定積分と面積

$y=x^2$ と $x$ 軸、直線 $x=1$ で囲まれた部分の面積を求める。$0\le x\le1$ で $x^2\ge0$ なので、面積は定積分そのものである。$\left(\dfrac{x^3}3\right)'=x^2$ なので
$$ \int_0^1x^2\,dx=\Bigl[\frac{x^3}3\Bigr]_0^1=\frac13-0=\frac13 $$
である。1 辺 $1$ の正方形の面積 $1$ の $\dfrac13$ にあたる。

$\left(-\cos x\right)'=\sin x$ なので
$$ \int_0^{2\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{2\pi}=(-\cos2\pi)-(-\cos0)=-1+1=0 $$
である。しかし、図 1 のように $y=\sin x$ と $x$ 軸の間には、$x$ 軸の上に 1 つ、下に 1 つの部分があり、面積が $0$ であるはずがない。実際の面積の合計は $4$ である（ex-dia-sine で計算する）。

1. 線形性：$\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\Bigl[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\Bigr]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$ であり、$\displaystyle\int_0^1x\,dx-\int_0^1x^2\,dx=\frac12-\frac13=\frac16$ と一致する。
2. 区間の加法性：$\displaystyle\int_0^2x^2\,dx=\frac83$ であり、$\displaystyle\int_0^1x^2\,dx+\int_1^2x^2\,dx=\frac13+\Bigl(\frac83-\frac13\Bigr)=\frac83$ と一致する。

$y=x^2$ と $y=x+2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。
段 1（交点）。$x^2=x+2$ を解く。$x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0$ なので $x=-1,\ 2$ である。交点は $(-1,1)$、$(2,4)$ である。
段 2（上下）。$(x+2)-x^2=-(x+1)(x-2)$ である。$-1\le x\le2$ では $x+1\ge0$、$x-2\le0$ なので、$(x+1)(x-2)\le0$ であり、$(x+2)-x^2\ge0$ である。直線が上、放物線が下である。
段 3（積分）。thm-dia-between により
$$ S=\int_{-1}^2(x+2-x^2)\,dx=\Bigl[\frac{x^2}2+2x-\frac{x^3}3\Bigr]_{-1}^2 $$
である。$x=2$ での値は $2+4-\dfrac83=\dfrac{10}3$、$x=-1$ での値は $\dfrac12-2+\dfrac13=-\dfrac76$ なので
$$ S=\frac{10}3-\Bigl(-\frac76\Bigr)=\frac{20}6+\frac76=\frac{27}6=\frac92 $$
である。

ex-dia-parabola-line の図形を、$n$ 本の短冊で近似する。ここでは各短冊の中央の点 $x_k=-1+\Bigl(k-\dfrac12\Bigr)\dfrac3n$ で高さをとる（図 2 は $n=6$）。区分求積の和は、各小区間のどの点で高さをとっても、$n\to\infty$ で同じ定積分に近づく（区分求積と積分の定義）。短冊の面積の和は次のようになる。

$n$ を大きくすると $\dfrac92=4.5$ に近づく。たとえば $n=3$ では幅 $1$ の短冊 3 本で、中央の点は $x=-\dfrac12,\ \dfrac12,\ \dfrac32$、高さは $x+2-x^2$ に代入して $\dfrac54,\ \dfrac94,\ \dfrac54$ である。和は $\dfrac54+\dfrac94+\dfrac54=\dfrac{19}4=4.75$ である。

$y=x$ と $y=x^2$ と直線 $x=2$ で囲まれた部分（$0\le x\le2$）の面積 $S$ を求める。
段 1（交点と上下）。$x=x^2$ の解は $x=0,\ 1$ である。$x-x^2=x(1-x)$ は、$0\le x\le1$ で $0$ 以上、$1\le x\le2$ で $0$ 以下である。
段 2（区切って積分）。thm-dia-abs を $c_0=0$、$c_1=1$、$c_2=2$ で使う。
$$ \int_0^1(x-x^2)\,dx=\Bigl[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\Bigr]_0^1=\frac16,\qquad\int_1^2(x^2-x)\,dx=\Bigl(\frac83-2\Bigr)-\Bigl(\frac13-\frac12\Bigr)=\frac23+\frac16=\frac56 $$
なので、$S=\dfrac16+\dfrac56=1$ である。
段 3（区切らないと）。$\displaystyle\int_0^2(x-x^2)\,dx=2-\frac83=-\frac23$ である。負の値になるので、面積ではない。$-\dfrac23=\dfrac16-\dfrac56$ で、2 つの部分が打ち消し合っている（図 3）。

$y=\sin x$ と $y=\cos x$ で囲まれた部分のうち、$\dfrac\pi4\le x\le\dfrac{5\pi}4$ にあるものの面積 $S$ を求める。
段 1（交点）。$\sin x=\cos x$ となるのは $\tan x=1$ のときで、この範囲の端 $x=\dfrac\pi4$、$\dfrac{5\pi}4$ が交点である。途中の $x=\dfrac\pi2$ では $\sin\dfrac\pi2=1>0=\cos\dfrac\pi2$ なので、区間全体で $\sin x\ge\cos x$ である（rem-dia-crossing）。
段 2（積分）。$(-\cos x-\sin x)'=\sin x-\cos x$ なので
$$ S=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=\Bigl[-\cos x-\sin x\Bigr]_{\pi/4}^{5\pi/4} $$
である。$\cos\dfrac{5\pi}4=\sin\dfrac{5\pi}4=-\dfrac{\sqrt2}2$、$\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$ なので
$$ S=\Bigl(\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2\Bigr)-\Bigl(-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2\Bigr)=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2 $$
である。

ex-dia-sine-first の続きである。$\sin x$ は $0\le x\le\pi$ で $0$ 以上、$\pi\le x\le2\pi$ で $0$ 以下である。
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^\pi=1+1=2,\qquad\int_\pi^{2\pi}\sin x\,dx=\Bigl[-\cos x\Bigr]_\pi^{2\pi}=-1-1=-2 $$
なので、$S_+=2$、$S_-=2$ である。面積の合計は $S_++S_-=4$、定積分は $S_+-S_-=0$ である（図 1）。

1. $y=x^3-x$ と $x$ 軸（$-1\le x\le1$）。$x^3-x=x(x-1)(x+1)$ は $-1\le x\le0$ で $0$ 以上、$0\le x\le1$ で $0$ 以下である。$\displaystyle\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx=\Bigl[\frac{x^4}4-\frac{x^2}2\Bigr]_{-1}^0=0-\Bigl(\frac14-\frac12\Bigr)=\frac14$、$\displaystyle\int_0^1(x^3-x)\,dx=\frac14-\frac12=-\frac14$ である。面積は $\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$、定積分 $\displaystyle\int_{-1}^1(x^3-x)\,dx$ は $0$ である。$x^3-x$ は奇関数なので、定積分が $0$ になることは 対称性を用いた積分 の方法でも分かる。
2. $y=x^2-1$ と $x$ 軸（$0\le x\le2$）。$0\le x\le1$ で $x^2-1\le0$、$1\le x\le2$ で $x^2-1\ge0$ である。$\displaystyle\int_0^1(x^2-1)\,dx=\frac13-1=-\frac23$、$\displaystyle\int_1^2(x^2-1)\,dx=\Bigl(\frac83-2\Bigr)-\Bigl(\frac13-1\Bigr)=\frac43$ である。面積は $\dfrac23+\dfrac43=2$、定積分は $-\dfrac23+\dfrac43=\dfrac23$ である。

$x=y^2$ と $x=y+2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。
段 1（交点）。$y^2=y+2$ から $(y+1)(y-2)=0$、$y=-1,\ 2$ である。交点は $(1,-1)$、$(4,2)$ である。$-1\le y\le2$ では $(y+2)-y^2=-(y+1)(y-2)\ge0$ なので、直線 $x=y+2$ が右、放物線 $x=y^2$ が左にある。
段 2（$y$ で積分）。prop-dia-y により
$$ S=\int_{-1}^2(y+2-y^2)\,dy=\frac92 $$
である。計算は ex-dia-parabola-line の段 3 で $x$ を $y$ と読み替えたものと同じである。実際、この図形は ex-dia-parabola-line の図形を直線 $y=x$ で折り返したものである。
段 3（$x$ で積分すると）。縦に切ると、図形の上の境界は $0\le x\le4$ でずっと $y=\sqrt x$ だが、下の境界は $0\le x\le1$ では $y=-\sqrt x$、$1\le x\le4$ では $y=x-2$ と替わる（図 4 の右）。図 4 の右の A は $0\le x\le1$ の部分、B は $1\le x\le4$ の部分である。区間を $x=1$ で分けて、A と B のそれぞれに thm-dia-between を使うと
$$ \int_0^1\{\sqrt x-(-\sqrt x)\}\,dx=\Bigl[\frac43x^{3/2}\Bigr]_0^1=\frac43 $$
$$ \int_1^4\{\sqrt x-(x-2)\}\,dx=\Bigl[\frac23x^{3/2}-\frac{x^2}2+2x\Bigr]_1^4=\Bigl(\frac{16}3-8+8\Bigr)-\Bigl(\frac23-\frac12+2\Bigr)=\frac{16}3-\frac{13}6=\frac{19}6 $$
である。合計は $\dfrac43+\dfrac{19}6=\dfrac{8}6+\dfrac{19}6=\dfrac{27}6=\dfrac92$ で、段 2 と一致する。$y$ で積分すれば 1 回の積分で済んだ。

$y=x^3$ の $x=1$ での接線と、この曲線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。
段 1（接線）。$y'=3x^2$ なので $x=1$ での傾きは $3$ である。点 $(1,1)$ を通るので、接線は $y-1=3(x-1)$、つまり $y=3x-2$ である。
段 2（交点）。$x^3=3x-2$ を解く。$x^3-3x+2$ は $x=1$ で $0$ になるので $x-1$ で割り切れ、$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2)$ である。交点は $x=1$（接点）と $x=-2$ で、点 $(-2,-8)$ である。
段 3（上下）。$-2\le x\le1$ では $(x-1)^2\ge0$、$x+2\ge0$ なので $x^3-(3x-2)=(x-1)^2(x+2)\ge0$ である。曲線が上、接線が下である。
段 4（積分）。thm-dia-between により
$$ S=\int_{-2}^1(x^3-3x+2)\,dx=\Bigl[\frac{x^4}4-\frac{3x^2}2+2x\Bigr]_{-2}^1 $$
である。$x=1$ での値は $\dfrac14-\dfrac32+2=\dfrac34$、$x=-2$ での値は $4-6-4=-6$ なので、$S=\dfrac34+6=\dfrac{27}4$ である（図 5）。

$f(x)=\dfrac1{x^2}$ は $x\ne0$ で正の値をとる。$\left(-\dfrac1x\right)'=\dfrac1{x^2}$ なので、区間 $[-1,1]$ で機械的に原始関数の差を計算すると
$$ \Bigl[-\frac1x\Bigr]_{-1}^1=(-1)-(1)=-2 $$
となる。正の関数の「面積」が負になるのはおかしい。原因は、$f$ が $x=0$ で定義されず、$[-1,1]$ で連続でないことである。$f$ が区間全体で連続なら、$F(b)-F(a)$ で定積分を計算してよい（区分求積と積分の定義 の微分積分学の基本定理）。この例では $x=0$ で連続でないので、この定理が使えない。
実際の図形では、$0<\varepsilon<1$ として $\varepsilon\le x\le1$ の部分の面積は $\displaystyle\int_\varepsilon^1\frac{dx}{x^2}=\frac1\varepsilon-1$ で、$\varepsilon\to+0$ で限りなく大きくなる。$y$ 軸の近くでグラフが限りなく高くなるので、面積は有限の値にならない。

1. $y=\dfrac1{x^2}$ と $x$ 軸の間で $1\le x\le R$ の部分の面積は $\displaystyle\int_1^R\frac{dx}{x^2}=1-\frac1R$ である。$R\to\infty$ で $1$ に近づく。右に無限に続く図形でも、面積を $1$ と考えてよい。
2. $y=\dfrac1x$ で同じことをすると、$\displaystyle\int_1^R\frac{dx}x=\log R$ で、$R\to\infty$ で限りなく大きくなる。
   区間が有界でないときの面積は、このように $R\to\infty$ の極限で考える。これは 広義積分 の考え方である。