モノドロミー定理

同義語：一価性定理monodromy theorem

概要

前提知識: 解析接続, ホモトピー, 単連結空間

モノドロミー定理（monodromy theorem）は、正則関数を道に沿って解析接続した結果が、道を端点を止めて連続的に変形しても変わらないことを述べる定理である。一価性定理 とも呼ばれる。変形の途中のどの道に沿っても接続できることが仮定である。
円板の上の正則関数を、円板から円板へと道に沿って延ばしていくと、行き先での関数は道の取り方によって変わることがある。対数関数 $\operatorname{Log}z$ を原点のまわりに 1 周延ばすと、元の関数に $2\pi i$ を足したものになって戻ってくる（解析接続の例「対数を原点のまわりに 1 周接続する」）。モノドロミー定理によれば、このずれは道の「ホモトピー類」だけで決まる。とくに領域が単連結なら、どの 2 本の道も端点を止めて変形しあえるので、すべての道に沿って接続できる関数は、領域全体の上の 1 つの正則関数（一価の関数）にまとまる。名前の「モノドロミー」（単一の道筋）と「一価性」は、この帰結を指している。
この記事では、定理を証明したあと、閉じた道に沿った接続のずれ（モノドロミー）を調べ、単連結な領域での帰結として原始関数と対数の存在を導く。最後に、仮定を外すと結論が崩れる例を表にまとめる。

定義

$D(c,r):=\{z\mid|z-c|< r\}$ を開円板とする。道は連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ のことで、$\gamma(0)$ を始点、$\gamma(1)$ を終点という。
点 $p$ の近くで定義された 2 つの正則関数が、$p$ のある近傍の上で一致するとき、$p$ で 同じ芽をもつ という。開円板 $D$ とその上の正則関数 $f$ の組 $(f,D)$ を 関数要素 といい、$D$ の中心をその中心とする。

道に沿った解析接続

$\gamma$ を道、$(f,D)$ を中心 $\gamma(0)$ の関数要素とする。関数要素の族 $(f_t,D_t)_{t\in[0,1]}$ が次を満たすとき、$(f,D)$ の $\gamma$ に沿った 解析接続 という。

各 $t$ について $D_t$ は中心 $\gamma(t)$ の開円板である。
$f_0$ と $f$ は $\gamma(0)$ で同じ芽をもつ。
各 $t\in[0,1]$ について $\delta>0$ があり、$|s-t|<\delta$ ならば $D_s\cap D_t$ の上で $f_s=f_t$ である。
このとき $f_1$ の $\gamma(1)$ での芽を、$f$ を $\gamma$ に沿って接続した結果という。

これは解析接続の定義「関数要素と道に沿った解析接続」と同じ定義である。結果が族の選び方によらないこと（同じ記事の定理「道に沿った解析接続の一意性」）と、次の言い換え（同じ記事の補題「有限個の円板による言い換え」）を使う。
円板の鎖による言い換え。$f$ が $\gamma$ に沿って接続できることは、分点 $0=t_0< t_1<\dots< t_m=1$、開円板 $\Delta_1,\dots,\Delta_m$、正則関数 $\varphi_k\colon\Delta_k\to\mathbb{C}$ で

$\gamma([t_{k-1},t_k])\subset\Delta_k$（$1\le k\le m$）、
$\varphi_1$ と $f$ は $\gamma(0)$ で同じ芽をもつ、
$\Delta_k\cap\Delta_{k+1}$ の上で $\varphi_k=\varphi_{k+1}$（$1\le k\le m-1$）
を満たすもの（円板の鎖）があることと同値であり、このとき接続の結果は $\varphi_m$ の $\gamma(1)$ での芽である。
2 本の道 $\gamma_0,\gamma_1$ の始点どうし・終点どうしが等しいとき、連続写像 $H\colon[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{C}$ で $H(t,0)=\gamma_0(t)$、$H(t,1)=\gamma_1(t)$、$H(0,s)=\gamma_0(0)$、$H(1,s)=\gamma_0(1)$ を満たすものを、端点を止めたホモトピー という（ホモトピーの定義「部分集合を固定したホモトピー」で、固定する部分集合を $\{0,1\}$ にしたもの）。$\gamma_s:=H(\cdot,s)$ を途中の道という。

主定理

まず、接続できる道を少し動かしても、端点を止めておけば同じ円板の鎖で接続できることを示す。

近い道に沿った接続

$f$ が道 $\gamma$ に沿って接続できるとする。このとき $\varepsilon>0$ があり、$\sigma(0)=\gamma(0)$、$\sigma(1)=\gamma(1)$ で、すべての $t$ について $|\sigma(t)-\gamma(t)|<\varepsilon$ を満たす道 $\sigma$ に沿っても $f$ は接続でき、$\sigma$ に沿った結果は $\gamma$ に沿った結果に等しい。

円板の鎖をそのまま使う

$\gamma$ に沿った円板の鎖 $t_k$、$\Delta_k$、$\varphi_k$ をとる。各 $k$ についてコンパクト集合 $\gamma([t_{k-1},t_k])$ は開集合 $\Delta_k$ に含まれるので、$\Delta_k$ の補集合との距離 $\varepsilon_k$ は正である。$\varepsilon:=\min_k\varepsilon_k$ とおく。$\sigma$ が主張の条件を満たせば、$t\in[t_{k-1},t_k]$ について $\sigma(t)$ は $\gamma(t)$ から距離 $\varepsilon$ 未満なので $\Delta_k$ に属し、$\sigma([t_{k-1},t_k])\subset\Delta_k$ である。円板の鎖の残りの 2 条件は道の始点 $\sigma(0)=\gamma(0)$ にしかよらない。よって同じ $t_k$、$\Delta_k$、$\varphi_k$ が $\sigma$ に沿った円板の鎖になり、$\sigma$ に沿った結果は $\varphi_m$ の $\sigma(1)=\gamma(1)$ での芽、すなわち $\gamma$ に沿った結果である。$\square$

モノドロミー定理

$H$ を道 $\gamma_0$ と $\gamma_1$ の間の端点を止めたホモトピーとし、$a:=\gamma_0(0)$、$b:=\gamma_0(1)$ とおく。中心 $a$ の関数要素 $(f,D)$ が、すべての $s\in[0,1]$ について途中の道 $\gamma_s$ に沿って接続できるならば、$f$ を $\gamma_0$ に沿って接続した結果と $\gamma_1$ に沿って接続した結果は、$b$ での芽として等しい。

結果が s について局所的に一定であることを示す

$s\in[0,1]$ について、$f$ を $\gamma_s$ に沿って接続した結果（$b$ での芽）を $\Phi(s)$ と書く。仮定によりすべての $s$ で定まる。
$s$ を 1 つ固定し、$\gamma_s$ について lem-mdt-nearby の $\varepsilon$ をとる。$H$ はコンパクトな正方形の上で一様連続なので、$\eta>0$ があり、$|s'-s|<\eta$ ならすべての $t$ で $|H(t,s')-H(t,s)|<\varepsilon$ となる。$\gamma_{s'}$ の始点と終点は $a$ と $b$ で $\gamma_s$ と同じなので、補題により $\Phi(s')=\Phi(s)$ である。よって $\Phi$ は $[0,1]$ の上で局所的に一定である。
$S:=\{s\in[0,1]\mid\Phi(s)=\Phi(0)\}$ とおくと、局所的に一定であることから $S$ もその補集合も開集合である。$0\in S$ で $[0,1]$ は連結だから $S=[0,1]$、とくに $\Phi(1)=\Phi(0)$ である。$\square$

補題の証明から分かるように、1 本の途中の道 $\gamma_s$ に沿って接続できれば、$s$ に近い $s'$ についても $\gamma_{s'}$ に沿って接続できる。すなわち、接続できる $s$ の集合はつねに開集合である。仮定「すべての $s$ について接続できる」が必要なのは、この集合が閉集合とは限らないからであり、途中の道が関数を延ばせない点を通ると結論は崩れる（ex-mdt-counterexamples の 2 行目）。
この定理は被覆空間の定理「ホモトピーの持ち上げ」と同じ形をしている。芽の全体を、各点の上に芽が並んだ空間とみると、道に沿った接続は道をこの空間へ持ち上げることにあたり、モノドロミー定理は持ち上げの終点がホモトピーで変わらないことにあたる。

閉じた道とモノドロミー

以下、$W\subset\mathbb{C}$ を領域（連結な開集合）、$a\in W$ とし、中心 $a$ の関数要素 $(f,D)$ は、$a$ を始点とする $W$ の中のすべての道に沿って接続できるとする。始点と終点がともに $a$ の道（$a$ を基点とするループ）$\gamma$ について、$f$ を $\gamma$ に沿って接続した結果は $a$ での芽であり、これを $f^\gamma$ と書く。

ループに沿った接続

$W$ の中の $a$ を基点とする 2 つのループ $\gamma,\delta$ が、$W$ の中で端点を止めてホモトピックなら、$f^\gamma=f^\delta$ である。
$W$ の中で定値の道に端点を止めてホモトピックなループ $\gamma$ について、$f^\gamma=f$（$a$ での芽として）である。
ループ $\gamma$ のあとに $\delta$ をつないだループを $\gamma\cdot\delta$ と書くと、芽 $f^\gamma$（を代表する中心 $a$ の関数要素）も $a$ を始点とする $W$ の中のすべての道に沿って接続でき、$f^{\gamma\cdot\delta}=(f^\gamma)^\delta$ である。

1：ホモトピーの途中の道は $W$ の中の $a$ を始点とする道なので、仮定により接続できる。thm-mdt-main による。2：定値の道に沿った接続の結果は $f$ 自身なので、1 による。3：$\gamma\cdot\delta$ は $t\in[0,\frac12]$ で $\gamma(2t)$、$t\in[\frac12,1]$ で $\delta(2t-1)$ である。$a$ を始点とする道 $\sigma$ について $\gamma\cdot\sigma$ は $a$ を始点とする $W$ の中の道なので、$f$ はこれに沿って接続できる。その円板の鎖を分点 $\frac12$ を加えて前半と後半に分けると、前半は $f$ の $\gamma$ に沿った鎖なので、後半の最初の円板の関数の $a$ での芽は $f^\gamma$ である。よって後半は $f^\gamma$ の $\sigma$ に沿った円板の鎖になる。よって $f^\gamma$ は $\sigma$ に沿って接続でき、$\sigma=\delta$ とすれば結果は $f^{\gamma\cdot\delta}$ である。$\square$

1 と 3 により、$f$ から $W$ の中のループに沿った接続で得られる $a$ での芽の集合 $\mathcal{F}$ の上で、基本群 $\pi_1(W,a)$ の元 $[\gamma]$ は $g\mapsto g^\gamma$ という置換として働く（基本群）。この置換の全体を $f$ の モノドロミー群 という。$f$ が $W$ 全体の正則関数 $F$ に延びることは、モノドロミー群が自明であること（すべてのループ $\gamma$ で $f^\gamma=f$）と同値である。延びれば $F$ の制限がどのループに沿っても接続を与えるので $f^\gamma=f$ であり、逆に自明なら、$a$ から $z$ への 2 本の道 $\gamma,\delta$ をとり、$f$ を $\gamma$ に沿って接続した結果を $g$ とする。$\gamma$ のあとに $\delta$ を逆向きにたどったループ $\lambda$ に沿った円板の鎖を分点 $\frac12$ で前半と後半に分けると（prf-mdt-loops の 3 と同じ議論）、後半は $g$ の $\delta$ の逆向きに沿った鎖で、その結果は $f^\lambda=f$ である。この後半の鎖の円板を逆の順にたどると、$f$ の $\delta$ に沿った鎖で結果が $g$ のものになる。よって 2 本の道に沿った結果は一致し、後の cor-mdt-simply-connected の証明と同じく道の終点での値で $F$ が定まる。

対数・平方根・冪のモノドロミー

$W=\mathbb{C}\setminus\{0\}$、$a=1$、$f=\operatorname{Log}$（主値）とし、$\gamma_n(t):=e^{2\pi int}$（$n\in\mathbb{Z}$）を原点のまわりを $n$ 回まわるループとする。

$\operatorname{Log}^{\gamma_1}=\operatorname{Log}+2\pi i$ である（解析接続の例「対数を原点のまわりに 1 周接続する」）。$\operatorname{Log}+c$（$c$ は定数）の接続は $\operatorname{Log}$ の接続に $c$ を足したものなので、$\gamma_n$ は $\gamma_1$ を $n$ 回つないだループと端点を止めてホモトピックであることと prop-mdt-loops の 1・3 から、$n\ge0$ で $\operatorname{Log}^{\gamma_n}=\operatorname{Log}+2\pi in$ である。$n< 0$ でも同様である。$\pi_1(W,1)$ は $[\gamma_1]$ で生成される無限巡回群で、モノドロミー群も無限巡回群である。
$\alpha\in\mathbb{C}$ について $z^\alpha:=e^{\alpha\operatorname{Log}z}$ とおく。$(f_t,D_t)$ が $\operatorname{Log}$ の接続なら $(e^{\alpha f_t},D_t)$ は $z^\alpha$ の接続なので、$(z^\alpha)^{\gamma_n}=e^{2\pi in\alpha}z^\alpha$ である。$\alpha=\frac12$ では $\gamma_1$ で符号が変わり、モノドロミー群は位数 $2$ である。$\alpha=p/q$（既約分数、$q\ge1$）なら位数 $q$ の巡回群、$\alpha$ が実数で無理数なら無限巡回群である。

単連結な領域での帰結

単連結な領域への延長

$W$ を単連結（単連結空間）な領域、$a\in W$、$(f,D)$ を中心 $a$ の関数要素で $D\subset W$ を満たすものとする。$f$ が $a$ を始点とする $W$ の中のすべての道に沿って接続できるならば、$W$ の上の正則関数 $F$ で $D$ の上で $F=f$ となるものがただ 1 つある。

道の終点での値で関数を定める

$z\in W$ について、$a$ から $z$ への $W$ の中の道 $\gamma$ をとり（領域は弧状連結）、$f$ を $\gamma$ に沿って接続した結果の芽の $z$ での値を $F(z)$ とする。$a$ から $z$ への 2 本の道は、$W$ が単連結なので、$W$ の中で端点を止めてホモトピックである（単連結空間の命題「道による特徴づけ」）。途中の道は $W$ の中の $a$ を始点とする道なので接続でき、thm-mdt-main により $F(z)$ は道によらない。
正則であること：$z$ と $\gamma$ に沿った円板の鎖の最後の $\Delta_m$、$\varphi_m$ をとり、$z$ を中心とし $\Delta_m\cap W$ に含まれる開円板 $E$ をとる。$z'\in E$ について、$\gamma$ のあとに線分 $[z,z']$ をつないだ道を考えると、同じ円板の鎖が（最後の区間の像が $\Delta_m$ に入るので）この道に沿った鎖にもなり、$F(z')=\varphi_m(z')$ である。よって $F$ は $E$ の上で正則である。
$z'\in D$ なら、線分 $[a,z']\subset D$ に沿って円板 $D$ 1 つ、関数 $f$ 1 つからなる鎖がとれるので、$F(z')=f(z')$ である。一意性は一致の定理の系「解析接続の一意性」による。$\square$

単連結な領域の上で正則関数が原始関数をもつことは、普通は Cauchy の積分定理から導く（Cauchyの積分定理の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」）。モノドロミー定理を使うと、円板の上の原始関数をつなぐだけで同じ結論が得られる。

原始関数と対数の存在

$W$ を単連結な領域、$g$ を $W$ の上の正則関数とする。

$g$ は $W$ の上に原始関数をもつ。とくに $W$ の中の区分的に滑らかな閉曲線 $\gamma$ について $\oint_\gamma g\,dz=0$ である。
$g$ が $W$ で $0$ にならなければ、$W$ の上の正則関数 $L$ で $e^L=g$ となるものがある。

円板の上の原始関数をつなぐ

1：開円板の上の正則関数は原始関数をもち（Cauchyの積分定理の命題「円板上の原始関数の存在」）、同じ円板の上の 2 つの原始関数の差は導関数が $0$ なので定数である（正則関数の命題「導関数が消える正則関数」）。$a\in W$、$D\subset W$ を中心 $a$ の開円板、$G_0$ を $D$ の上の $g$ の原始関数とする。
$a$ を始点とする $W$ の中の道 $\gamma$ をとる。$\gamma([0,1])$ はコンパクトなので、$\rho>0$ があってすべての $t$ で $D(\gamma(t),\rho)\subset W$ となる。$\gamma$ の一様連続性により分点 $0=t_0<\dots< t_m=1$ を、各区間で $\gamma$ の値の変化が $\rho$ 未満になるようにとり、$\Delta_k:=D(\gamma(t_{k-1}),\rho)$ とおくと $\gamma([t_{k-1},t_k])\subset\Delta_k$ である。$\Delta_k$ の上の $g$ の原始関数 $\varphi_k$ を順に選ぶ。$\Delta_1\cap D$ は空でない凸集合なので、定数を足して $\varphi_1=G_0$ をそこで成り立たせられる。$\Delta_k\cap\Delta_{k+1}$ は $\gamma(t_k)$ を含む空でない凸集合なので、定数を足して $\varphi_{k+1}=\varphi_k$ をそこで成り立たせられる。こうして円板の鎖が得られ、$G_0$ は $\gamma$ に沿って接続できる。
cor-mdt-simply-connected により、$W$ の上の正則関数 $G$ で $D$ の上で $G=G_0$ となるものがある。$G'$ と $g$ は $W$ の上の正則関数で $D$ の上で一致するので、一致の定理により $W$ 全体で $G'=g$ である。閉曲線に沿う積分は、原始関数の終点と始点での値の差なので $0$ である（Cauchyの積分定理の命題「複素線積分の基本性質」の 4）。
2：1 により $g'/g$ の原始関数 $L_0$ がある。$(ge^{-L_0})'=(g'-g\cdot g'/g)e^{-L_0}=0$ なので $ge^{-L_0}$ は $0$ でない定数 $e^{c}$ であり、$L:=L_0+c$ とおけば $e^L=g$ である。$\square$

Picard の定理の元の証明

Picard は、定数でない整関数がとらない値が高々 1 つであること（Picardの小定理）を、楕円モジュラー関数 $\lambda$（上半平面から $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ への関数で、局所的に逆関数をもつ）とモノドロミー定理で示した。$0$ と $1$ をとらない整関数 $f$ について、$\lambda$ の局所的な逆関数と $f$ の合成をすべての道に沿って接続できることを確かめ、$\mathbb{C}$ が単連結であることから cor-mdt-simply-connected で上半平面に値をとる整関数 $h$ を得る。$e^{ih}$ は有界なので Liouvilleの定理(複素解析) により定数で、$f=\lambda\circ h$ も定数になる。

反例：仮定を外した場合

以下、$\theta\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ を連続関数、$\theta(0)=0$ とし、単位円周の上の道 $\gamma(t)=e^{i\theta(t)}$ を考える。$D_t:=D(\gamma(t),1)$、$f_t(z):=\operatorname{Log}\bigl(ze^{-i\theta(t)}\bigr)+i\theta(t)$ とおくと、$(f_t,D_t)$ は $(\operatorname{Log},D(1,1))$ の $\gamma$ に沿った解析接続であり、結果は $\operatorname{Log}\bigl(ze^{-i\theta(1)}\bigr)+i\theta(1)$ の $\gamma(1)$ での芽である。確かめは解析接続の例「対数を原点のまわりに 1 周接続する」（$\theta(t)=2\pi t$ の場合）と同じで、$\theta$ が連続なので $s$ が $t$ に近ければ $|\theta(s)-\theta(t)|<\pi/3$（このとき $|\gamma(s)-\gamma(t)|<1$ で、$\gamma(s)\in D_s\cap D_t$）となることを使う。

外す条件	反例	成り立たなくなること
ホモトピーが端点を止める（thm-mdt-main）	$\gamma_s(t)=e^{2\pi i(1-s)t}$ と $\operatorname{Log}$	どの途中の道に沿っても接続できるが、$\gamma_0$ と $\gamma_1$ に沿った結果が違う
途中のすべての道に沿って接続できる（thm-mdt-main）	上半円と下半円をつなぐ線分のホモトピーと $\operatorname{Log}$	端点を止めてホモトピックな 2 本の道に沿った結果の $-1$ での値が $i\pi$ と $-i\pi$
領域が単連結（cor-mdt-simply-connected）	$W=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ と $(\operatorname{Log},D(1,1))$	すべての道に沿って接続できるが、$W$ 全体の正則関数に延びない
すべての道に沿って接続できる（cor-mdt-simply-connected）	$W=\mathbb{C}$ と $(\operatorname{Log},D(1,1))$	$W$ は単連結だが、$W$ 全体の正則関数に延びない

反例の確かめ

表の 4 行を確かめる。

4 行の確かめを開く

1 行目：$H(t,s):=e^{2\pi i(1-s)t}$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ の中の連続写像で、始点 $H(0,s)=1$ は止まっているが、終点 $H(1,s)=e^{2\pi i(1-s)}$ は動く。各 $\gamma_s$ は $\theta(t)=2\pi(1-s)t$ の道なので、表の上の式で接続できる。$\gamma_0$ は原点のまわりを 1 周するループで結果は $\operatorname{Log}+2\pi i$ の $1$ での芽、$\gamma_1$ は定値の道で結果は $\operatorname{Log}$ の芽であり、異なる。

2 行目：$\gamma_0(t):=e^{i\pi t}$、$\gamma_1(t):=e^{-i\pi t}$ は $1$ から $-1$ への道で、$H(t,s):=(1-s)\gamma_0(t)+s\gamma_1(t)$ は $\mathbb{C}$ の中の端点を止めたホモトピーである。$\theta(t)=\pm\pi t$ として表の上の式を使うと、結果は $\operatorname{Log}(ze^{\mp i\pi})\pm i\pi$ の $-1$ での芽で、$-1$ での値は $\pm i\pi$ である。途中の道 $\gamma_{1/2}$ は $t=\frac12$ で $\frac{i+(-i)}2=0$ を通る。$0$ を通る道 $\sigma$ に沿って $\operatorname{Log}$ を接続することはできない：接続 $(g_t,E_t)$ があったとすると、$E_t$ の上で $e^{g_t(z)}=z$ が成り立つ $t$ の集合は一致の定理により開かつ閉で $t=0$ を含むので $[0,1]$ 全体になり、$\sigma(t_0)=0$ となる $t_0$ で $e^{g_{t_0}(0)}=0$ となって矛盾する。

3 行目：$W$ の中の道 $\gamma$ について、$\rho>0$ を $D(\gamma(t),\rho)\subset W$ がすべての $t$ で成り立つようにとり、prf-mdt-primitive と同じく円板の鎖を作る。各円板の上では対数の分枝 $\psi$（$e^{\psi(z)}=z$）があり（Cauchyの積分定理の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」）、隣の円板の分枝との差は凸な共通部分の上で $2\pi i$ の整数倍の定数なので、定数を足してつなげる。よって $\operatorname{Log}$ はすべての道に沿って接続できる。$W$ の正則関数 $F$ に延びたとすると、単位円周を 1 周する道に沿って $F$ の制限が接続を与え、結果は $F=\operatorname{Log}$ の $1$ での芽になるが、接続の結果は族の選び方によらず $\operatorname{Log}+2\pi i$ の芽なので矛盾する。

4 行目：$\mathbb{C}$ の正則関数 $F$ で $D(1,1)$ の上で $F=\operatorname{Log}$ となるものがあったとすると、$e^{F(z)}=z$ が $D(1,1)$ で、したがって一致の定理により $\mathbb{C}$ 全体で成り立ち、$z=0$ で $e^{F(0)}=0$ となって矛盾する。2 行目のとおり、$0$ を通る道に沿っては接続できない。

1 行目は端点を止めることが、2 行目は途中のすべての道に沿って接続できることが、定理の結論に欠かせないことを示す。3 行目と 4 行目は、単連結な領域への延長に 2 つの仮定がどちらも必要であることを示す。

補足

別のモノドロミー定理

Hodge 理論や代数幾何では、固有で滑らかな多様体の族が退化するとき、退化する点のまわりの局所モノドロミー（ループに沿ってコホモロジーを平行移動する写像）の固有値がすべて 1 の冪根であるという定理も「モノドロミー定理」と呼ばれる（Gauss–Manin接続の定理「正則特異点とモノドロミー定理」）。この記事の定理とは別の主張であり、局所モノドロミーという考え方そのものは、この記事のループに沿った接続のずれ（prop-mdt-loops）を、関数の代わりに局所系の切断に当てたものである（局所系）。

出典

モノドロミー定理は Ahl66 Chapter 8 §1.5 Theorem 2（pp. 285–287）にあり、そこでは端点を止めたホモトピーの正方形を 2 等分していく議論で証明されている。LebGCCA26 §10.2 は、近い道に沿った接続（Proposition 10.2.4、p. 225）、端点を止めたホモトピーでの結果の不変性（Proposition 10.2.13、p. 228）、単連結な領域への延長（Theorem 10.2.14、pp. 228–229）を述べ、最後のものを Riemann の写像定理で凸な領域に帰着して示している。この記事の cor-mdt-simply-connected は単連結性の道による特徴づけから直接導き、prop-mdt-primitive と ex-mdt-log-power の証明はこの記事で与えた。