米田の補題
概要
米田の補題（Yoneda lemma）は、圏の対象が他の対象とのすべての射とその合成の仕方によって、同型を除いて完全に特徴づけられることを支える。集合が要素によって定まるという外延性を、一般化された要素である射へ置き換えた圏論的外延性の原理として読める。
動機
集合論の外延性公理は、集合がその要素によって完全に決まることを述べる。圏では一般の対象に内部の「要素」があるとは限らない。そこで対象 $A$ の一般化された要素として、あらゆる試験対象 $X$ から入る射 $X\to A$ を観察する。集合の圏では通常の要素 $a\in A$ は一元集合からの射 $1\to A$ と同じだが、全ての $X$ を試験対象にすることで、要素だけでなく対象が持つ構造まで観測できる。
この主張を、本記事では 圏論的外延性原理 と呼ぶ。全ての $X$ に対する $\operatorname{Hom}(X,A)$ と $\operatorname{Hom}(X,B)$ が、$X$ の射による前合成と両立して自然同型なら、$A$ と $B$ は同型である。逆向きは同型射との後合成から明らかだが、米田の内容はその逆も成り立つことにある。対象は、他の全対象からどう見えるかという射のプロフィールによって同型を除いて決まる。形式的には、表現可能関手が対象の同型を検出するという命題である。
完全な米田の補題はさらに強い。対象間の同型だけでなく、表現可能関手から任意の集合値関手への自然変換全体を、表現対象における一つの要素で分類する。本記事では計算が直接的な共変形 $\operatorname{Hom}(A,-)$ を主定理として述べる。上の「入る射」による外延性は、反対圏へ同じ定理を適用した反変形 $\operatorname{Hom}(-,A)$ から得られる。
対応の核心は恒等射 $1_A$ である。自然変換 $\alpha$ の全成分を知る代わりに $\alpha_A(1_A)$ だけを取り出す。任意の射 $f:A\to X$ は $1_A$ を $f$ で後合成したものなので、自然性により $\alpha_X(f)$ は $F(f)(\alpha_A(1_A))$ に強制される。自然性が局所的な一点のデータを全対象へ運ぶ。
要素 $x\in F(A)$ からは、各 $f:A\to X$ を $F(f)(x)\in F(X)$ へ送る自然変換が作れる。これは $x$ を $f$ に沿って運ぶ操作であり、関手性 $F(uf)=F(u)F(f)$ が自然性を保証する。逆に任意の自然変換は恒等射での値からこの形に戻る。
理解を三段階に分けるとよい。第一段階は圏論的外延性原理、すなわち「二対象の全Homプロフィールが自然に一致すれば対象は同型」という対象の同型判定である。第二段階は米田埋め込みの充満忠実性、すなわち「表現可能関手間の自然変換は、ただ一つの対象間の射から生じる」という射の復元である。第三段階が完全な米田の補題で、比較先を任意の関手 $F$ へ広げ、「自然変換は $F(A)$ の一要素で分類される」と述べる。
ここで全単射が対象 $A$ と関手 $F$ の両方について自然であることが重要である。各 $X$ でHom集合の濃度がたまたま等しいだけでは対象を復元できない。試験対象を射 $u:X'\to X$ で取り替えたとき、前合成による観測の変化と全単射が可換しなければならない。この強い両立性により、対象の同型や普遍性をHom関手の自然同型として判定できる。
定理
米田の補題（Yoneda lemma）: 局所小圏 $\mathcal C$、対象 $A\in\mathcal C$、関手 $F:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ に対し、
$$
\Phi:\operatorname{Nat}(h^A,F)\longrightarrow F(A),\qquad
\Phi(\alpha)=\alpha_A(1_A)
$$
は全単射であり、$A$ と $F$ について自然である（Mac98）。
証明
$x\in F(A)$ に対し、各対象 $X$ で $\alpha^x_X:\operatorname{Hom}(A,X)\to F(X)$ を $\alpha^x_X(f)=F(f)(x)$ と定める。射 $u:X\to Y$ について $F(u)(\alpha^x_X(f))=F(u)F(f)(x)=F(uf)(x)=\alpha^x_Y(uf)$ なので自然変換である。また $\Phi(\alpha^x)=F(1_A)(x)=x$。逆に自然変換 $\alpha$ と $x=\alpha_A(1_A)$ を取る。射 $f:A\to X$ に対する自然性の正方形へ $1_A$ を入れると $\alpha_X(f)=F(f)(\alpha_A(1_A))=\alpha^x_X(f)$。従って $\alpha=\alpha^x$ で二対応は逆。$A$ と $F$ に関する自然性は、前合成および自然変換との後合成について式を代入すれば確認できる。
帰結・補足
反対圏から関手圏への関手 $y:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to[\mathcal C,\mathbf{Set}]$、$A\mapsto h^A$ は充満忠実である。
対象 $A,B$ に対し充満忠実性は $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(B,A)\to\operatorname{Nat}(h^A,h^B)$ が全単射であること。これは主定理へ $F=h^B$ を代入して得られる米田対応そのものである。射は前合成による自然変換へ送られる。
同じ集合値関手 $F$ を二つの対象 $A,B$ が表現するなら $A\cong B$ であり、その同型は選んだ表現同型と両立して一意である。
自然同型 $h^A\cong F\cong h^B$ を合成して $h^A\cong h^B$ を得る。米田埋め込みの充満忠実性により、この自然同型とその逆は射 $B\to A$ と $A\to B$ に対応する。自然変換の合成が恒等なので対応する射の合成も恒等となり、両者は同型。
対象 $A,B$ について、全ての $X$ で $\operatorname{Hom}(X,A)$ と $\operatorname{Hom}(X,B)$ が $X$ に関して自然同型であることと、$A\cong B$ は同値である。双対に、$\operatorname{Hom}(A,X)$ と $\operatorname{Hom}(B,X)$ の自然同型からも $A\cong B$ が従う。この命題は圏論的外延性原理と解釈できる。
$f:A\to B$ が同型なら $h:X\to A$ を $fh:X\to B$ へ送る写像と、$f^{-1}$ との後合成が互いに逆な自然同型を与える。逆に自然同型 $\eta_X:\operatorname{Hom}(X,A)\to\operatorname{Hom}(X,B)$ を取り、$f=\eta_A(1_A):A\to B$ と置く。逆自然同型から $g:B\to A$ を同様に得る。自然性から $\eta_X(h)=fh$ であり、自然変換の合成が恒等であることを $1_A,1_B$ で評価すると $gf=1_A,fg=1_B$。従って $A\cong B$。
例による確認
$F=h^B=\operatorname{Hom}(B,-)$ と置くと、米田の補題は
$$
\operatorname{Nat}(h^A,h^B)\cong\operatorname{Hom}(B,A)
$$
を与える。射 $g:B\to A$ は各 $X$ で $f:A\to X$ を $fg:B\to X$ へ送る自然変換を定める。向きが $B\to A$ と反転するのは、表現対象側では前合成を用いるためである。この対応が米田埋め込みの充満忠実性になる。
群から台集合を取る関手 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は整数群 $\mathbb Z$ で表現される。準同型 $f:\mathbb Z\to G$ は $f(1)\in U(G)$ により一意に決まり、任意の $g\in G$ から $f(n)=g^n$ が得られる。従って $\operatorname{Hom}(\mathbb Z,-)\cong U$。米田対応で普遍要素は $1\in U(\mathbb Z)$ であり、生成元一つの自由群という性質を表す。
$A$ を環とし、$U$ を左 $A$ 加群の台集合関手とする。自由加群 $A$ から加群 $M$ への準同型は $1\in A$ の像 $m\in U(M)$ で一意に決まり、$a\mapsto am$ と書ける。したがって
$$
U\cong\operatorname{Hom}_A(A,-)
$$
である。米田の補題により、台集合関手から自分自身への自然変換は
$$
\operatorname{Nat}(U,U)
\cong\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}_A(A,-),U)
\cong U(A)=A
$$
と分類される。$a\in A$ に対応する自然変換は、各左 $A$ 加群 $M$ の台集合上で
$$
m\longmapsto am
$$
と作用する。$A$ 線形写像 $f\colon M\to N$ に対して $f(am)=af(m)$ なので、これは集合値関手の自然変換である。$A$ が非可換なら $m\mapsto am$ 自体は一般に $A$ 線形写像ではないが、ここで必要なのは $\mathbf{Set}$ における成分である。
一方、「各加群 $M$ から自然に一つの元を選ぶ」族は $\operatorname{Nat}(1,U)$ に対応し、零自己準同型との自然性から選べる元は常に $0$ だけである。これは $\operatorname{Nat}(U,U)$ とは別の問題である。
有限次元実ベクトル空間 $V$ と双対 $V^*$ は同じ次元なので、基底を選べば線形空間として同型にできる。しかし基底に依存しない自然な同型 $V\cong V^*$ は存在しない。まず、双対は反変関手なので、すべての線形写像を射とする圏上では恒等関手との自然変換は型が合わない。線形同型だけからなる亜群に制限し、$D(f)=(f^{-1})^*$ によって双対を共変に直しても、自然同型 $a\colon1\Rightarrow D$ は存在しない。一次元空間 $V=\mathbb R$ の自己同型 $f=2\,1_V$ に自然性を適用すると $\frac12a_V=2a_V$ となり、$a_V=0$ だからである。対象ごとの同型を並べても、自然性の可換条件がなければ米田の補題の入力にならない。
関連項目
参考文献
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