamma$ なので、prop-fm-basic の 1 により $\Psi\circ\Phi\cong\Phi_{\mathcal O_\Gamma}[-g]\cong R(-1_A)_*[-g]$ である。$-1_A$ は対合なので $R(-1_A)_*=(-1_A)^*$ である。
$\mathcal P'$ は $A^\vee$ の Poincaré 束なので、同じ議論を $A^\vee$ に当てると（$\kappa_A$ で $A^{\vee\vee}$ を $A$ と同一視する）$\Phi\circ\Psi\cong(-1_{A^\vee})^*[-g]$ を得る。右辺はどちらも自己同値なので、$\Phi$ は同値で、準逆についての主張も $\bigl((-1_A)^*\Psi[g]\bigr)\circ\Phi\cong\mathrm{id}$ から従う。$\square$
これが Muk81 Theorem 2.2（p. 156）である。$(-1)^*$ と $[-g]$ が現れることは、Fourier の反転公式 $\hat{\hat f}(v)=f(-v)$ の類似である。
$a\in A$、$\xi\in A^\vee$ について次が成り立つ。
- $\Phi(k(a))\cong M_a$、$\Psi(k(\xi))\cong L_\xi$。
- $\Phi(\mathcal O_A)\cong k(0)[-g]$。
- $\Phi(L_\xi)\cong k(-\xi)[-g]$。
1 は prop-fm-point である（$\mathcal P$ は可逆層なので両因子の上で平坦）。2 は定義から $\Phi(\mathcal O_A)=R\operatorname{pr}_{A^\vee*}\mathcal P$ なので thm-fm-mumford の 1 である。3 は $\Phi(L_\xi)\cong\Phi\Psi(k(\xi))\cong(-1_{A^\vee})^*k(\xi)[-g]=k(-\xi)[-g]$ である。$\square$
Fourier 変換との類似
向井の論文は、Fourier 変換の公式に当たる交換法則を示している。ここでは 2 つ述べる。Muk81 の Pontrjagin 積は $E\star F:=Rm_*(p_1^*E\otimes^{\mathbf L}p_2^*F)$ で、畳み込みに当たる。
$E,F\in D^b(A)$、$a\in A$、$t_a$ を $a$ による平行移動とする。
- $\Phi(t_a^*E)\cong\Phi(E)\otimes M_{-a}$。
- $\Phi(E\star F)\cong\Phi(E)\otimes^{\mathbf L}\Phi(F)$、$\Phi(E\otimes^{\mathbf L}F)\cong\Phi(E)\star\Phi(F)[g]$。
要点：どちらも lem-fm-square から出る。積の式は Künneth の公式、もう一方は反転公式による。
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1：lem-fm-square を $\{-a\}\times A\times A^\vee$ に制限すると $(t_{-a}\times\mathrm{id})^*\mathcal P\cong\mathcal P\otimes\operatorname{pr}_{A^\vee}^*M_{-a}$ である。自己同型 $t_{-a}\times\mathrm{id}$ で座標を変えると $\Phi(t_a^*E)=Rq_*(p^*t_a^*E\otimes^{\mathbf L}\mathcal P)\cong Rq_*(p^*E\otimes^{\mathbf L}(t_{-a}\times\mathrm{id})^*\mathcal P)$ であり、射影公式で $\Phi(E)\otimes M_{-a}$ を得る。
2 の前半：$G:=p_1^*E\otimes^{\mathbf L}p_2^*F$、$\mu:=m\times\mathrm{id}$ とおく。prf-fm-mukai の正方形で $\operatorname{pr}_A$ は平坦なので $p^*Rm_*G\cong R\mu_*r^*G$ である。射影公式により $R\mu_*r^*G\otimes^{\mathbf L}\mathcal P\cong R\mu_*(r^*G\otimes^{\mathbf L}\mu^*\mathcal P)$ で、$q\circ\mu=\operatorname{pr}_{A^\vee}$（$W$ からの射影）なので、lem-fm-square より $\Phi(E\star F)\cong R\operatorname{pr}_{A^\vee*}\bigl(\operatorname{pr}_{13}^*(p^*E\otimes\mathcal P)\otimes^{\mathbf L}\operatorname{pr}_{23}^*(p^*F\otimes\mathcal P)\bigr)$ である。$W=(A\times A^\vee)\times_{A^\vee}(A\times A^\vee)$ で $q$ は平坦なので、Künneth の公式からこれは $\Phi(E)\otimes^{\mathbf L}\Phi(F)$ である。
2 の後半：前半を $A^\vee$ に当てると $\Psi(\Phi E\star\Phi F)\cong\Psi\Phi E\otimes^{\mathbf L}\Psi\Phi F\cong(-1_A)^*(E\otimes^{\mathbf L}F)[-2g]$ である。両辺に $\Phi$ を当て、$\Phi\Psi\cong(-1_{A^\vee})^*[-g]$ と、$\Phi\circ(-1_A)^*\cong(-1_{A^\vee})^*\circ\Phi$（シーソー原理により $((-1_A)\times\mathrm{id})^*\mathcal P$ と $(\mathrm{id}\times(-1_{A^\vee}))^*\mathcal P$ はどちらも $\mathcal P^{-1}$ なので、$\mathcal P$ は $(-1_A)\times(-1_{A^\vee})$ で不変である）を使うと、$(-1_{A^\vee})^*(\Phi E\star\Phi F)[-g]\cong(-1_{A^\vee})^*\Phi(E\otimes^{\mathbf L}F)[-2g]$ となる。$(-1_{A^\vee})^*$ を消して $[2g]$ ずらすと結論を得る。$\square$
1 は Muk81 (3.1)（p. 158）、2 は同 (3.7)（p. 160）である。1 は「平行移動は指標を掛けることに移る」、2 は「畳み込みは積に移る」の類似である。
コホモロジーの言葉では次のように述べられる。連接層 $F$ について $i\neq i(F)$ で $H^i(\Phi(F))=0$ となる整数 $i(F)$ があるとき、$F$ は WIT（weak index theorem）を満たすといい、$\hat F:=H^{i(F)}(\Phi(F))$ を $F$ の Fourier 変換という。このとき $\hat F$ も WIT を満たし、指数は $g-i(F)$、$\hat{\hat F}\cong(-1_A)^*F$ である（Muk81 Definition 2.3 と Corollary 2.4、p. 156）。cor-fm-images によれば $k(a)$ は指数 $0$、$L_\xi$ は指数 $g$ である。
導来同値の一般論
積分関手が特別な関手でないことを、次の Orlov の定理が示す。
$X,Y$ を滑らかな射影多様体、$F\colon D^b(X)\to D^b(Y)$ を完全で充満忠実な関手で、右随伴（したがって左随伴）をもつものとする。このとき $\mathcal K\in D^b(X\times Y)$ で $F\cong\Phi_{\mathcal K}$ となるものが存在し、$\mathcal K$ は同型を除いて一意である。
この記事では thm-fm-orlov を証明しない。Orl96 Theorem 2.2（p. 7）である。圏の同値は準逆を随伴としてもつので、導来圏の間の完全な同値はすべて Fourier–向井変換である。
導来同値な多様体がどれだけあるかは、標準束の性質で大きく異なる。$X$ が滑らかで既約な射影多様体で標準束か反標準束が豊富なら、$D^b(X)$ と次数つき圏として同値な $D^b(X')$ をもつ滑らかな多様体 $X'$ は $X$ と同型であり（BO97 Theorem 2.5）、完全な自己同値の群は $X$ の自己同型・可逆層のテンソル・次数のずらしで生成される（同 Theorem 3.1）。これらを標準的な自己同値と呼ぶことにする。アーベル多様体では標準束は自明で、この仮定は成り立たない。
アーベル多様体については、Orlov が導来同値を完全に分類している。$A,B$ をアーベル多様体とするとき、$D^b(A)\simeq D^b(B)$ なら $A\times A^\vee$ から $B\times B^\vee$ への等長な同型が存在し（Orl01 Theorem 2.19。任意の体の上で）、代数閉体で標数 $0$ のときは逆も成り立つ（同 Theorem 4.13）。ここで等長とは、$f$ を行列で書いたとき逆写像が双対射の行列で与えられることをいう（同 Definition 2.17）。とくに、$A$ と導来同値なアーベル多様体は同型を除いて有限個である（同 Corollary 2.20）。主偏極をもつ $A$ では、$A^\vee$ を $A$ と同一視すると、$\Phi$ と主偏極のテンソルが次数のずらしを除いて $SL(2,\mathbb Z)$ の作用を生成する（Muk81 (3.14)、p. 163）。
例と反例
$T$ が自己同値であることは thm-fm-mukai と $\varphi$ が同型であることによる。cor-fm-images の 2 より $T(\mathcal O_E)\cong\varphi^*k(0)[-1]=k(\varphi^{-1}(0))[-1]=k(0)[-1]$ である。標準的な自己同値 $F=f^*(-)\otimes M[n]$（$f$ は自己同型、$M$ は可逆層）では $F(\mathcal O_E)\cong M[n]$ となり、ただ 1 つの次数に可逆層が現れる。可逆層は階数 $1$ で、$k(0)$ は階数 $0$ なので、$T$ はこの形ではない。$\square$
次の表の反例はどれも、主張の条件を 1 つだけ外している。
| 主張 | 外す条件 | 例 | 崩れること |
|---|---|---|---|
| lem-fm-vanishing | $L$ が自明でないこと | $L=\mathcal O_B$ | $H^0(B,\mathcal O_B)=k\neq0$ |
| lem-fm-vanishing | $L\in\operatorname{Pic}^0(B)$ | 楕円曲線で $L=\mathcal O_E(O)$（次数 $1$、自明でない） | $H^0(E,L)\neq0$ |
| thm-fm-mukai | 核が Poincaré 束であること | 核 $\mathcal O_{A\times A^\vee}$ | すべての $k(a)$ が $\mathcal O_{A^\vee}$ に移り、$a\neq b$ で $\operatorname{Hom}(k(a),k(b))=0$ なのに像の間の Hom は $k$ なので、充満忠実でない |
| prop-fm-point の後半 | $\mathcal K$ が $X$ 上平坦な層であること | $\dim X\ge1$、$\mathcal K=p^*k(x)$ | $Li_x^*\mathcal K$ の $-1$ 次のコホモロジーは $(\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2)\otimes\mathcal O_Y\neq0$ で、層としての制限と異なる |
| BO97 Theorem 3.1 | 標準束か反標準束が豊富なこと | 楕円曲線（標準束は自明）の $T$（ex-fm-elliptic） | 標準的でない自己同値がある |
関連項目
参考文献
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