Hamel基底

$L$ を含む線形独立な部分集合 $A\subset V$ の全体を $\mathcal{A}$ とし、包含で順序づける。$\mathcal{A}$ は $\mathcal{P}(V)$ から分出公理で作れる集合で、$L\in\mathcal{A}$ だから空でない。$\mathcal{C}\subset\mathcal{A}$ を鎖とし、$U:=L\cup\bigcup\mathcal{C}$ とおく。$U$ の有限個の相異なる元 $u_1,\ldots,u_k$ の 1 次関係 $\sum_i c_iu_i=0$ を考えると、各 $u_i$ はある $A_i\in\mathcal{C}$ か $L$ に属し、鎖なので有限個の $A_i$ の中に最大のもの $A$ がある（$\mathcal{C}=\emptyset$ なら $U=L$）。すべての $u_i$ が線形独立な $A$ または $L$ に入るので $c_i=0$ である。よって $U\in\mathcal{A}$ で、$U$ は $\mathcal{C}$ の上界である。Zornの補題（「定理」節）により極大元 $B\in\mathcal{A}$ がある。
$B$ が $V$ を生成することを示す。$x\in V$ が $B$ の 1 次結合で書けないとすると、$B\cup\{x\}$ は線形独立である。実際 $cx+\sum_ic_ib_i=0$ で $c\neq0$ なら $x=-c^{-1}\sum_ic_ib_i$ となって仮定に反し、$c=0$ なら $B$ の線形独立性から $c_i=0$ である。これは $B$ の極大性に反する。よって $B$ は Hamel 基底である。$\square$

$H$ が有限で $n$ 個の元からなるなら、座標を並べる写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{Q}^n$ が全単射になり、$\mathbb{R}$ が可算になって矛盾する（実数は非可算、実数）。よって $H$ は無限である。
各 $x\in\mathbb{R}$ を、座標が $0$ でない $H$ の元を選択公理で固定した $H$ の整列順序（整列可能定理）の順に並べた有限列 $\bigl((h_1,x_{h_1}),\ldots,(h_k,x_{h_k})\bigr)$ に対応させる。表示の一意性からこれは $\mathbb{R}$ から $\bigcup_{k\in\omega}(H\times\mathbb{Q})^k$ への単射である。$H$ は無限なので、基数の「性質」節の命題「無限基数の和と積」（選択公理）を繰り返し使うと $|(H\times\mathbb{Q})^k|=|H|$（$k\ge1$）、可算個の和も $|H|\cdot\aleph_0=|H|$ である。よって $|\mathbb{R}|\le|H|$。$H\subset\mathbb{R}$ だから $|H|\le|\mathbb{R}|$ で、基数の「性質」節の定理「Cantor–Bernstein の定理：単射の往復から全単射」により $|H|=|\mathbb{R}|$。$\square$

$f(0)=f(0+0)=2f(0)$ より $f(0)=0$、$0=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ より $f(-x)=-f(x)$ である。自然数 $n$ について $f(nx)=nf(x)$ は $n$ についての帰納法で従う。$m\ge1$ なら $mf(\frac{x}{m})=f(x)$ なので $f(\frac nmx)=nf(\frac xm)=\frac nmf(x)$ であり、負の有理数には $f(-x)=-f(x)$ を使う。$\square$

$f\le M$ が区間 $(a-r,a+r)$（$r>0$）で成り立つとする。$|t|< r$ なら $f(t)=f(a+t)-f(a)\le M-f(a)=:M'$ であり、$-t$ にも同じことを使うと $-f(t)=f(-t)\le M'$。よって $(-r,r)$ で $|f|\le M'$ である。
$x\in\mathbb{R}$ と自然数 $n\ge1$ をとり、$|x-q|< r/n$ を満たす有理数 $q$ をとる（有理数の稠密性）。$n(x-q)\in(-r,r)$ なので、prop-hamel-additive-rational から $|f(x-q)|=\frac1n|f(n(x-q))|\le\frac{M'}n$ である。$f(q)=cq$ だから
$$ |f(x)-cx|=|f(x-q)-c(x-q)|\le\frac{M'}{n}+\frac{|c|\,r}{n}. $$
$n$ は任意なので $f(x)=cx$。一点 $a$ で連続なら、$a$ の近くで $|f(x)-f(a)|<1$ となり上に有界である。$\square$

1。 $1$ を含む Hamel 基底 $H$ をとる。$\mathbb{R}\neq\mathbb{Q}$ なので $H$ には $1$ 以外の元 $b$ がある。$f(x):=x_b$（$x$ の $b$ 座標）とおくと、座標は $\mathbb{Q}$ 上線形なので $f$ は加法的である。$f(1)=0$、$f(b)=1$ だから、$f(x)=cx$ なら $c=f(1)=0$ となり $f(b)=1$ に反する。
2。 $c:=f(1)$ とし、$f(x_0)\neq cx_0$ となる $x_0$ をとる。$u:=(1,c)$、$v:=(x_0,f(x_0))$ は $\det\begin{pmatrix}1&x_0\\ c&f(x_0)\end{pmatrix}=f(x_0)-cx_0\neq0$ より $\mathbb{R}^2$ の基底である。有理数 $q,r$ について prop-hamel-additive-rational から $f(q+rx_0)=qc+rf(x_0)$ なので、$qu+rv$ はグラフ上の点である。任意の点 $p=su+tv$（$s,t\in\mathbb{R}$）に対し、$s,t$ に収束する有理数列 $q_n,r_n$ をとれば $q_nu+r_nv\to p$。よってグラフは稠密である。$\square$

すべての元のノルムが $1$ の Hamel 基底 $(e_i)_{i\in I}$ をとる（thm-hamel-existence の後の注意）。$E$ は無限次元なので $I$ は無限であり、選択公理により相異なる $i_1,i_2,\ldots\in I$ をとれる。$f(e_{i_n}):=n$、それ以外の基底の元では $f(e_i):=0$ と定め、$f(x):=\sum_ix_if(e_i)$（有限和）とおく。座標が線形なので $f$ は線形である。$y_n:=e_{i_n}/n$ は $\|y_n\|=1/n\to0$ だが $f(y_n)=1$ なので、$f$ は $0$ で連続でない。$\square$

開球 $\{y\mid\|y-a\|< r\}$（$r>0$）が $F$ に含まれるとすると、$a\in F$ なので平行移動して $\{y\mid\|y\|< r\}\subset F$ である。任意の $z\neq0$ について $\frac{r}{2\|z\|}z$ はこの球に入るので $F$ に属し、部分空間だから $z\in F$。よって $F=E$ となり矛盾する。$\square$

Hamel 基底が可算であると仮定する。無限次元なので有限ではなく、$e_1,e_2,\ldots$ と番号が付く。$F_n:=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_n\}$ とおくと、どの $x\in E$ も有限個の基底の元の 1 次結合なので $E=\bigcup_nF_n$ である。各 $F_n$ は有限次元部分空間なので閉集合で、$E$ は無限次元だから $F_n\neq E$ なので lem-hamel-proper-interior により内部が空である。ところが $E$ は空でない完備距離空間なので、Baireの範疇定理の「帰結」節の系「閉集合による可算被覆」により、ある $F_n$ の内部は空でない。これは矛盾である。$\square$

$\lambda$ を Lebesgue測度とする。$E_n:=\{x\mid|f(x)|\le n\}$ は可測で $\bigcup_nE_n=\mathbb{R}$ なので、可算劣加法性からある $n$ で $\lambda(E_n)>0$ である。区間と交わらせて $0<\lambda(E)<\infty$ となる可測集合 $E\subset E_n$ をとる。
$E-E$ は $0$ の近傍を含む。 Lebesgue測度の「可測集合と測度」節の命題「Lebesgue可測集合の特徴づけ」の 4 により、開集合 $U\supset E$ で $\lambda(U)<\frac43\lambda(E)$ となるものがある。$U$ は互いに素な可算個の開区間 $I_k$ の和なので $\sum_k\lambda(E\cap I_k)=\lambda(E)>\frac34\sum_k\lambda(I_k)$ であり、ある区間 $I$（長さ $\ell$）で $\lambda(A)>\frac34\ell$、$A:=E\cap I$ となる。$|t|<\ell/2$ とする。$A$ と $A+t$ はともに長さ $\ell+|t|<\frac32\ell$ の区間 $I\cup(I+t)$ に含まれ、平行移動で測度は変わらないので、もし交わらなければ $\frac32\ell>2\lambda(A)>\frac32\ell$ となり矛盾する。よって $a+t=a'$ となる $a,a'\in A$ があり、$t=a'-a\in E-E$ である。
結論。 $|t|<\ell/2$ なら $t=a'-a$（$a,a'\in E_n$）なので $|f(t)|=|f(a')-f(a)|\le2n$ である。thm-hamel-additive-regular により $f(x)=f(1)x$。$\square$