直辺四面体

方針：$\lvert\vec x-\vec y\rvert^2=\lvert\vec x\rvert^2-2\,\vec x\cdot\vec y+\lvert\vec y\rvert^2$ で 4 つの長さの 2 乗を展開すると、$\lvert\vec a\rvert^2$ などの項が打ち消し合い、内積の項だけが残る。
段 1（1 つ目の式）。展開すると
$$ S_2=\lvert\vec c-\vec a\rvert^2+\lvert\vec d-\vec b\rvert^2=\lvert\vec a\rvert^2+\lvert\vec b\rvert^2+\lvert\vec c\rvert^2+\lvert\vec d\rvert^2-2\,\vec a\cdot\vec c-2\,\vec b\cdot\vec d $$
$$ S_3=\lvert\vec d-\vec a\rvert^2+\lvert\vec c-\vec b\rvert^2=\lvert\vec a\rvert^2+\lvert\vec b\rvert^2+\lvert\vec c\rvert^2+\lvert\vec d\rvert^2-2\,\vec a\cdot\vec d-2\,\vec b\cdot\vec c $$
である。$S_3$ から $S_2$ を引くと、2 乗の項は消えて
$$ S_3-S_2=2\left(\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec d-\vec a\cdot\vec d-\vec b\cdot\vec c\right) $$
となる。一方、分配法則で展開すると
$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(\vec b-\vec a)\cdot(\vec d-\vec c)=\vec b\cdot\vec d-\vec b\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec d+\vec a\cdot\vec c $$
で、これは上の括弧と同じ 4 つの項である。よって $S_3-S_2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ である。
段 2（2 つ目の式）。段 1 の計算は、どんな 4 点でも成り立つ。頂点の名前 $B$ と $C$ を入れかえて段 1 を使うと、$S_1=AB^2+CD^2$ と $S_2=AC^2+BD^2$ が入れかわり、$S_3=AD^2+BC^2$ は変わらない。$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ は $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ に変わるので、$S_3-S_1=2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ である。
段 3（3 つ目の式）。段 1・段 2 から
$$ S_2-S_1=(S_3-S_1)-(S_3-S_2)=2\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right) $$
である。括弧の中を位置ベクトルで展開すると
$$ (\vec c-\vec a)\cdot(\vec d-\vec b)-(\vec b-\vec a)\cdot(\vec d-\vec c)=\vec c\cdot\vec d-\vec b\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec d+\vec a\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec d+\vec b\cdot\vec c+\vec a\cdot\vec d-\vec a\cdot\vec c $$
$$ =\vec c\cdot\vec d+\vec a\cdot\vec b-\vec b\cdot\vec d-\vec a\cdot\vec c=(\vec d-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC} $$
である。よって $S_2-S_1=2\,\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}$ である。
段 4（(i)〜(iii)）。垂直は内積が $0$ のことなので、3 つの式から (i) が出る。(ii)：たとえば $AB\perp CD$ かつ $AC\perp BD$ なら、(i) から $S_2=S_3$、$S_1=S_3$ で $S_1=S_2$ となり、$AD\perp BC$ である。ほかの組も同じである。(iii) は (i) から出る。$\square$

要点：2 本が点 $H$ で交われば、$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ と $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ を引いて $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ となる。逆に $AB\perp CD$ なら、$A$ を通り直線 $CD$ に垂直な平面 $\pi$ は $B$ も通り、2 本の高さの直線はどちらも $\overrightarrow{CD}$ に垂直なので $\pi$ に含まれる。2 本は平行でない（平行なら平面 $BCD$ と $ACD$ が一致してしまう）ので、$\pi$ の中で交わる。

方針：(i) から (ii) は prop-oct-pair からすぐ出る。(ii) から (i) は、外心を原点にとり、点 $\dfrac12(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)$ が 4 本の高さの直線の上にあることを確かめる。
段 1（(i) $\Rightarrow$ (ii)）。4 本が点 $H$ で交われば、どの 2 本も交わる。prop-oct-pair を頂点の組 $(A,B)$、$(A,C)$、$(A,D)$ に使うと、$AB\perp CD$、$AC\perp BD$、$AD\perp BC$ である。
段 2（原点のとり方）。四面体には外接球がただ 1 つある（四面体の外接球と内接球 の定理「外接球の存在と一意性」）。その中心 $O$ を原点にとると、外接球の半径を $R$ として
$$ \lvert\vec a\rvert^2=\lvert\vec b\rvert^2=\lvert\vec c\rvert^2=\lvert\vec d\rvert^2=R^2 $$
である。$\vec h=\dfrac12(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)$ を位置ベクトルとする点を $H$ とする。
段 3（$H$ は $A$ からの高さの直線の上）。$\vec h-\vec a=\dfrac12(\vec b+\vec c+\vec d-\vec a)$ である。平面 $BCD$ の 2 つの向き $\vec c-\vec b$、$\vec d-\vec c$ との内積を計算する。
$$ 2(\vec h-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)=(\vec c+\vec b)\cdot(\vec c-\vec b)+(\vec d-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)=\bigl(\lvert\vec c\rvert^2-\lvert\vec b\rvert^2\bigr)+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC} $$
で、段 2 から $\lvert\vec c\rvert^2-\lvert\vec b\rvert^2=0$、仮定 $AD\perp BC$ から $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ なので、$0$ である。同じく
$$ 2(\vec h-\vec a)\cdot(\vec d-\vec c)=(\vec d+\vec c)\cdot(\vec d-\vec c)+(\vec b-\vec a)\cdot(\vec d-\vec c)=\bigl(\lvert\vec d\rvert^2-\lvert\vec c\rvert^2\bigr)+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0 $$
である（$AB\perp CD$ を使った）。$\overrightarrow{AH}$ は平面 $BCD$ の平行でない 2 つの向きに垂直なので、平面 $BCD$ に垂直で、$H$ は $A$ からの高さの直線の上にある。
段 4（ほかの頂点）。$\vec h$ の式は 4 つの頂点について対称で、段 3 の計算は頂点の名前を付け替えても同じようにできる（使うのは $\lvert\vec a\rvert^2=\dots=\lvert\vec d\rvert^2$ と、3 組の垂直だけである）。よって $H$ は 4 本の高さの直線のすべての上にあり、4 本は $H$ で交わる。
段 5（$O$、$G$ との関係）。原点が $O$ なので $\overrightarrow{OG}=\dfrac14(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d)$、$\overrightarrow{OH}=\vec h=2\overrightarrow{OG}$ である。$\square$

要点：$\overrightarrow{AA'}$ は平面 $BCD$ に垂直なので、$\overrightarrow{BA'}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}$ である。よって「$A'$ が三角形 $BCD$ の $B$ からの垂線の上にある」ことは $AB\perp CD$ と同値で、$C$、$D$ からの垂線についても同じである。空間図形の計量 の三垂線の定理の証明と同じ考え方である。

要点：辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ の中点を結ぶ平行四辺形の 2 辺は $\dfrac12\overrightarrow{AC}$、$\dfrac12\overrightarrow{BD}$ で、2 本の対角線が $m_1$ と $m_3$ である。平行四辺形の 2 本の対角線の長さの 2 乗の差は、隣り合う 2 辺の内積の $4$ 倍なので、$m_1^{\,2}-m_3^{\,2}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ となる。