Fourier係数と最良近似

$u=(1,3)$ とし、原点を通り向きが $(1,1)$ の直線を考える。長さ $1$ の向きベクトル $e:=\frac1{\sqrt2}(1,1)$ を使うと、直線上の点は $te$（$t$ は実数）と書ける。$u$ と $te$ の距離の 2 乗を $t$ の 2 次関数として展開すると、$\langle u,e\rangle=\frac{1+3}{\sqrt2}=2\sqrt2$、$\langle e,e\rangle=1$、$\langle u,u\rangle=10$ なので
$$ \|u-te\|^2=\langle u,u\rangle-2t\langle u,e\rangle+t^2\langle e,e\rangle=t^2-4\sqrt2\,t+10=(t-2\sqrt2)^2+2 $$
である。よって距離がいちばん小さいのは $t=2\sqrt2=\langle u,e\rangle$ のときで、その点は $2\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}(1,1)=(2,2)$、距離の 2 乗は $2$ である。$u-(2,2)=(-1,1)$ と $e$ の内積は $\frac{-1+1}{\sqrt2}=0$ なので、確かに垂線の足になっている。直線上の別の点 $(3,3)$ までの距離の 2 乗は $2^2+0^2=4$ で、$2$ より大きい。

空間の点 $u=(1,2,3)$ と、原点を通る平面を考える。平面は長さ $1$ で直交する 2 つのベクトル $e_1:=(1,0,0)$、$e_2:=\frac15(0,3,4)$ の 1 次結合 $c_1e_1+c_2e_2$ の全体とする（$\langle e_1,e_2\rangle=0$、$\langle e_2,e_2\rangle=\frac{9+16}{25}=1$）。内積 $\langle u,e_1\rangle=1$、$\langle u,e_2\rangle=\frac{6+12}5=\frac{18}5$ を係数にした点
$$ Pu:=1\cdot e_1+\frac{18}5e_2=\Bigl(1,\frac{54}{25},\frac{72}{25}\Bigr) $$
をとると、$u-Pu=\bigl(0,-\frac4{25},\frac3{25}\bigr)$ であり、$\langle u-Pu,e_1\rangle=0$、$\langle u-Pu,e_2\rangle=\frac15\bigl(-\frac{12}{25}+\frac{12}{25}\bigr)=0$ となって、$u-Pu$ は平面に垂直である。$u$ から $Pu$ までの距離の 2 乗は $\frac{16+9}{625}=\frac1{25}$ である。

ex-fcb-space の $u=(1,2,3)$、$e_1=(1,0,0)$、$e_2=\frac15(0,3,4)$ で確かめる。

1. 成分は $1$ と $\frac{18}5$ なので、$\|Pu\|^2=1+\frac{324}{25}=\frac{349}{25}$ である。
2. $\|u\|^2=1+4+9=14=\frac{350}{25}$ であり、$\|u\|^2-\|Pu\|^2=\frac1{25}$ は ex-fcb-space で求めた $\|u-Pu\|^2$ に等しい。
3. Bessel の不等式は $\frac{349}{25}\le\frac{350}{25}$ である。
4. 係数を $c_1=1$、$c_2=3$ にずらすと、4 の式から $\|u-(e_1+3e_2)\|^2=\frac1{25}+\bigl(3-\frac{18}5\bigr)^2=\frac1{25}+\frac9{25}=\frac25$ であり、$\frac1{25}$ より大きい。直接計算しても $u-(e_1+3e_2)=\bigl(0,\frac15,\frac35\bigr)$ で、長さの 2 乗は $\frac{1+9}{25}=\frac25$ である。

$f(x)=x$ の Fourier 係数を求める。

1. $a_n$：$x\cos nx$ は奇関数と偶関数の積なので奇関数であり、$[-\pi,\pi]$ での積分は $0$ である。よって $a_n=0$（$n\ge0$）。
2. $b_n$：$x\sin nx$ は奇関数どうしの積なので偶関数であり、$\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx=2\int_0^\pi x\sin nx\,dx$ である。部分積分で
   $$ \int_0^\pi x\sin nx\,dx=\Bigl[-\frac{x\cos nx}n\Bigr]_0^\pi+\frac1n\int_0^\pi\cos nx\,dx=-\frac{\pi\cos n\pi}n+\frac1n\Bigl[\frac{\sin nx}n\Bigr]_0^\pi=\frac{(-1)^{n+1}\pi}n $$
   である（$\cos n\pi=(-1)^n$、$\sin n\pi=0$ を使った）。よって $b_n=\frac1\pi\cdot2\cdot\frac{(-1)^{n+1}\pi}n=\frac{2(-1)^{n+1}}n$ である。
3. 具体的には $b_1=2$、$b_2=-1$、$b_3=\frac23$、$b_4=-\frac12$ であり、
   $$ S_Nf(x)=2\Bigl(\sin x-\frac{\sin2x}2+\frac{\sin3x}3-\cdots+\frac{(-1)^{N+1}\sin Nx}N\Bigr) $$
   となる。たとえば $x=\frac\pi2$ では $S_1f=2$、$S_3f=2-\frac23=\frac43$、$S_{10}f=1.669\ldots$ であり、$\frac\pi2=1.5707\ldots$ の上下をゆれながら近づく。

$N=1$ で $\sin x$ の項だけを考え、「$c\sin x$ の形の関数のうち $x$ にいちばん近いもの」を、thm-fcb-projection を使わずに高校の方法で求める。
$$ \int_{-\pi}^{\pi}(x-c\sin x)^2dx=\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx-2c\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx+c^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx $$
である。$\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{2\pi^3}3$、ex-fcb-x から $\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=\pi b_1=2\pi$、$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx=\pi$ なので
$$ \int_{-\pi}^{\pi}(x-c\sin x)^2dx=\pi c^2-4\pi c+\frac{2\pi^3}3=\pi(c-2)^2+\frac{2\pi^3}3-4\pi $$
である。最小になるのは $c=2=b_1$ のときで、最小値は $\frac{2\pi^3}3-4\pi=8.104\ldots$ である（図 2）。cor-fcb-fourier の 1 で $N=1$ とした値 $\frac{2\pi^3}3-\pi b_1^2=\frac{2\pi^3}3-4\pi$ と一致する。高校の 2 次関数の最小値問題が、正射影を求めることになっている。

$f(x)=|x|$ は偶関数なので、$|x|\sin nx$ は奇関数で $b_n=0$ である。$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx=\frac2\pi\int_0^\pi x\,dx=\frac2\pi\cdot\frac{\pi^2}2=\pi$ である。$n\ge1$ では、部分積分で
$$ \int_0^\pi x\cos nx\,dx=\Bigl[\frac{x\sin nx}n\Bigr]_0^\pi-\frac1n\int_0^\pi\sin nx\,dx=0-\frac1n\Bigl[-\frac{\cos nx}n\Bigr]_0^\pi=\frac{(-1)^n-1}{n^2} $$
なので、$a_n=\frac2\pi\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}$ である。$n$ が偶数なら $a_n=0$、奇数なら $a_n=-\frac4{\pi n^2}$ である。たとえば $a_1=-\frac4\pi$、$a_3=-\frac4{9\pi}$ であり、
$$ S_1f(x)=\frac\pi2-\frac4\pi\cos x $$
が、定数と $\cos x$、$\sin x$ の 1 次結合のうち $|x|$ にいちばん近いものである。

区間 $[0,\pi]$ の内積 $\int_0^\pi f(x)g(x)\,dx$ で、$e_1:=\frac1{\sqrt\pi}$、$e_2:=\sqrt{\frac2\pi}\sin x$ を考える。

1. 満たす性質：$\langle e_1,e_1\rangle=\int_0^\pi\frac1\pi\,dx=1$、$\langle e_2,e_2\rangle=\frac2\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac2\pi\cdot\frac\pi2=1$ で、どちらも長さ $1$ である。
2. 満たさない性質：$\langle e_1,e_2\rangle=\frac{\sqrt2}\pi\int_0^\pi\sin x\,dx=\frac{2\sqrt2}\pi\ne0$ なので、正規直交系でない。
3. 崩れる主張：$f(x)=\sin x$ とすると、$f=\sqrt{\frac\pi2}\,e_2$ は $e_1,e_2$ の 1 次結合なので、いちばん近い 1 次結合は $f$ 自身（距離 $0$）である。ところが成分を並べた式は
   $$ \langle f,e_1\rangle e_1+\langle f,e_2\rangle e_2=\frac2\pi+\sin x $$
   となり（$\langle f,e_1\rangle=\frac2{\sqrt\pi}$、$\langle f,e_2\rangle=\sqrt{\frac\pi2}$）、$f$ との距離の 2 乗は $\int_0^\pi\frac4{\pi^2}\,dx=\frac4\pi>0$ である。thm-fcb-projection は正規直交系を仮定しており、それが崩れると「成分を並べると最良」が成り立たない。

$\mathbb{R}^2$ で $\langle a,b\rangle'':=a_1b_1-a_2b_2$ とする（積分で定める内積 の反例と同じもの）。$e=(1,0)$ は $\langle e,e\rangle''=1$ を満たす。$u=(0,1)$ について、Bessel の不等式に当たる $\langle u,e\rangle''^2\le\langle u,u\rangle''$ は $0\le-1$ となって成り立たない。prf-thm-fcb-projection の段 4 で使った $\|u-Pu\|^2\ge0$ が、この形式では成り立たないからである。