環付き空間

1 ならば 2：$\varphi^{-1}(\mathfrak{n})$ は $A$ のイデアルで、$1$ を含まず（$\varphi(1)=1\notin\mathfrak{n}$）、仮定により $\mathfrak{m}$ を含む。$\mathfrak{m}$ は極大イデアルなので $\varphi^{-1}(\mathfrak{n})=\mathfrak{m}$ である。2 ならば 1 は明らかである。1 と 3 の同値：局所環では単元でない元の全体が極大イデアルに一致するので、1 は「$a\in\mathfrak{m}$ ならば $\varphi(a)\in\mathfrak{n}$」、3 はその対偶「$\varphi(a)\notin\mathfrak{n}$ ならば $a\notin\mathfrak{m}$」である。

$s\in\mathcal{O}_X(U)$ と $s'\in\mathcal{O}_X(U')$ が $\mathfrak{p}$ で同じ芽をもつなら、$\mathfrak{p}$ のある開近傍で $s=s'$ なので $s(\mathfrak{p})=s'(\mathfrak{p})$ である。よって写像は芽の代表の取り方によらず定まり、各点ごとの演算で定義した環構造から環準同型である。
全射性：$A_{\mathfrak{p}}$ の任意の元は $a/g$（$a,g\in A$、$g\notin\mathfrak{p}$）と書ける。開集合 $D(g)\ni\mathfrak{p}$ 上で $\mathfrak{q}\mapsto a/g\in A_{\mathfrak{q}}$ と定めた写像 $s$ は $\mathcal{O}_X(D(g))$ の元であり、$s(\mathfrak{p})=a/g$ である。
単射性：$s\in\mathcal{O}_X(U)$、$t\in\mathcal{O}_X(U')$ が $s(\mathfrak{p})=t(\mathfrak{p})$ をみたすとする。定義により、$\mathfrak{p}$ の開近傍 $W\subset U\cap U'$ と $a,g,b,h\in A$ で、すべての $\mathfrak{q}\in W$ について $g,h\notin\mathfrak{q}$、$s(\mathfrak{q})=a/g$、$t(\mathfrak{q})=b/h$ となるものがある。$A_{\mathfrak{p}}$ で $a/g=b/h$ なので、局所化の定義により $c\in A\setminus\mathfrak{p}$ で $c(ah-bg)=0$ となるものがある。すると開集合 $W':=W\cap D(c)\ni\mathfrak{p}$ の各点 $\mathfrak{q}$ で $c\notin\mathfrak{q}$ なので、$A_{\mathfrak{q}}$ において $a/g=b/h$、すなわち $s(\mathfrak{q})=t(\mathfrak{q})$ である。よって $s|_{W'}=t|_{W'}$ となり、$s$ と $t$ は $\mathfrak{p}$ で同じ芽をもつ。

$P\colon U\mapsto\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{A}(U)}\mathcal{B}(U)$ を $\mathcal{B}$ 加群の前層とすると、$\mathcal{M}\otimes_{\mathcal{A}}\mathcal{B}=P^+$ であり、上に述べた層化の普遍性により $\operatorname{Hom}_{\mathcal{B}}(P^+,\mathcal{N})$ は $\mathcal{B}$ 線形な前層の射 $P\to\mathcal{N}$ の全体と一致する。それは、各 $U$ について $\mathcal{B}(U)$ 線形写像 $\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{A}(U)}\mathcal{B}(U)\to\mathcal{N}(U)$ を制限と両立するように与えることである。環上の加群の通常のテンソル積の普遍性により、$\mathcal{B}(U)$ 線形写像 $\mathcal{M}(U)\otimes_{\mathcal{A}(U)}\mathcal{B}(U)\to\mathcal{N}(U)$ は $\mathcal{A}(U)$ 線形写像 $\mathcal{M}(U)\to\mathcal{N}(U)$（$m$ を $m\otimes1$ の像に送る）と 1 対 1 に対応し、この対応は $U$ について自然なので、制限との両立は両側で同じ条件である。よって $\mathcal{B}$ 線形な前層の射 $P\to\mathcal{N}$ は $\mathcal{A}$ 線形な層の射 $\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ と 1 対 1 に対応する。

lem-ringed-space-scalar-extension を $\mathcal{A}=f^{-1}\mathcal{O}_Y$、$\mathcal{B}=\mathcal{O}_X$、$\mathcal{M}=f^{-1}\mathcal{G}$ に適用すると $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G},\mathcal{F})\cong\operatorname{Hom}_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})$ である。残るのは
$$ \operatorname{Hom}_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G},f_*\mathcal{F}) $$
である。層化の普遍性により、左辺は $f_p^{-1}\mathcal{O}_Y$ 線形な前層の射 $\Phi\colon f_p^{-1}\mathcal{G}\to\mathcal{F}$ の全体である。まず線形性を忘れて前層の射 $\Phi$ を調べる。帰納極限の普遍性により、$\Phi_U\colon\varinjlim_{V\supset f(U)}\mathcal{G}(V)\to\mathcal{F}(U)$ を与えることは、$f(U)\subset V$ なる各 $V$ について写像 $\Phi_{U,V}\colon\mathcal{G}(V)\to\mathcal{F}(U)$ を $V'\subset V$ の制限と両立するように与えることであり、$\Phi$ が前層の射であることは $U'\subset U$ について $\Phi_{U',V}=\mathrm{res}^{U}_{U'}\circ\Phi_{U,V}$ が成り立つことである。このような族 $(\Phi_{U,V})$ に対し $\psi_V:=\Phi_{f^{-1}(V),V}\colon\mathcal{G}(V)\to\mathcal{F}(f^{-1}(V))=(f_*\mathcal{F})(V)$ とおくと $\psi$ は前層の射 $\mathcal{G}\to f_*\mathcal{F}$ であり、逆に前層の射 $\psi\colon\mathcal{G}\to f_*\mathcal{F}$ に対し、$U\subset f^{-1}(V)$ に注意して $\Phi_{U,V}:=\mathrm{res}^{f^{-1}(V)}_U\circ\psi_V$ とおけば上の両立条件をみたす族が得られる。族 $(\Phi_{U,V})$ は $\Phi_{f^{-1}(V),V}$ の制限として復元されるので、2 つの構成は互いに逆である。これが随伴 $f^{-1}\dashv f_*$ の全単射である。
次に線形性を比べる。帰納極限の添字集合が有向集合なので、$f_p^{-1}\mathcal{O}_Y(U)$ と $f_p^{-1}\mathcal{G}(U)$ の元は共通の $V\supset f(U)$ 上の $a\in\mathcal{O}_Y(V)$、$s\in\mathcal{G}(V)$ の類 $[a]$、$[s]$ として表せる。$\Phi$ が $f_p^{-1}\mathcal{O}_Y$ 線形であるとは、$\Phi_U([a][s])=[a]\cdot\Phi_U([s])$、すなわち $f^\flat$ の定義により
$$ \Phi_{U,V}(as)=f^\sharp_V(a)|_U\cdot\Phi_{U,V}(s) $$
がすべての $U$、$V\supset f(U)$、$a$、$s$ について成り立つことである。$U=f^{-1}(V)$ ととればこれは $\psi_V(as)=f^\sharp_V(a)\,\psi_V(s)$ であり、逆にこの等式を $U$ に制限すれば一般の $U$ の等式が従う。そして $\psi_V(as)=f^\sharp_V(a)\psi_V(s)$ は、$f^\sharp$ で定めた $f_*\mathcal{F}$ の $\mathcal{O}_Y$ 加群構造に関して $\psi$ が $\mathcal{O}_Y$ 線形であることに他ならない。構成はすべて $\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ の射との合成と両立するので、この全単射は自然である。

$x\in f^{-1}(V)$ をとり、$c:=\varphi(f(x))\in k$ とおく。定数関数 $c$ は $\mathcal{O}_Y(V)$ の元なので $\varphi-c\in\mathcal{O}_Y(V)$ であり、その $f(x)$ における芽は値 $0$ をとるから $\mathfrak{m}_{f(x)}$ に属する。$f^\sharp_x$ が局所準同型なので $f^\sharp_x((\varphi-c)_{f(x)})\in\mathfrak{m}_x$、すなわち $f^\sharp_V(\varphi-c)$ は $x$ で値 $0$ をとる。$f^\sharp$ は $k$ 代数の射なので $f^\sharp_V(c)=c$ であり、$f^\sharp_V(\varphi)(x)=c=\varphi(f(x))$ を得る。$x$ は任意なので、関数として $f^\sharp_V(\varphi)=\varphi\circ f|_{f^{-1}(V)}$ である。後半は、$f^\sharp$ が $f$ から一意に定まること、および $\varphi\mapsto\varphi\circ f$ が条件のもとで $k$ 代数の層の射で局所的（$\varphi(f(x))=0$ なら $(\varphi\circ f)(x)=0$）であることから従う。

以下 $\Gamma(D(g),\mathcal{O})\cong A_g$、とくに $\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})\cong A$（$a\in A$ は切断 $\mathfrak{p}\mapsto a/1$ に対応する）と、prop-ringed-space-spec-stalk の同型 $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$（芽を点での値に送る）を用いる。
構成：$\varphi\colon A\to B$ に対し $f(\mathfrak{q}):=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ とおく。$\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ は素イデアルであり、$a\notin\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ と $\varphi(a)\notin\mathfrak{q}$ が同値なので $f^{-1}(D(a))=D(\varphi(a))$ となり、$f$ は連続である。$\mathfrak{q}\in\operatorname{Spec}B$、$\mathfrak{p}:=\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ に対し、$g\notin\mathfrak{p}$ なら $\varphi(g)\notin\mathfrak{q}$ なので、$\varphi_{\mathfrak{q}}\colon A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{q}}$、$a/g\mapsto\varphi(a)/\varphi(g)$ が定まる。$a\in\mathfrak{p}$ なら $\varphi(a)\in\mathfrak{q}$ なので $\varphi_{\mathfrak{q}}(\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}})\subset\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$、すなわち $\varphi_{\mathfrak{q}}$ は局所準同型である。開集合 $V\subset\operatorname{Spec}A$ と $s\in\mathcal{O}(V)$ に対し、$f^{-1}(V)$ 上の写像 $f^\sharp_V(s)\colon\mathfrak{q}\mapsto\varphi_{\mathfrak{q}}(s(f(\mathfrak{q})))\in B_{\mathfrak{q}}$ を考える。$s$ が $W\subset V$ 上で $a/g$ と書けていれば $f^\sharp_V(s)$ は $f^{-1}(W)$ 上で $\varphi(a)/\varphi(g)$ と書けるので、$f^\sharp_V(s)\in\mathcal{O}(f^{-1}(V))$ である。$f^\sharp$ は各点ごとの演算から環の層の射 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A}\to f_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}B}$ であり、その茎の写像 $f^\sharp_{\mathfrak{q}}$ は、芽を値に送る同型のもとで $s(\mathfrak{p})\mapsto\varphi_{\mathfrak{q}}(s(\mathfrak{p}))$、すなわち $\varphi_{\mathfrak{q}}$ である。よって $\operatorname{Spec}\varphi:=(f,f^\sharp)$ は局所射である。大域切断では、$a\in A$ に対応する切断 $\mathfrak{p}\mapsto a/1$ が $\mathfrak{q}\mapsto\varphi(a)/1$ に送られるので $f^\sharp_{\operatorname{Spec}A}=\varphi$ であり、$\varphi$ が $\operatorname{Spec}\varphi$ から復元されるので $\varphi\mapsto\operatorname{Spec}\varphi$ は単射である。
全射性：局所射 $(f,f^\sharp)\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ をとり、$\varphi:=f^\sharp_{\operatorname{Spec}A}\colon A\to B$ とおいて $(f,f^\sharp)=\operatorname{Spec}\varphi$ を示す。$\mathfrak{q}\in\operatorname{Spec}B$、$\mathfrak{p}:=f(\mathfrak{q})$ とする。大域切断 $a\in A$ の $\mathfrak{p}$ における芽は $a/1\in A_{\mathfrak{p}}$ に対応し、$f^\sharp_{\mathfrak{q}}$ はそれを $\varphi(a)$ の $\mathfrak{q}$ における芽 $\varphi(a)/1$ に送る。したがって $f^\sharp_{\mathfrak{q}}\colon A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{q}}$ と $\varphi$ は局所化の写像 $A\to A_{\mathfrak{p}}$、$B\to B_{\mathfrak{q}}$ を通して両立する。$f^\sharp_{\mathfrak{q}}$ は局所準同型なので lem-ringed-space-local-hom の 2 により $(f^\sharp_{\mathfrak{q}})^{-1}(\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}})=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ であり、素イデアルの局所化の性質から $A\to A_{\mathfrak{p}}$ による $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ の逆像は $\mathfrak{p}$、$B\to B_{\mathfrak{q}}$ による $\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ の逆像は $\mathfrak{q}$ である。両立性から $\varphi^{-1}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}=f(\mathfrak{q})$ となり、$f$ は $\operatorname{Spec}\varphi$ の連続写像に一致する。次に、$f^\sharp_{\mathfrak{q}}$ と $\varphi_{\mathfrak{q}}$ はともに $A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{q}}$ の環準同型で $A$ の像の上で一致し、$A_{\mathfrak{p}}$ の任意の元は $a/g=(a/1)(g/1)^{-1}$ と書けるので、$f^\sharp_{\mathfrak{q}}=\varphi_{\mathfrak{q}}$ である。最後に、$s\in\mathcal{O}(V)$ に対し $f^\sharp_V(s)$ と $(\operatorname{Spec}\varphi)^\sharp_V(s)$ はともに $f^{-1}(V)$ 上の切断で、各点 $\mathfrak{q}$ における芽がそれぞれ $f^\sharp_{\mathfrak{q}}(s_{\mathfrak{p}})$、$\varphi_{\mathfrak{q}}(s_{\mathfrak{p}})$ で一致する。層の切断は各点の芽で決まるので $f^\sharp=(\operatorname{Spec}\varphi)^\sharp$ である。