Steenrod代数

$\mathcal{A}_d$ は $|I|=d$ の正の整数の列 $I$ の $Sq^I$ で張られ、そのような列は有限個である。Adem関係式 の系「許容な合成への書き換え」の証明は、Adem 関係式で $Sq^{i_l}Sq^{i_{l+1}}$（$i_l<2i_{l+1}$）を書き換えると、どの項の列も辞書式順序で大きくなる（$j=0$ の項では $Sq^0=1$ を落とす）ことによる帰納法であり、関係式そのものしか使わない。$\mathcal{A}$ では Adem 関係式が等式として成り立つので、同じ議論で $Sq^I$ は $\mathcal{A}$ の中で $|J'|=d$ の許容な $Sq^{J'}$ の和に等しい。$\square$

全平方 $Sq=\sum_kSq^k$ は Cartan の公式により環準同型であり（Steenrod平方 の命題「Cartan の公式」）、Steenrod平方 の命題「1 次と 2 次の類の冪」の (1) と補題「2 の冪の二項係数」から $Sq(x_s^{2^e})=x_s^{2^e}(1+x_s)^{2^e}=x_s^{2^e}+x_s^{2^{e+1}}$ である。よって $Sq(m)=\prod_s\bigl(x_s^{2^{e_s}}+x_s^{2^{e_s+1}}\bigr)$ であり、これを展開して倍にする因子の集合 $S$ ごとに項を分けると、項の次数は $\deg m+\sum_{s\in S}2^{e_s}$ である。次数 $\deg m+k$ の部分が $Sq^k(m)$ である。$\square$

$\theta$ を斉次成分 $\theta_d\in T_d$ に分ける。$\theta(w_n)$ の次数 $n+d$ の成分は $\theta_d(w_n)$ なので、各 $\theta_d$ も $w_n$ の上で $0$ である。$n\ge d$ ととれば、$\theta_d$ の $\mathcal{A}_d$ での像は thm-sa-basis の 2 により $0$、すなわち $\theta_d\in J$ である。$\square$

$X=K(\mathbb{Z}/2,q)$、$x=\iota_q$ に安定性を使う。$\sigma$ は $Sq^I$ と可換なので$$\sigma\sum_Ia_I(q)Sq^I\iota_q=\varphi_{q+1}(\sigma\iota_q)=\sum_Ia_I(q+1)Sq^I(\sigma\iota_q)=\sigma\sum_Ia_I(q+1)Sq^I\iota_q$$であり、$\sigma$ は単射なので $\sum_I(a_I(q)+a_I(q+1))Sq^I\iota_q=0$、変数の 1 次独立性から $a_I(q)=a_I(q+1)$ である。$1\le q\le d$ と空でない $X$、$x\in H^q(X)$ については、$q+k>d$ となる $k$ をとると、$\sigma^k$ は $\varphi$ と $\theta$ の両方と可換なので $\sigma^k\varphi_q(x)=\varphi_{q+k}(\sigma^kx)=\theta(\sigma^kx)=\sigma^k\theta(x)$ であり、$\sigma^k$ は単射なので $\varphi_q(x)=\theta(x)$ である。$X$ が空なら両辺とも $0$ である。

$Sq^i$ も 1〜3 をみたす（Steenrod平方 の公理 3・5・6）。$i\ge1$ を固定し、$D_q:=P^i_q+Sq^i$（値ごとの和）とおくと、$D=(D_q)$ は次数 $i$ の安定な演算で、thm-sa-stable により、ある $\theta\in\mathcal{A}_i$ の作用に等しい。$n\ge i$ とすると、2 を繰り返し使って $P^i(w_n)=\sum_{j_1+\cdots+j_n=i}P^{j_1}(x_1)\cdots P^{j_n}(x_n)$ であり、$Sq^i(w_n)$ も同じ式で書ける。1 と 3 により $P^j(x_s)=Sq^j(x_s)$ なので $P^i(w_n)=Sq^i(w_n)$、すなわち $\theta(w_n)=0$ である。thm-sa-basis の 2 により $\theta=0$、よって $P^i_q=Sq^i$ である。$i=0$ では 1 による。$\square$

$\mathcal{A}$ は $Sq^k$ で生成されるので一意性は明らかである。$T$ は自由代数なので、$Sq^k$ を $\sum_{i+j=k}Sq^i\otimes Sq^j$ に送る代数準同型 $D\colon T\to\mathcal{A}\otimes\mathcal{A}$ がある（係数が $\mathbb{F}_2$ なので積の符号は現れない）。$\theta\in T$ について $D\theta=\sum\theta'\otimes\theta''$ と書いて $(\ast)$ を考える。生成元 $Sq^k$ では $(\ast)$ はクロス積の Cartan の公式（Steenrod平方 の命題「Cartan の公式」の直後の段落）である。$\theta,\phi$ で $(\ast)$ が成り立てば$$\theta\phi(u\times v)=\theta\Bigl(\sum\phi'(u)\times\phi''(v)\Bigr)=\sum\theta'\phi'(u)\times\theta''\phi''(v)$$であり、$D(\theta\phi)=D(\theta)D(\phi)$ なので $\theta\phi$ でも成り立つ。和についても成り立つので、$(\ast)$ はすべての $\theta\in T$ で成り立つ。

$\rho\in J$ を次数 $d$ の斉次元とし、$X=Y=P_d$、$u=v=w_d$ とする（$d\ge2$）。$\rho$ はすべての空間で $0$ として作用するので $0=\rho(u\times v)=\sum\rho'(w_d)\times\rho''(w_d)$ である。$D\rho$ の $\mathcal{A}_p\otimes\mathcal{A}_{d-p}$ 成分は、写像 $\theta'\otimes\theta''\mapsto\theta'(w_d)\times\theta''(w_d)$ で $H^{d+p}(P_d)\otimes H^{2d-p}(P_d)$ の像に移る。この写像は thm-sa-basis の 2 による単射 $\mathcal{A}_p\to H^{d+p}(P_d)$ と $\mathcal{A}_{d-p}\to H^{2d-p}(P_d)$ のテンソル積（体上なので単射）と、Künnethの公式 の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」の同型との合成なので単射であり、$p$ ごとに像の次数の組が異なる。よって $D\rho=0$ である。$D$ は代数準同型なので $J$ 全体を $0$ に送り、$\mathcal{A}$ 上の代数準同型 $\Delta$ を誘導する。

$(\Delta\otimes1)\Delta$ と $(1\otimes\Delta)\Delta$ はともに代数準同型で、$Sq^k$ をどちらも $\sum_{a+b+c=k}Sq^a\otimes Sq^b\otimes Sq^c$ に送るので等しい。2 つの因子の入れ替え $\tau$ は $\mathcal{A}\otimes\mathcal{A}$ の代数自己同型で、$\tau\Delta$ と $\Delta$ は $Sq^k$ で一致するので等しい。$(\varepsilon\otimes1)\Delta$ と $(1\otimes\varepsilon)\Delta$ も $Sq^k$ を $Sq^k$ に送る代数準同型なので恒等写像である。$\square$

$n$ についての帰納法による。$n=1$ は直前の式である。$P_n=P_{n-1}\times\mathbb{R}P^\infty$ で $w_n=w_{n-1}\times x$ なので、prop-sa-coproduct の $(\ast)$ から $\theta(w_n)=\sum\theta'(w_{n-1})\times\theta''(x)$ である。$\theta''(x)=\sum_k\xi_k(\theta'')x^{2^k}$ と帰納法の仮定から、$\prod_{s< n}x_s^{2^{a_s}}\times x^{2^{a_n}}$ の係数は $\sum(\xi_{a_1}\cdots\xi_{a_{n-1}})(\theta')\,\xi_{a_n}(\theta'')=(\xi_{a_1}\cdots\xi_{a_{n-1}}\xi_{a_n})(\theta)$ である（積の定義。クロス積は単項式を単項式に送る）。$f_R$ では $a_s=0$ の因子は $\xi_0=\varepsilon$ で単位なので $f_R=\prod_a\xi_a^{r_a}$ である。$\square$