弱位相(関数解析)

1. 始位相の開集合は、有限個の $f_i^{-1}(O_i)$（$O_i\subset\mathbb R$ は開集合）の共通部分の和集合である（始位相 の命題「一般写像族が生成する始位相」）。$V(x_0;f_1,\dots,f_k;\varepsilon)$ は開区間 $(f_i(x_0)-\varepsilon,f_i(x_0)+\varepsilon)$ の $f_i$ による逆像の共通部分なので弱開集合であり、$x_0$ を含む。逆に $x_0\in W=\bigcap_{i=1}^kf_i^{-1}(O_i)$ とすると、各 $O_i$ は開集合で $f_i(x_0)\in O_i$ だから、$\varepsilon>0$ を小さく取って $(f_i(x_0)-\varepsilon,f_i(x_0)+\varepsilon)\subset O_i$（$1\le i\le k$）とできる。このとき $V(x_0;f_1,\dots,f_k;\varepsilon)\subset W$ である。$x_0$ を含む弱開集合はこのような $W$ を含むので、主張が従う。
2. $x_\alpha\rightharpoonup x$ なら、各 $f$ は弱連続なので $f(x_\alpha)\to f(x)$ である（ネット の命題「連続性のネットによる特徴づけ」）。逆に、すべての $f$ で $f(x_\alpha)\to f(x)$ と仮定し、$x$ の基本近傍 $V=V(x;f_1,\dots,f_k;\varepsilon)$ を一つ取る。各 $i$ について添字 $\alpha_i$ があり、$\alpha\ge\alpha_i$ なら $|f_i(x_\alpha)-f_i(x)|<\varepsilon$ である。添字集合は有向なので、$\alpha_1,\dots,\alpha_k$ のすべて以上の添字 $\alpha_0$ が取れる。$\alpha\ge\alpha_0$ なら $x_\alpha\in V$ である。1 によりこれで $x_\alpha\rightharpoonup x$ が示された。

$x\neq y$ とする。Hahn–Banach の定理（Hahn–Banachの定理）から、$x-y$ でノルムを実現する $f\in X^*$、すなわち $f(x)-f(y)=\|x-y\|\neq0$ となるものが存在する（連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」）。$\delta=|f(x)-f(y)|/2>0$ とおくと、$V(x;f;\delta)$ と $V(y;f;\delta)$ は弱開集合で、共通の点 $z$ があれば $|f(x)-f(y)|\le|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|<2\delta$ となって矛盾する。極限の一意性は ネット の命題「極限の一意性とHausdorff性」による。

1. $\ell\in X^*$ なら定義により弱連続である。逆に $\ell$ が弱連続なら、弱位相はノルムの位相より粗いので、ノルムの位相の開集合 $\ell^{-1}(O)$ を考えれば $\ell$ はノルムの位相でも連続であり、$\ell\in X^*$ となる。
2. 弱収束するネット $x_\alpha\rightharpoonup x$ を取る。各 $g\in Y^*$ について $g\circ T$ は $X$ 上の連続線形汎関数だから、prop-wtfa-basis の 2 により $g(Tx_\alpha)=(g\circ T)(x_\alpha)\to(g\circ T)(x)=g(Tx)$ である。同じ 2 を $Y$ に使うと $Tx_\alpha\rightharpoonup Tx$ となる。ネットの収束を保つ写像は連続である（ネット の命題「連続性のネットによる特徴づけ」）。

弱位相はノルムの位相より粗いので、ノルムの開集合が弱開集合であることを示せばよい。$X=\{0\}$ なら明らかなので、$n=\dim X\ge1$ とし、$\|e_i\|=1$ となる基底 $e_1,\dots,e_n$ を取る。$x=\sum_ic_i(x)e_i$ で定まる座標 $c_i$ は線形汎関数であり、有限次元ノルム空間上の線形汎関数はすべて連続だから $c_i\in X^*$ である（連続双対空間 の命題「有限次元では代数的双対と一致する」）。ノルムの開集合 $U$ と $x_0\in U$ を取り、$r>0$ を球 $\{\|x-x_0\|< r\}$ が $U$ に含まれるように選ぶ。$x\in V(x_0;c_1,\dots,c_n;r/n)$ なら
$$ \|x-x_0\|=\Bigl\|\sum_{i=1}^nc_i(x-x_0)e_i\Bigr\|\le\sum_{i=1}^n|c_i(x-x_0)|< n\cdot\frac rn=r $$
なので $V(x_0;c_1,\dots,c_n;r/n)\subset U$ である。よって $U$ は弱開集合である。

$y\in N$ なら $f_i((x_0+y)-x_0)=f_i(y)=0$ なので $x_0+y\in V$ である。$N=\{0\}$ と仮定すると、線形写像 $\Phi\colon X\to\mathbb R^k$、$\Phi(x)=(f_1(x),\dots,f_k(x))$ の核が $\{0\}$ だから $\Phi$ は単射で、$\dim X\le k$ となって無限次元という仮定に反する。$0\neq y\in N$ を取れば $x_0+ty\in V$（$t\in\mathbb R$）で $\|x_0+ty\|\to\infty$ である。空でない弱開集合は基本近傍を含むので有界でない。

まず $B$ は弱閉である。実際、双対ノルムによるノルムの復元 $\|x\|=\sup_{\|f\|\le1}|f(x)|$（連続双対空間 の系「双対ノルムによる元のノルムの復元」）により
$$ B=\bigcap_{\|f\|\le1}\{x\in X:|f(x)|\le1\} $$
であり、右辺の各集合は弱連続な $f$ による閉区間の逆像だからである。したがって $S$ の弱閉包は $B$ に含まれる。
逆に $\|x_0\|<1$ とし、$x_0$ の基本近傍 $V$ を取る。prop-wtfa-subspace の $0\ne y\in N$ について $g(t)=\|x_0+ty\|$ は $[0,\infty)$ 上の連続関数で、$g(0)<1$、$g(t)\to\infty$ $(t\to\infty)$ である。中間値の定理により $g(t_0)=1$ となる $t_0>0$ があり、$x_0+t_0y\in V\cap S$ である。よって $x_0$ は $S$ の弱閉包に属し、閉包は $B$ に等しい。
$0\in B\setminus S$ なので $S$ は弱閉でない。開単位球 $U$ が弱開なら補集合 $X\setminus U$ は弱閉で、$S=B\cap(X\setminus U)$ も弱閉になって矛盾する。

1. $|f(x_n)-f(x)|\le\|f\|\,\|x_n-x\|\to0$ である。
2. 有界性から示す。$J\colon X\to X^{**}$ を $J(x)(f)=f(x)$ で定まる評価写像とする。各 $J(x_n)$ は Banach 空間 $X^*$（連続双対空間 の定理「連続双対の完備性」）上の連続線形汎関数であり、各 $f\in X^*$ について実数列 $J(x_n)(f)=f(x_n)$ は収束するので有界である。一様有界性原理 を $X^*$ 上の汎関数の族 $\{J(x_n)\}$ に使うと $\sup_n\|J(x_n)\|<\infty$ が得られる。$\|J(x_n)\|=\|x_n\|$（連続双対空間 の定理「評価写像は等長埋め込み」）なので $(\|x_n\|)$ は有界である。$X$ 自身の完備性は使っていない。
   次に下からの評価を示す。$\|f\|\le1$ なら $|f(x_n)|\le\|x_n\|$ であり、左辺は $|f(x)|$ に収束するから $|f(x)|\le\liminf_n\|x_n\|$ である。$\|f\|\le1$ についての上限を取れば、ノルムの復元 $\|x\|=\sup_{\|f\|\le1}|f(x)|$ により $\|x\|\le\liminf_n\|x_n\|$ となる。
3. 2 の上界を $M=\sup_n\|x_n\|$ とすると
   $$ |f_n(x_n)-f(x)|\le|(f_n-f)(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|\le M\|f_n-f\|+|f(x_n)-f(x)| $$
   であり、右辺の両項は $0$ に近づく。

$f\in X^*$ について $\operatorname{Re}f$ は実線形で $|\operatorname{Re}f(x)|\le|f(x)|$ だから $(X_{\mathbb R})^*$ に属し、$\|\operatorname{Re}f\|\le\|f\|$ である。逆向きの評価のため、$x\in X$ に対し $|\theta|=1$ を $\theta f(x)=|f(x)|$ となるように選ぶと、$|f(x)|=f(\theta x)=\operatorname{Re}f(\theta x)\le\|\operatorname{Re}f\|\,\|x\|$ となる。よって等号が成り立つ。
$g\in(X_{\mathbb R})^*$ に対し $h(x)=g(x)-ig(ix)$ とおく。$h$ は実線形で、$h(ix)=g(ix)-ig(-x)=g(ix)+ig(x)=ih(x)$ なので複素線形であり、$|h(x)|\le\sqrt2\|g\|\,\|x\|$ から連続である。$\operatorname{Re}h=g$ である。また $f\in X^*$ について $\operatorname{Im}f(x)=-\operatorname{Re}(if(x))=-\operatorname{Re}f(ix)$ だから $f(x)=\operatorname{Re}f(x)-i\operatorname{Re}f(ix)$ であり、$f$ は $\operatorname{Re}f$ から復元される。以上で全単射が示された。
最後に、$X$ の弱位相では各 $\operatorname{Re}f$ が連続であり、$X_{\mathbb R}$ の弱位相では各 $f=\operatorname{Re}f-i\operatorname{Re}f(i\,\cdot)$ が連続である。二つの始位相はそれぞれ相手の観測量を連続にするので、最小性によって互いに他より粗く、一致する。