Chern類の構成(Gysin列)
概要
Chern類の構成(Gysin列)（construction of Chern classes via the Gysin sequence）とは、複素束の最高次の類を実化の Euler 類とし、下位類を非零全空間上の商束と Gysin 列の低次数の同型から帰納的に定める方法である。商束は計量を要せず、任意の位相底で自然性と安定性が成立する。特異単体から作る CW 複体の評価写像が整数コホモロジー環に単射を誘導するため、同じ帰納的な類の Whitney の和公式を任意の底へ移せる。パラコンパクト Hausdorff 底では射影束による構成と一致する。
構成の考え方
複素ベクトル束の最高次の Chern 類は、実化した束の Euler 類である。残りの類は、束から零ベクトルを除いた空間へ引き戻し、階数を一つ下げて定められる。この方法では、各ファイバーで選んだ非零ベクトルの直線を商にすればよく、束全体の Hermite 計量を用意する必要がない。
この構成には二つの段階がある。まず Gysin 列の低次数での同型を使って類を一意に定め、自然性を証明する。次に、任意の底空間を特異単体からできた CW 複体へ引き戻し、その同じ引き戻しが整数コホモロジー環に単射を与えることを使って Whitney の和公式を確かめる。後者では、コホモロジー群の抽象的な同型ではなく、実際の連続写像が誘導する環準同型を使うことが大切である。
以下の $H^*$ は整数係数の特異コホモロジー、積は通常のカップ積とする。底空間は任意の位相空間であり、Hausdorff 性・パラコンパクト性を仮定しない。束は固定した有限階数の局所自明な複素ベクトル束で、直積・引き戻しには通常の位相を入れる。一般の層コホモロジーや局所係数への拡張はここでは扱わない。
階数 $n>0$ の複素ベクトル束 $E\to B$ に対し、零切断を除いた全空間を $E^\times$、その射影を $p\colon E^\times\to B$ とする。$p^*E$ の中の直線部分束
$$
L_v=\mathbb Cv\subset E_{p(v)}\qquad(v\in E^\times)
$$
による商束を $Q_E=p^*E/L$ と書く。これは $E^\times$ 上の階数 $n-1$ の複素ベクトル束である。
Gysin列によるChern類の構成とは、階数についての帰納法により
$$
c_0^G(E)=1,\qquad c_n^G(E)=e(E_{\mathbb R}),\qquad
c_i^G(E)=(p^*)^{-1}c_i^G(Q_E)\quad(0< i< n)
$$
と定め、$i>n$ では $c_i^G(E)=0$ とする方法をいう。実化 $E_{\mathbb R}$ には複素構造の向きを入れる。階数 $0$ では $c_0^G=1$、すべての正の次数の類を $0$ とする。
上付きの $G$ は構成を区別するための記号であり、係数群の意味ではない。後でパラコンパクト Hausdorff 底では射影束による構成と一致することを確かめる。全 Chern 類は有限和 $c^G(E)=\sum_{i=0}^n c_i^G(E)$ である。
任意の位相空間 $B$ 上の有限階数の複素ベクトル束について、上の定義は一意に実行できる。得られる類は次の性質をもつ。
- 任意の連続写像 $f\colon A\to B$ に対し $c_i^G(f^*E)=f^*c_i^G(E)$。複素線形な束同型でも類は保たれる。
- 自明な複素束 $\underline{\mathbb C}^k$ を加えても $c^G(E\oplus\underline{\mathbb C}^k)=c^G(E)$。
- 同じ底上の二つの束について
$$ c^G(E\oplus F)=c^G(E)c^G(F),\qquad c_i^G(E\oplus F)=\sum_{a+b=i}c_a^G(E)c_b^G(F). $$
これらは整数係数の等式であり、捩れを除いた後だけの等式ではない。
構成・自然性・安定性は MS74 §14 の帰納的定義と補題14.2・14.3に沿う。和公式については、同じ帰納的な類に対するパラコンパクト底上の式 (14.7) を使い、底を任意空間へ移す段階を本記事で証明する。Chern類の構成(射影束) は、射影束の関係式を出発点とする別の構成である。
非零ベクトルを指定して階数を下げる
商束は局所的にどう見えるか
$B$ の開集合 $U$ 上で $E$ を $U\times\mathbb C^n$ と自明化し、$v=(v_1,\ldots,v_n)\ne0$ と書く。$v_j\ne0$ の開集合では
$$
v,e_1,\ldots,\widehat{e_j},\ldots,e_n
$$
が $\mathbb C^n$ の基底である。その行列式は符号を除いて $v_j$ だから零でない。最初の基底ベクトル $v$ が $L$ を張り、残る基底の剰余類が商の基底になる。基底行列とその逆は $(b,v)$ に連続に依存するので、これは $Q_E$ の局所自明化を与える。開集合 $v_j\ne0$ は $E^\times$ を覆うため、商は確かにベクトル束である。
ここで $v$ は底 $B$ 上の切断として選んだものではない。新しい底の点が非零ベクトルそのものであり、その点の上には指定されたベクトル $v$ がすでにある。元の束に零でない大域切断がなくても、この操作はできる。
Hermite 計量が与えられている場合には、商を直交補空間で表せる。内積 $h$ を第一変数で複素線形とする規約で
$$
P_v(w)=v\,\frac{h(w,v)}{h(v,v)}
$$
とおくと、$P_v$ は $\mathbb Cv$ への射影である。写像
$$
[w]\longmapsto w-P_v(w),\qquad v^\perp\longrightarrow Q_{E,v},\quad u\longmapsto[u]
$$
は互いに逆の複素線形写像で、$v\ne0$ では分母が正なので全体として連続である。従って計量を使う直交補束による定義も、同じ商束による定義に戻る。計量の全域的な存在は、ここでの商束構成の仮定ではない。
複素構造の向きとGysin列
複素基底 $a_1,\ldots,a_n$ を、実基底
$$
a_1,ia_1,\ldots,a_n,ia_n
$$
へ送って向きを決める。複素基底変換 $M$ の実行列式は $|\det_{\mathbb C}M|^2>0$ なので、この向きは基底に依存せず、局所自明化の間で貼り合う。以下の Euler 類と Thom 類では常にこの向きを使う。
向き付けられた実階数 $2n$ の束には、整数係数の Gysin 完全列
$$
\cdots\longrightarrow H^{r-2n}(B)
\xrightarrow{\ a\mapsto a\smile e(E_{\mathbb R})\ }H^r(B)
\xrightarrow{p^*}H^r(E^\times)
\longrightarrow H^{r-2n+1}(B)\longrightarrow\cdots
$$
がある。これは射影 $\pi\colon E\to B$ をもつ束の対 $(E,E^\times)$ の長完全列を、零切断による $E\simeq B$ と Thom 同型 $a\mapsto\pi^*a\smile u_E$ で書き直したものである（MS74 定理12.2）。単位 Thom 類 $u_E$ を先に固定するため、途中で Euler 類の符号を選び替える自由はない。
ここで使う Thom 同型は局所自明な向き付け実束と整数特異コホモロジーに対するものである。特異単体の有限細分と局所的なファイバー生成元の貼り合わせによる形を用い、底に Hermite 計量や分類写像の存在を追加仮定しない。以下ではこの Thom・Gysin の定理を入力とし、一般の Thom 定理そのものを再証明するのではなく、帰納に必要な次数と写像を明示する。
$n>0$、$r< 2n-1$ なら $p^*\colon H^r(B)\to H^r(E^\times)$ は同型である。特に $0\le i< n$ では $r=2i$ がこの条件を満たす。
完全列の隣の二項は $H^{r-2n}(B)$ と $H^{r-2n+1}(B)$ である。仮定から両方の次数が負なので零である。従って $p^*$ の核は零であり、その像は全体になる。$i< n$ なら $2i\le2n-2< 2n-1$ なので最後の主張も従う。$\square$
thm-cg-main の構成部分を示す。階数 $0$ の束では定義をすでに与えた。階数が $n$ 未満の束で類が定義されているとする。$Q_E$ は階数 $n-1$ なので $c_i^G(Q_E)$ は定義されている。$0< i< n$ について、lem-cg-low-range の同じ射 $p^*$ が同型なので、それを引き戻しにもつ $H^{2i}(B)$ の元がただ一つある。これを $c_i^G(E)$ とする。最高次は既に定義された Euler 類、階数超過は零、零次は単位とすれば、すべての次数が定まる。
別の規則も同じ帰納条件を満たすなら、下の階数で一致するため、$p^*$ による像はすべて同じになる。同型の単射性から下位類は一致し、最高次・零次・階数超過も一致する。帰納は有限回で終わり、補空間の選択も不要である。$\square$
低次数の同型は最高次には適用できない。$c_n^G$ を最初から Euler 類として指定したのはこのためである。また、階数 $0$ では $E^\times$ は空なので、同じ逆写像の式を使わずに単位と零を別に指定している。
自然性と安定性
$f\colon B\to B'$ を覆う束写像 $F\colon E\to E'$ が各ファイバーで複素線形同型なら、$c_i^G(E)=f^*c_i^G(E')$ である。
階数について帰納する。零階数は定義から従う。正階数では $F$ は複素構造の向きを保つから、Euler 類の自然性により最高次の等式が成立する。下位類のため、$F$ を非零ベクトルに制限した $F^\times\colon E^\times\to E'^\times$ をとる。各ファイバーで同型なので非零ベクトルは非零へ写り、商に
$$
Q_{E,v}\longrightarrow Q_{E',F(v)},\qquad[w]\longmapsto[F(w)]
$$
を誘導する。$\mathbb Cv$ を $\mathbb CF(v)$ へ送るのでこれは well defined であり、局所基底行列とその逆で、各ファイバーで同型となる連続な束写像と分かる。
$0< i< n$ では帰納法と商の帰納定義から
$$
p^*c_i^G(E)=c_i^G(Q_E)
=(F^\times)^*c_i^G(Q_{E'})
=(F^\times)^*p'^*c_i^G(E')
=p^*f^*c_i^G(E').
$$
最後は $p'F^\times=fp$ による。$p^*$ の単射性で消去して結論を得る。零次と階数超過は直接従う。引き戻し束の場合、標準写像 $f^*E'\to E'$ はこの条件を満たすので主定理の1も従う。ここには $F$ が等長写像であるという仮定はない。$\square$
$E$ に自明な直線束を加えても全 Chern 類は変わらない。
$E$ の階数を $n$、$V=E\oplus\underline{\mathbb C}$ とし、$s(b)=(0,1)\in V_b$ で非零切断 $s\colon B\to V^\times$ をとる。$s^*Q_V$ のファイバーは $(E_b\oplus\mathbb C)/\mathbb C(0,1)$ で、$[(w,z)]\mapsto w$ によって $E$ と同型である。
$1\le i\le n$ なら、商の定義と自然性から $p^*c_i^G(V)=c_i^G(Q_V)$ を $s$ で引き戻すと $c_i^G(V)=c_i^G(E)$ となる。$p\circ s=\mathrm{id}_B$ を使った。最高次 $i=n+1$ は、$V$ が非零切断をもつので $e(V_{\mathbb R})=0$ である。これは Euler 類の非零切断による消滅であり、和公式を使っていない。残る高次数は階数超過で零、零次は単位である。$n=0$ でも同じ非零切断で自明直線束の Euler 類は零となる。自明束が $k$ 本なら、この操作を $k$ 回繰り返せばよい。$\square$
この順序なら、Whitney の和公式を証明するための安定性を、その和公式自身から導くことはない。構成と自然性が先に閉じていることが、次の引き戻しによる議論を可能にする。
特異単体の評価で整数の等式を検出する
任意の底で計量や分類写像を用意する代わりに、特異コホモロジーの等式を検出できる別の空間へ引き戻す。必要なのは、次の一つの連続写像である。
位相空間 $B$ の各連続な特異単体 $\sigma\colon\Delta^q\to B$ に対し、標準閉単体 $\Delta^q$ のコピーを一つ置く。各面を、対応する特異単体 $\sigma\circ\delta_j\colon\Delta^{q-1}\to B$ のコピーへ標準的な面写像で貼り合わせる。すべての次元でこれを行い、各特性単体から定まる弱位相を入れた空間を $W_B$ とする。退化した特異単体も独立の単体として残し、退化写像による次元の縮約はしない。
評価写像 $\varepsilon_B\colon W_B\to B$ を、$\sigma$ のコピー上では $t\mapsto\sigma(t)$ と定める。
面の恒等式により貼り合わせは整合する。各開単体は一つの開胞体であり、その閉包は有限個の面の胞体に含まれる。次元の順に閉単体を貼り、その特性写像で弱位相を入れたため、$W_B$ は Hausdorff な CW 複体になる。これは面の自己同一視を許す $\Delta$ 複体の構成である（Hat02 §2.1）。元の $B$ が Hausdorff でなくても、ここで作った胞体空間の性質は変わらない。評価写像は貼り合わせた面で一致し、各特性単体上連続なので、弱位相の定義から連続である。
特に $W_B$ はパラコンパクト Hausdorff である（パラコンパクト空間 の定理「CW 複体のパラコンパクト性」）。胞体の個数が可算であるとは仮定しない。この空間を用いる目的は、$B$ 上の束を分類することではなく、類の等式を検出することである。
任意の位相空間 $B$ に対し、実際の評価写像が誘導する
$$
\varepsilon_B^*\colon H^*(B;\mathbb Z)\longrightarrow H^*(W_B;\mathbb Z)
$$
は単位を保つ環準同型で、各次数で単射である。
退化した単体も含む通常の特異鎖複体を $C_*(-;\mathbb Z)$ と書く。各特異単体 $\sigma\colon\Delta^q\to B$ に対し、そのコピーの特性写像を $\widehat\sigma\colon\Delta^q\to W_B$ とする。鎖群の基底ごとに
$$
\kappa(\sigma)=\widehat\sigma
$$
と定めると、面の貼り合わせの定義から
$$
\partial\widehat\sigma=\sum_{j=0}^q(-1)^j\widehat{\sigma\circ\delta_j}
=\kappa(\partial\sigma)
$$
となり、$\kappa\colon C_*(B;\mathbb Z)\to C_*(W_B;\mathbb Z)$ は鎖写像である。評価との合成は基底の上で
$$
\varepsilon_{B\#}\kappa(\sigma)=\varepsilon_B\circ\widehat\sigma=\sigma
$$
だから、厳密に $\varepsilon_{B\#}\kappa=\mathrm{id}$ である。
両鎖写像に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(-,\mathbb Z)$ を適用すれば、向きが逆になって余鎖写像の等式 $\kappa^*\varepsilon_B^*=\mathrm{id}$ を得る。これは単に写像の合成を転置した等式であり、$\operatorname{Hom}$ の完全性を仮定していない。コホモロジーに降りても同じ等式が成り立つから、$\varepsilon_B^*$ は各次数で単射である。例えばその像が零になった類 $a$ は、左から $\kappa^*$ を合成すれば $a=0$ と分かる。
環の性質は $\varepsilon_B$ が連続写像であることから従うが、鎖の式でも確認できる。次数 $r,s$ の余鎖 $a,b$ のカップ積は、$(r+s)$ 単体の前の $r$ 面に $a$、後ろの $s$ 面に $b$ を評価して掛けたものである。写像による単体の像をとる操作はこれらの面制限と可換なので
$$
\varepsilon_B^*(a\smile b)=\varepsilon_B^*a\smile\varepsilon_B^*b
$$
が余鎖の段階で成り立つ。定数 $0$ 余鎖 $1$ も $1$ へ写る。従ってこの同じ $\varepsilon_B^*$ が単位付き環の単射である。$\kappa^*$ 自体を環準同型と主張する必要はない。$\square$
この証明で使う単射性は、$H_j(B;\mathbb Z)$ が自由であるという仮定を必要としない。コホモロジーが有限生成である必要もなく、無限個の単体があれば余鎖はそれら全体から整数への準同型として扱う。さらに評価の鎖写像が鎖ホモトピー同値であることまで証明する必要もない。以下の等式の検出には、上の厳密な片逆と積の自然性で足りる。
Whitneyの和公式を任意の底へ移す
CW複体上で使う式の範囲
同じ帰納で定義した $c_i^G$ に対し、パラコンパクト Hausdorff 底上では
$$
c^G(E\oplus F)=c^G(E)c^G(F)
$$
が成り立つ。ここでは MS74 §14 の式 (14.7) とその証明を用いる。そこでの $c_i$ は最高次 Euler 類と非零全空間上の階数を一つ下げた束からの逆引き戻しで定義されている。Hermite 計量による直交補束の模型を使う場合にも、上の商束との明示同型があり、階数帰納の定義は一致する。従って別の正規化の Chern 類を途中で入れ替えているわけではない。
このパラコンパクト底上の証明は、Grassmann 多様体の整数コホモロジー環と、二つの普遍束の直和の類を表す普遍多項式を使う。自明直線束を加える安定性から、和公式との差は両最高次生成元の積で割り切れ、次数の制限と Euler 類の直和公式からその差が零になる。計量のない任意の底上で先に分裂原理を使う証明ではない。本記事ではこの既存の普遍多項式の証明を重ねず、これから任意の底への移行を示す。
thm-cg-main の3を示す。二つの束の階数を $m,n$ とし、次数 $2i$ の差
$$
D_i=c_i^G(E\oplus F)-\sum_{a+b=i}c_a^G(E)c_b^G(F)\in H^{2i}(B;\mathbb Z)
$$
をとる。階数超過の類を零としたので、和は有限である。
$\varepsilon=\varepsilon_B\colon W_B\to B$ で引き戻す。実際の引き戻し束には、複素線形な束同型
$$
\varepsilon^*(E\oplus F)\longrightarrow\varepsilon^*E\oplus\varepsilon^*F,
\qquad (w,(v,u))\longmapsto((w,v),(w,u))
$$
がある。逆は共通の $w$ を一つにまとめる写像で、局所自明化では恒等なブロック行列である。従って連続な束同型であり、同じ直和を比較している。
構成済みの全底自然性と、lem-cg-evaluation の積の自然性から
$$
\varepsilon^*D_i=
c_i^G(\varepsilon^*E\oplus\varepsilon^*F)
-\sum_{a+b=i}c_a^G(\varepsilon^*E)c_b^G(\varepsilon^*F)=0.
$$
最後の等号には、$W_B$ がパラコンパクト Hausdorff な CW 複体であることと、直前に指定した同じ $c^G$ の和公式を用いた。任意の底について証明したい式を、この段の入力にはしていない。
$\varepsilon^*$ は整数コホモロジーで単射なので $D_i=0$ である。これはすべての $i$ について成り立つ。階数 $0$ の束を含む場合も零次の単位と正次数の零の規約から同じ等式になる。以上で全 Chern 類の和公式が得られ、主定理の証明が完結する。$\square$
写像を図式で表すと次の形になる。
$$
\begin{CD}
H^*(B;\mathbb Z)\otimes H^*(B;\mathbb Z) @>{\smile}>> H^*(B;\mathbb Z)\\
@V{\varepsilon^*\otimes\varepsilon^*}VV @VV{\varepsilon^*}V\\
H^*(W_B;\mathbb Z)\otimes H^*(W_B;\mathbb Z) @>{\smile}>> H^*(W_B;\mathbb Z)
\end{CD}
$$
右の縦矢印で差を検出し、左の縦矢印と下の積でその像を計算する。単なる群の同型を別に選んでも、この四角形の可換性は保証されない。
射影束による構成との一致
同じ名前の類を得たというだけでは、構成が一致する証明にはならない。比較する底の範囲と、最初の生成元の符号を合わせる必要がある。
$B$ がパラコンパクト Hausdorff のとき、$c_i^G(E)$ は Chern類の構成(射影束) で定める $c_i(E)$ と一致する。とくに複素射影空間の超平面類 $h$ に対し $c_1^G(\mathcal O(1))=h$、トートロジー直線束 $\gamma=\mathcal O(-1)$ には $c_1^G(\gamma)=-h$ である。
この底の範囲に制限すると、$c^G$ は上で証明した自然性と Whitney の和公式をもち、階数超過の消滅も定義に含む。直線束 $L$ では定義から $c_1^G(L)=e(L_{\mathbb R})$ である。Chern類の構成(射影束) の補題「直線束の実化の Euler 類」は、射影束構成の $c_1(L)$ もこの同じ複素構造の向きの Euler 類に等しいことを証明している。従って特に $\mathcal O(1)$ では $c_1^G=h$ であり、高次の類は零である。これで正規化も一致する。
よって二つの規則は Chern類 の命題「公理からの一意性」のすべての条件を満たすため一致する。トートロジー束での符号は、同じ補題における $e(\gamma_{\mathbb R})=-h$ の計算に従う。ここでは射影束構成の存在と正規化の結果を比較に使ったが、任意底の自然性や和公式の証明には使っていない。$\square$
この比較はパラコンパクト Hausdorff 底で行っている。任意の底上のすべての束が元の底で分類写像をもつ、あるいは旗束上で大域的な直和分解が与えられる、という結論を追加していない。任意の底で構成された $c_i^G$ を、そのような分類の存在から定義し直す必要はない。
例と反例で確かめる
任意の底 $B$ 上の二つの複素直線束 $L,M$ に対し、$x=e(L_{\mathbb R})$、$y=e(M_{\mathbb R})$ とおくと
$$
c^G(L\oplus M)=(1+x)(1+y),\qquad
c_1^G(L\oplus M)=x+y,\quad c_2^G(L\oplus M)=xy.
$$
最高次の式は複素構造の向きを入れた実束の Euler 類の直和公式とも一致する。二つの実階数はともに $2$ なので、直和の基底の順に並べる際に余分な符号は出ない。
例えば $B=\mathbb{CP}^2$、$L=M=\mathcal O(1)$ とすると、$H^*(B;\mathbb Z)=\mathbb Z[h]/(h^3)$ で
$$
c^G(L\oplus M)=1+2h+h^2.
$$
一方 $\underline{\mathbb C}\oplus\mathcal O(1)$ なら $c^G=1+h$ である。階数が同じでも、最高次の Euler 類が異なる二つの束となる。
一点上の階数 $n$ の束は $\mathbb C^n$ である。正次数のコホモロジーは零なので全 Chern 類は $1$ となる。一般の底の自明束は一点からの引き戻しだから、自然性によりやはり $c^G(\underline{\mathbb C}^n)=1$ である。零階数の束の全 Chern 類も $1$ とする規約により、直和公式の単位がすべての階数で同じになる。
ここでの $1$ は零次のコホモロジー環の単位である。底が空の場合も環の単位の規約に従い、正次数の類が新しく生じることはない。
引き戻しの使い方を誤る反例
| 外す条件・誤った拡張 | 反例 | 成り立たなくなる結論 |
|---|---|---|
| 低次数の範囲 $r< 2n-1$ をすべての次数へ広げる | 一点上の複素直線。$E^\times=\mathbb C^\times$ | $p^*\colon H^1(\mathrm{pt};\mathbb Z)=0\to H^1(\mathbb C^\times;\mathbb Z)=\mathbb Z$ は同型でない |
| 最高次の類も $p^*$ の逆で定める | $\mathbb{CP}^1$ 上のトートロジー直線束 $\gamma$ | $p^*c_1^G(\gamma)=0$ なのに $c_1^G(\gamma)=-h\ne0$。この次数の $p^*$ は単射でない |
| 単位を保つ加法同型なら積も保つ | $R=\mathbb Z[h]/(h^3)$ の加法同型 $T(1)=1,T(h)=h,T(h^2)=-h^2$ | $T(h^2)\ne T(h)^2$。単射でも積の式は移せない |
| 任意の連続写像の引き戻しで差を検出できる | 一点の包含 $j\colon\mathrm{pt}\to\mathbb{CP}^1$ | $j^*h=0$ だが $h\ne0$。環準同型でも単射性なしには元の等式に戻れない |
一行目では、半径方向の変形収縮 $z\mapsto z/|z|$ によって $\mathbb C^\times\simeq S^1$ であり、一次のコホモロジーは $\mathbb Z$ である。$n=1$ のとき $r=1$ はちょうど $2n-1$ で、補題の不等号から外れている。
二行目では、非零全空間の点 $(\ell,v)$ を $v$ へ送ると $\gamma^\times\cong\mathbb C^2\setminus\{0\}$ である。逆は $v\mapsto(\mathbb Cv,v)$ で、いずれも射影空間の局所座標で連続と分かる。半径方向に収縮して $S^3$ となるため $H^2(\gamma^\times;\mathbb Z)=0$ である。比較命題で $c_1^G(\gamma)=-h$ を確認した一方、その引き戻しは零になる。従って逆写像の存在を最高次にまで拡張することはできない。
三行目では、$1,h,h^2$ が加法群の基底であり、$T$ は一つの基底の符号を変えるだけなので可逆である。しかし $h^2$ は無限位数をもつから $-h^2\ne h^2$ であり、積を保たない。これは連続写像の引き戻しの反例ではなく、抽象的な加法同型で置き換える操作への反例である。四行目では一点の二次コホモロジーが零なので、非零の $h$ が消える。
この構成で何が得られたか
この方法は、最高次に Euler 類を置き、低次数を Gysin 列の同型で持ち上げるという一本の帰納である。商束の局所基底により計量を不要にし、同じ商の写像により全底自然性を得た。その後に、特異単体の評価写像の整数環単射を使って、同じ類についての和公式を任意の底へ移した。
等式の証明を移すことと、束の同型を移すことは異なる。評価先で類の差が零なら元の類の差も零であるが、評価先で束が同型になったという情報から元の束の同型を結論したわけではない。また、整数コホモロジーの単射を使ったため、実係数へ移すと消えてしまうかもしれない捩れ成分についても、和公式の差は整数のまま零と分かる。
計算しやすい底では射影束や分裂原理を使える。これに対して、元の底で計量や分類を仮定せずに類を構成したいときには、非零全空間上の商束が出発点になる。二つの構成を接続する際には、パラコンパクト Hausdorff という比較の範囲と、$\mathcal O(1)$ と $\gamma$ の符号を保持する。
関連項目
- 前提: 複素ベクトル束, Euler類, Thom同型, カップ積
- 比較: Chern類, Chern類の構成(射影束), 分裂原理, CW近似
- 直後に読む: 第1Chern類, 古典群の分類空間のコホモロジー, ベクトル束の分類定理
参考文献
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