正則エピ射

同義語：regular epimorphism

概要

定義

正則エピ射

圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to B$ が正則エピ射（regular epimorphism）であるとは、$\mathcal{C}$ のある平行対 $a,b\colon X\to A$ が存在して、$f$ が $a$ と $b$ の余等化子になっていることをいう。すなわち、$f\circ a=f\circ b$ であり、かつ $g\circ a=g\circ b$ を満たす任意の射 $g\colon A\to C$ に対し、$g=t\circ f$ を満たす射 $t\colon B\to C$ がただ一つ存在することをいう。
双対に、ある平行対の等化子になっている射を正則モノ射（regular monomorphism）という。

エピ射の諸クラス

圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to B$ について、次の用語を用いる。

$f$ がエピ射（epimorphism）であるとは、任意の対象 $C$ と射 $u,v\colon B\to C$ に対し、$u\circ f=v\circ f$ ならば $u=v$ となることをいう。
$f$ が分裂エピ射（split epimorphism）であるとは、$f\circ s=\mathrm{id}_B$ を満たす射 $s\colon B\to A$（$f$ の切断）が存在することをいう。
$f$ が強エピ射（strong epimorphism）であるとは、$f$ がエピ射であり、かつ任意のモノ射 $m\colon C\to D$ と射 $u\colon A\to C$、$v\colon B\to D$ に対し、$m\circ u=v\circ f$ ならば、$d\circ f=u$ かつ $m\circ d=v$ を満たす射 $d\colon B\to C$（対角射）が存在することをいう。
$f$ が極エピ射（extremal epimorphism）であるとは、$f$ がエピ射であり、かつ $f=m\circ g$ とモノ射 $m$ を通して分解するとき、必ず $m$ が同型射になることをいう。
強エピ射の定義における対角射 $d$ は、存在すれば一意である。実際 $d\circ f=u=d'\circ f$ で $f$ はエピ射だから $d=d'$ である。

直感

集合の圏では、エピ射は全射にほかならず、全射 $f\colon A\to B$ は $B$ を「$A$ を同値関係 $f(x)=f(y)$ で割った商」と同一視させる。正則エピ射は、この「商への標準射」という側面を一般の圏で捉えたものである。一般の圏ではエピ射が商射とは限らず（環の圏の $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ やモノイドの圏の $\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ は全射でないエピ射である）、エピ射の中で「本当に商である」ものを切り出す条件が正則性である。包含 $\iota\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ はモノ射で同型でないから、cor-regular-epi-mono-iso により正則エピ射でない。分裂・正則・強・極という4つの条件は、この順に弱くなっていく「よいエピ射」の階層をなし、有限極限(圏論)を持つ圏では強エピ射と極エピ射は一致する。正則エピ射は正則圏の定義と像分解の主役である。

例と反例

集合・群・加群における正則エピ射

集合の圏 $\mathbf{Set}$ では、任意の全射 $f\colon A\to B$ は正則エピ射である。実際、$K:=\{(x,y)\in A\times A\mid f(x)=f(y)\}$ と2つの射影 $p,q\colon K\to A$ をとると、$f$ は $p,q$ の余等化子である（$g\circ p=g\circ q$ なる $g$ は $f(x)=f(y)\Rightarrow g(x)=g(y)$ を満たすので、$t(f(x)):=g(x)$ が矛盾なく定まり、$f$ が全射だから $t$ は一意）。逆に余等化子はつねにエピ射（prop-regular-epi-chain）で、$\mathbf{Set}$ のエピ射は全射だから、$\mathbf{Set}$ では正則エピ射と全射は一致する。
群の圏や環 $R$ 上の加群の圏では、全射準同型 $f\colon A\to B$ は正則エピ射である。加群の場合、$f$ は核 $\ker f$ の包含 $\iota\colon\ker f\to A$ と零射 $0\colon\ker f\to A$ の余等化子（すなわち余核）である。群の場合も、1 と同じ核対 $K=\{(x,y)\mid f(x)=f(y)\}$（$A\times A$ の部分群）の2つの射影の余等化子になる。

分裂しない正則エピ射

アーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$ において、標準射影 $\pi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は正則エピ射である（$\pi$ は $2\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ と $0\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ の余等化子、すなわち $2$ の余核である）。しかし分裂エピ射ではない。実際、群準同型 $s\colon\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は、$2s(\bar 1)=s(\bar 2)=s(\bar 0)=0$ より $s(\bar 1)=0$ となり零射に限るから、$\pi\circ s=\mathrm{id}$ は成り立たない。この例は「正則エピ射 ⇒ 分裂エピ射」を破る。

正則でない強エピ射

小さい圏と関手のなす圏 $\mathbf{Cat}$ で考える。$\mathbf{2}$ を対象 $0,1$ と唯一の非恒等射 $0\to1$ からなる圏、$[2]$ を対象 $0,1,2$ と射 $\alpha\colon0\to1$、$\beta\colon1\to2$、$\beta\alpha\colon0\to2$ からなる圏（順序集合 $0<1<2$）とする。$A:=\mathbf{2}+\mathbf{2}+\mathbf{2}$（3つの $\mathbf{2}$ の余積(圏論)で、対象をそれぞれ $0\to1$、$0'\to1'$、$0''\to1''$ とし、非恒等射を $a\colon0\to1$、$b\colon0'\to1'$、$c\colon0''\to1''$ と書く）から $[2]$ への関手 $F$ を、$a\mapsto\alpha$、$b\mapsto\beta$、$c\mapsto\beta\alpha$ で定める（$0,0''\mapsto0$、$1,0'\mapsto1$、$1',1''\mapsto2$ が対象の対応である）。
$F$ は強エピ射であるが正則エピ射ではない。すなわち「強エピ射 ⇒ 正則エピ射」を破る。
$F$ が正則でないこと：$F$ が余等化子であれば、prop-regular-epi-kernel-pair により $F$ はその核対 $P:=A\times_{[2]}A$ の2つの射影 $p_1,p_2$ の余等化子である。$P$ の対象は $F$ による像が等しい対象の組、射は像が等しい射の組であるが、$A$ において $a$ と $b$ は合成できないので $\beta\alpha$ を像にもつ $A$ の射は $c$ だけであり、$P$ の非恒等射は $(a,a),(b,b),(c,c)$ に限る。したがって $p_1,p_2$ の余等化子 $Q$ は、対象 $0,1,2$ と射 $a\colon0\to1$、$b\colon1\to2$、$c\colon0\to2$ で生成される自由圏（$A$ には非自明な合成がないので、商は商グラフ上の自由圏になる。$c\neq ba$）であり、$Q\to[2]$ は同型でない（$Q$ には $0\to2$ の射が2本ある）。よって $F$ は余等化子ではない。
$F$ が強エピ射であること：$F$ は対象と射のいずれの上でも全射なので、エピ射である。モノ射 $M\colon\mathcal{Z}\to\mathcal{W}$ と関手 $U\colon A\to\mathcal{Z}$、$V\colon[2]\to\mathcal{W}$ が $M\circ U=V\circ F$ を満たすとする。$\mathbf{Cat}$ のモノ射は対象上単射な忠実関手である（対象 $z,z'$ を選ぶ2つの関手 $\mathbf{1}\to\mathcal{Z}$、射 $\varphi,\psi$ を選ぶ2つの関手 $\mathbf{2}\to\mathcal{Z}$ で試せばよい）。対角射 $D\colon[2]\to\mathcal{Z}$ を、対象 $F(x)$ に $U(x)$、射 $F(\varphi)$ に $U(\varphi)$ を対応させて定める。これは矛盾なく定まる：$F(x)=F(x')$ なら $M(U(x))=V(F(x))=M(U(x'))$ で $M$ は対象上単射だから $U(x)=U(x')$、射についても同様に $M$ の忠実性から従う。$D$ が合成を保つことは、$[2]$ の唯一の非自明な合成 $\beta\alpha=F(c)$ について $M(U(c))=V(\beta\alpha)=V(\beta)V(\alpha)=M(U(b))M(U(a))=M(U(b)U(a))$ と $M$ の忠実性から $U(c)=U(b)U(a)$ を得ることによる。構成から $D\circ F=U$、$M\circ D=V$ である。

極エピ射でないエピ射

モノイドの圏 $\mathbf{Mon}$ において、包含 $\iota\colon\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$（加法モノイド）はエピ射である。実際、モノイド準同型 $u,v\colon\mathbb{Z}\to M$ が $\mathbb{N}$ 上で一致すれば、$u(-1)$ と $v(-1)$ はともに $u(1)=v(1)$ の $M$ における逆元であり、逆元の一意性から $u(-1)=v(-1)$、よって $u=v$ である。しかし $\iota=\iota\circ\mathrm{id}_{\mathbb{N}}$ はモノ射 $\iota$ を通した分解であり、$\iota$ は同型でないから、$\iota$ は極エピ射でない。したがって「エピ射 ⇒ 極エピ射」を破る。同じ理由で $\iota$ は強エピ射でも正則エピ射でもない。
位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ において、2点以上の集合 $X$ に離散位相を入れた空間 $X_d$ から密着位相を入れた空間 $X_i$ への恒等写像 $f\colon X_d\to X_i$ は連続写像であり、全射なのでエピ射である。しかし $f$ は同相写像でないモノ射 $f$ 自身を通して $f=f\circ\mathrm{id}$ と分解するので、極エピ射でない。

反例：強エピ射でない極エピ射

有限極限を持たない圏では、極エピ射が強エピ射になるとは限らない。対象 $P,A,B,C,D$ をもち、非恒等射が $x,y\colon P\to A$、$f\colon A\to B$、$u\colon A\to C$、$v\colon B\to D$、$m\colon C\to D$ とそれらの合成であり、関係 $f\circ x=f\circ y$、$u\circ x=u\circ y$、$m\circ u=v\circ f$ で定まる有限圏 $\mathcal{E}$ を考える。各射集合は、$\mathcal{E}(P,A)=\{x,y\}$ のほかはすべて高々1元である。$B$ から出る射は $\mathrm{id}_B$ と $v$ だけなので $f$ はエピ射であり、$f$ 自身はモノ射でない（$f\circ x=f\circ y$、$x\neq y$）。$f=m'\circ g$ とモノ射 $m'$ を通して分解するとき、$B$ へ入る射は $\mathrm{id}_B$、$f$、$f\circ x$ に限る。$m'=f$ は $f$ がモノ射でないので不可、$m'=f\circ x$ は $A$ から $P$ への射がないので不可であり、$m'=\mathrm{id}_B$ は同型だから、$f$ は極エピ射である。一方 $m$ は $C$ に入る射が $\mathrm{id}_C$、$u$、$u\circ x$ に限ることからモノ射であり、$m\circ u=v\circ f$ という四角形に対する対角射 $d\colon B\to C$ は $\mathcal{E}(B,C)=\emptyset$ より存在しない。よって $f$ は強エピ射でなく、「極エピ射 ⇒ 強エピ射」を破る。prop-regular-epi-extremal-strong により、この現象は引き戻しを持たない圏に特有である。

反例：正則でないモノ射

双対概念について一つだけ注意する。$\mathbf{Top}$ における上の $f\colon X_d\to X_i$ は単射なのでモノ射であるが、正則モノ射ではない。実際、正則モノ射でエピ射でもあるものは（cor-regular-epi-mono-iso の双対により）同型射であるが、$f$ はエピ射であって同型でない。位相空間の圏では、正則モノ射は部分空間の埋め込みに一致する（Bor94a 第4章）。

性質

エピ射の階層

任意の圏において、分裂エピ射は正則エピ射であり、正則エピ射は強エピ射であり、強エピ射は極エピ射であり、極エピ射はエピ射である。

分裂 ⇒ 正則：$f\colon A\to B$ が切断 $s$ をもつとする。$f$ は平行対 $s\circ f,\ \mathrm{id}_A\colon A\to A$ の余等化子である。実際 $f\circ(s\circ f)=(f\circ s)\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_A$ であり、$g\colon A\to C$ が $g\circ s\circ f=g$ を満たせば $g=(g\circ s)\circ f$ と分解する。分解の一意性は、$f$ がエピ射であることから従う（$u\circ f=v\circ f$ なら $u=u\circ f\circ s=v\circ f\circ s=v$）。
正則 ⇒ 強：$f$ を $a,b\colon X\to A$ の余等化子とする。まず $f$ はエピ射である。$u\circ f=v\circ f$ とすると、$w:=u\circ f$ は $w\circ a=u\circ f\circ a=u\circ f\circ b=w\circ b$ を満たすので、$w=t\circ f$ となる $t$ がただ一つ存在するが、$u$ と $v$ はともにこの条件を満たすから $u=v$ である。次にモノ射 $m\colon C\to D$ と $u\colon A\to C$、$v\colon B\to D$ が $m\circ u=v\circ f$ を満たすとする。$m\circ u\circ a=v\circ f\circ a=v\circ f\circ b=m\circ u\circ b$ で $m$ はモノ射だから $u\circ a=u\circ b$ であり、余等化子の普遍性により $u=d\circ f$ となる $d\colon B\to C$ が存在する。さらに $m\circ d\circ f=m\circ u=v\circ f$ で $f$ はエピ射だから $m\circ d=v$ である。
強 ⇒ 極：$f$ を強エピ射とし、$f=m\circ g$（$m\colon C\to B$ はモノ射）とする。四角形 $m\circ g=\mathrm{id}_B\circ f$ に対角射 $d\colon B\to C$ をとると $m\circ d=\mathrm{id}_B$ である。すると $m\circ(d\circ m)=m=m\circ\mathrm{id}_C$ で $m$ はモノ射だから $d\circ m=\mathrm{id}_C$ となり、$m$ は同型射である。
極 ⇒ エピ：定義に含まれている。$\square$

引き戻しを持つ圏では極エピ射は強エピ射

圏 $\mathcal{C}$ が引き戻しを持つならば、$\mathcal{C}$ の極エピ射は強エピ射である。したがって、引き戻しを持つ圏では強エピ射と極エピ射の概念は一致する。

まず、モノ射の引き戻しはモノ射であることを確かめる。$m\colon C\to D$ をモノ射、$v\colon B\to D$ を任意の射とし、$m$ の $v$ に沿った引き戻しを $m'\colon P\to B$、$p\colon P\to C$（$m\circ p=v\circ m'$）とする。$m'\circ g=m'\circ h$（$g,h\colon Z\to P$）とすると、$m\circ p\circ g=v\circ m'\circ g=v\circ m'\circ h=m\circ p\circ h$ で $m$ はモノ射だから $p\circ g=p\circ h$ である。引き戻しへの射は $m'$ と $p$ との合成で決まるので $g=h$ となり、$m'$ はモノ射である。
$f\colon A\to B$ を極エピ射とし、モノ射 $m\colon C\to D$ と $u\colon A\to C$、$v\colon B\to D$ が $m\circ u=v\circ f$ を満たすとする。上の引き戻し $P$ をとると、$m\circ u=v\circ f$ により、$m'\circ w=f$、$p\circ w=u$ を満たす射 $w\colon A\to P$ がただ一つ存在する。$f=m'\circ w$ はモノ射 $m'$ を通した分解だから、$f$ の極性により $m'$ は同型射である。$d:=p\circ m'^{-1}\colon B\to C$ とおくと、$d\circ f=p\circ m'^{-1}\circ m'\circ w=p\circ w=u$、$m\circ d=m\circ p\circ m'^{-1}=v\circ m'\circ m'^{-1}=v$ であり、$d$ は求める対角射である。$\square$

正則エピ射は核対の余等化子

$f\colon A\to B$ を正則エピ射とし、$f$ の核対（$f$ の $f$ 自身に沿った引き戻し）$p,q\colon K\to A$ が存在するとする。このとき $f$ は $p$ と $q$ の余等化子である。

$f$ を $a,b\colon X\to A$ の余等化子とする。$f\circ a=f\circ b$ だから、核対の普遍性により $p\circ h=a$、$q\circ h=b$ を満たす射 $h\colon X\to K$ が存在する。核対の定義から $f\circ p=f\circ q$ である。$g\colon A\to C$ が $g\circ p=g\circ q$ を満たすとすると、$g\circ a=g\circ p\circ h=g\circ q\circ h=g\circ b$ だから、余等化子の普遍性により $g=t\circ f$ となる $t$ が存在し、$f$ がエピ射（prop-regular-epi-chain）なので $t$ は一意である。$\square$

モノ射でもある強エピ射は同型射

強エピ射（特に正則エピ射・分裂エピ射）$f$ がモノ射でもあるならば、$f$ は同型射である。

prop-regular-epi-chain により $f$ は極エピ射である。$f=f\circ\mathrm{id}$ はモノ射 $f$ を通した分解なので、$f$ は同型射である。$\square$

強エピ射の合成

強エピ射の合成は強エピ射である。また、$g\circ f$ が強エピ射（それぞれ極エピ射、エピ射）ならば $g$ も強エピ射（それぞれ極エピ射、エピ射）である。

$f\colon A\to B$、$g\colon B\to C$ を強エピ射とする。エピ射の合成はエピ射である。モノ射 $m$ と $u\colon A\to X$、$v\colon C\to Y$ が $m\circ u=v\circ g\circ f$ を満たすとする。四角形 $m\circ u=(v\circ g)\circ f$ に $f$ の強性を適用して $d_1\colon B\to X$（$d_1\circ f=u$、$m\circ d_1=v\circ g$）を得、四角形 $m\circ d_1=v\circ g$ に $g$ の強性を適用して $d_2\colon C\to X$（$d_2\circ g=d_1$、$m\circ d_2=v$）を得る。$d_2\circ g\circ f=d_1\circ f=u$ だから $d_2$ は求める対角射である。
後半：$g\circ f$ がエピ射なら、$u\circ g=v\circ g$ から $u\circ g\circ f=v\circ g\circ f$、よって $u=v$ であり、$g$ はエピ射である。$g\circ f$ が強エピ射で、$m\circ u=v\circ g$（$m$ はモノ射）とすると、四角形 $m\circ(u\circ f)=v\circ(g\circ f)$ の対角射 $d\colon C\to X$ は $m\circ d=v$ を満たすので、$m\circ d\circ g=v\circ g=m\circ u$、$m$ がモノ射なので $d\circ g=u$ を得る。よって $d$ は四角形 $m\circ u=v\circ g$ の対角射であり、$g$ は強エピ射である。$g\circ f$ が極エピ射で $g=m\circ h$（$m$ はモノ射）なら、$g\circ f=m\circ(h\circ f)$ から $m$ は同型射であり、$g$ は極エピ射である。$\square$

正則エピ射は合成で閉じない

ex-regular-epi-strong-not-regular の関手 $F$ は、$0$ と $0''$、$1$ と $0'$、$1'$ と $1''$ を同一視する関手 $A\to Q$（$Q$ は例の中の自由圏。これは対象の3つの対 $(0,0'')$、$(1,0')$、$(1',1'')$ を選ぶ2つの関手 $\mathbf{1}+\mathbf{1}+\mathbf{1}\to A$ の余等化子である）と、$c$ を $ba$ に写す関手 $Q\to[2]$（$c$ と $ba$ を選ぶ2つの関手 $\mathbf{2}\to Q$ の余等化子である）との合成である。したがって正則エピ射の合成は正則エピ射とは限らない。一方、prop-regular-epi-composition により強エピ射は合成で閉じる。正則圏では正則エピ射・強エピ射・極エピ射が一致し、正則エピ射は合成と引き戻しで閉じる（Bor94b 第2章）。

補足

極エピ射を「エピ射であって」という条件なしに定義する流儀もある。等化子を持つ圏では両者は一致する。実際 $f=m\circ g$（$m$ モノ ⇒ $m$ 同型）という条件を満たす $f$ に対し、$u\circ f=v\circ f$ とすると $u,v$ の等化子 $e$（モノ射）を通して $f$ が分解するので $e$ は同型、よって $u=v$ である。
$\mathbf{Set}$ では選択公理のもとで全射は分裂するので、4つの条件はすべて全射と一致する。$\mathbf{Ab}$ や加群の圏では分裂エピ射だけが真に強く、他の3つは全射準同型と一致する。$\mathbf{Top}$ では正則エピ射は商写像に一致し（Bor94a 第4章）、強・極エピ射とも一致する。
正則エピ射・強エピ射の一般論は Bor94a 第4章、正則圏における役割は Bor94b 第2章および Joh02 A1.3 を参照。