Cauchy積
概要
Cauchy積（Cauchy product）とは、2 つの級数 $\sum a_n$、$\sum b_n$ から $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$ を項とする級数 $\sum c_n$ を作る操作であり、冪級数の積で同じ次数の項をまとめたものにあたる。両方の級数が絶対収束すれば Cauchy 積は和の積に絶対収束し、一方だけが絶対収束しても和の積に収束する（Mertens の定理）。どちらも条件収束する場合は発散することがあるが、部分和の平均は常に和の積に収束し、Cauchy 積が収束すればその和は和の積に等しい（Abel による）。
2 つの級数 $\sum a_n$ と $\sum b_n$ の和は項ごとに足せばよいが、積を作るのは簡単でない。積を展開するとすべての組 $(i,j)$ についての $a_ib_j$ が現れ、これを 1 列に並べて足す方法が無数にあるからである。冪級数どうしを掛けて同じ次数の項をまとめる並べ方、すなわち $i+j=n$ となる項をまとめて $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$ とし、級数 $\sum c_n$ を作るのが Cauchy 積である。
Cauchy 積は多項式・冪級数の積の係数を与え、指数法則 $e^ze^w=e^{z+w}$ の級数による証明などに使われる。一方、収束する 2 つの級数の Cauchy 積は収束するとは限らない。両方が絶対収束すれば Cauchy 積は 2 つの和の積に絶対収束し（絶対収束 の記事の系「Cauchy積の和」）、一方だけが絶対収束しても積に収束する（Mertens の定理）。どちらも絶対収束しない場合でも、Cauchy 積の部分和の平均は常に積に収束し、とくに Cauchy 積が収束すればその和は 2 つの和の積に等しい（Abel による）。
定義
以下、級数の添字は $0$ から始め、項は実数または複素数とする。
2 つの数列 $(a_n)_{n\ge0}$、$(b_n)_{n\ge0}$ に対し
$$
c_n:=\sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i}=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0\qquad(n\ge0)
$$
とおく。級数 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n$ を、級数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ と $\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ の Cauchy 積（Cauchy product）という。数列 $(c_n)$ を $(a_n)$ と $(b_n)$ の畳み込みといい、$a*b$ と書く。
定義は収束を仮定しない。Cauchy 積は 2 つの数列から形式的に作られる級数であり、収束するかどうか、和が何になるかは別に調べる問題である。
この定義の由来は冪級数の積である。$\sum a_nz^n$ と $\sum b_nz^n$ を形式的に掛けて $z$ の同じ冪の項をまとめると
$$
(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots)(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)z+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)z^2+\cdots
$$
となり、$z^n$ の係数が $c_n$ である。$z=1$ とおいたものが Cauchy 積である（Rud76 Definition 3.48、p. 73）。多項式の積の係数も同じ式で与えられる（有限個を除いて $0$ の数列の畳み込み）。
直感
積 $a_ib_j$ を、$i$ を行、$j$ を列とする無限の表に並べると、Cauchy 積は表を左上から斜めの線 $i+j=n$ ごとに区切って足すことにあたる。
| $b_0$ | $b_1$ | $b_2$ | $b_3$ | |
|---|---|---|---|---|
| $a_0$ | $c_0$ | $c_1$ | $c_2$ | $c_3$ |
| $a_1$ | $c_1$ | $c_2$ | $c_3$ | |
| $a_2$ | $c_2$ | $c_3$ | ||
| $a_3$ | $c_3$ |
（各欄は、その欄の積 $a_ib_j$ がどの $c_n$ に入るかを表す。）一方、2 つの部分和の積 $A_NB_N=(a_0+\cdots+a_N)(b_0+\cdots+b_N)$ は表の左上の正方形の和である。Cauchy 積の部分和 $C_N=c_0+\cdots+c_N$ は左上の三角形の和で、正方形とは右下の三角形の分だけずれる。絶対収束していればこのずれは小さいが、条件収束する級数では、ずれの部分に大きな項が打ち消し合わずに残り、Cauchy 積が発散することもある。
代数的性質
数列 $a,b,d$ と数 $\lambda$ について次が成り立つ。$e:=(1,0,0,\dots)$ とする。
- $a*b=b*a$、$(a*b)*d=a*(b*d)$、$a*(b+\lambda d)=a*b+\lambda(a*d)$、$e*a=a$。
- 部分和を $A_N:=\sum_{n=0}^{N}a_n$、$B_N:=\sum_{n=0}^{N}b_n$、$C_N:=\sum_{n=0}^{N}c_n$（$c=a*b$）とすると
$$ C_N=\sum_{n=0}^{N}a_nB_{N-n}=\sum_{n=0}^{N}A_nb_{N-n},\qquad\sum_{m=0}^{N}C_m=\sum_{n=0}^{N}A_nB_{N-n}. $$
1：$(a*b)_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j$（$i,j\ge0$ の組全体にわたる和）と書けるので、交換法則は $i$ と $j$ の役の入れ替えから従う。$((a*b)*d)_n=\sum_{m+k=n}\sum_{i+j=m}a_ib_jd_k=\sum_{i+j+k=n}a_ib_jd_k$ であり、$(a*(b*d))_n$ も同じ和に等しい。線形性は定義から、$e*a=a$ は $(e*a)_n=e_0a_n=a_n$ から従う。
2：$C_N=\sum_{i+j\le N}a_ib_j$ である（$i,j\ge0$）。$i=n$ を固定して $j$ について先に足すと、$j$ は $0$ から $N-n$ まで動くので $\sum_{n=0}^{N}a_nB_{N-n}$ を得る。$j$ を固定して先に $i$ について足すと $\sum_{n=0}^{N}A_nb_{N-n}$ を得る。最後の式は、$C_m=\sum_{n=0}^{m}A_nb_{m-n}$ を $m=0,\dots,N$ で足して $n$ を固定すると $b_{m-n}$ の添字が $0$ から $N-n$ まで動くことから従う。$\square$
1 は、数列全体が畳み込みを積として単位元 $e$ をもつ可換環になることを述べている。これは形式的冪級数の環 $\mathbb{C}[\![z]\!]$ の積を係数の言葉で書いたものにほかならない。
収束と和
両方が絶対収束する場合
$\sum a_n=A$、$\sum b_n=B$ がともに絶対収束すれば、Cauchy 積は絶対収束して和は $AB$ である。これは 絶対収束 の記事の系「Cauchy積の和」で、表のすべての項を任意の順に並べた級数が $AB$ に絶対収束すること（同じ記事の定理「絶対収束する級数の積」）から導かれている。指数関数の指数法則はその代表的な応用である（同じ記事の例「指数法則」）。
Mertens の定理
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=A$、$\sum_{n=0}^{\infty}b_n=B$ がともに収束し、少なくとも一方が絶対収束するとする。このとき Cauchy 積 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n$ は収束し、和は $AB$ である。
prop-cprod-algebra の 1 により $a*b=b*a$ なので、$\sum a_n$ が絶対収束するとしてよい。$\alpha:=\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$、$\beta_k:=B_k-B$ とおくと $\beta_k\to0$ であり、$L:=\sup_k|\beta_k|$ は有限である。prop-cprod-algebra の 2 により
$$
C_N=\sum_{n=0}^{N}a_nB_{N-n}=\sum_{n=0}^{N}a_n(B+\beta_{N-n})=A_NB+\gamma_N,\qquad\gamma_N:=\sum_{n=0}^{N}a_n\beta_{N-n}
$$
である。$A_NB\to AB$ なので、$\gamma_N\to0$ を示せばよい。
$\varepsilon>0$ をとり、$k\ge K$ で $|\beta_k|\le\varepsilon$ となる $K$ をとる。$N\ge K$ のとき、$\gamma_N$ の和を $n\le N-K$（このとき $N-n\ge K$）と $n>N-K$ に分けると
$$
|\gamma_N|\le\varepsilon\sum_{n=0}^{N-K}|a_n|+L\sum_{n=N-K+1}^{N}|a_n|\le\varepsilon\alpha+L\sum_{n>N-K}|a_n|
$$
である。$K$ を固定したまま $N\to\infty$ とすると、右辺の第 2 項は収束する級数 $\sum|a_n|$ の残りなので $0$ に近づく。よって $\limsup_N|\gamma_N|\le\varepsilon\alpha$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $\gamma_N\to0$ である。$\square$
定理と証明は Rud76 Theorem 3.50（pp. 74–75）、Leb Theorem 2.6.5（pp. 104–106）にある。両方が絶対収束する場合と違い、Cauchy 積が絶対収束するとは限らない（下の反例の表の 2 行目）。
部分和の平均と Abel の定理
どちらの級数も絶対収束しない場合、Cauchy 積は発散しうる。それでも、Cauchy 積の部分和の平均（Cesàro 平均）は常に正しい値に収束する。
複素数列 $(A_k)$、$(B_k)$ がそれぞれ $A$、$B$ に収束するならば
$$
\frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N}A_kB_{N-k}\to AB\qquad(N\to\infty)
$$
である。
$A_k=A+\alpha_k$、$B_k=B+\beta_k$ とおくと $\alpha_k,\beta_k\to0$ で、$L:=\sup_k\max(|\alpha_k|,|\beta_k|)$ は有限である。
$$
\frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N}A_kB_{N-k}=AB+\frac{B}{N+1}\sum_{k=0}^{N}\alpha_k+\frac{A}{N+1}\sum_{k=0}^{N}\beta_{N-k}+\frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N}\alpha_k\beta_{N-k}
$$
である。第 2 項・第 3 項は $0$ に収束する列の平均なので $0$ に近づく（Abelの連続性定理 の記事の補題「収束する列の平均」）。第 4 項について、$\varepsilon>0$ をとり、$k\ge K$ で $|\alpha_k|,|\beta_k|\le\varepsilon$ となる $K$ をとる。$N\ge2K$ なら、各 $k$ について $k\ge K$ と $N-k\ge K$ の少なくとも一方が成り立つので $|\alpha_k\beta_{N-k}|\le L\varepsilon$ であり、第 4 項の絶対値は $L\varepsilon$ 以下である。$\varepsilon$ は任意なので第 4 項も $0$ に近づく。$\square$
$\sum a_n=A$、$\sum b_n=B$ がともに収束するならば、Cauchy 積の部分和 $C_N$ について
$$
\frac{C_0+C_1+\cdots+C_N}{N+1}\to AB\qquad(N\to\infty)
$$
である。すなわち Cauchy 積は Cesàro 総和可能で、Cesàro 和は $AB$ である。
prop-cprod-algebra の 2 により $\sum_{m=0}^{N}C_m=\sum_{k=0}^{N}A_kB_{N-k}$ である。$A_k\to A$、$B_k\to B$ なので、lem-cprod-mean により結論を得る。$\square$
$\sum a_n=A$、$\sum b_n=B$ がともに収束し、Cauchy 積 $\sum c_n$ も収束して和が $C$ ならば、$C=AB$ である。
$C_N\to C$ なので、Abelの連続性定理 の記事の補題「収束する列の平均」により $\frac{C_0+\cdots+C_N}{N+1}\to C$ である。一方 thm-cprod-cesaro によりこの平均は $AB$ に収束する。極限は一意なので $C=AB$ である。$\square$
定理は Rud76 Theorem 3.51（p. 75）にあり、証明は同書 p. 175 で Abel の連続性定理を使って与えられている。その証明は次のとおりである。$0\le x<1$ では $\sum a_nx^n$、$\sum b_nx^n$ が絶対収束するので、積は Cauchy 積 $\sum c_nx^n$ に等しい（冪級数 の記事の命題「冪級数の和・定数倍・積」）。3 つの級数は $x=1$ で収束するので、Abelの連続性定理 により $x\to1-0$ の極限をとると $AB=C$ を得る。上の証明は冪級数を使わず、部分和の平均だけで済ませたものである。
例
$|z|<1$ とし、$a_n=b_n=z^n$ とすると $c_n=\sum_{i=0}^{n}z^iz^{n-i}=(n+1)z^n$ である。$\sum z^n=\frac{1}{1-z}$ は絶対収束するので
$$
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n=\frac{1}{(1-z)^2}\qquad(|z|<1)
$$
である。$|z|\ge1$ では $\sum z^n$ も $\sum(n+1)z^n$ も、項が $0$ に近づかないので発散する。
$a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}$（和は $\log2$ で、条件収束する）、$b_n=2^{-n}$（和は $2$ で、絶対収束する）とする。Mertens の定理により、
$$
c_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i+1}\,2^{-(n-i)}
$$
を項とする Cauchy 積は $2\log2$ に収束する。最初の項は $c_0=1$、$c_1=\frac12-\frac12=0$、$c_2=\frac14-\frac14+\frac13=\frac13$ である。
$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{n+1}$ とする。どちらも絶対収束しないが、Cauchy 積は収束して和は $(\log2)^2$ である。
部分分数 $\frac{1}{(i+1)(n-i+1)}=\frac{1}{n+2}\Bigl(\frac{1}{i+1}+\frac{1}{n-i+1}\Bigr)$ を $i=0,\dots,n$ で足すと、$H_m:=1+\frac12+\cdots+\frac1m$ として
$$
c_n=(-1)^n\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{(i+1)(n-i+1)}=(-1)^n\,\frac{2H_{n+1}}{n+2}
$$
である。$d_n:=\frac{2H_{n+1}}{n+2}$ は単調減少する。実際 $d_{n+1}\le d_n$ は $(n+2)H_{n+2}\le(n+3)H_{n+1}$、すなわち $(n+2)H_{n+1}+1\le(n+3)H_{n+1}$、すなわち $1\le H_{n+1}$ と同値で、これは成り立つ。また $H_{n+1}\le1+\log(n+1)$（調和級数 の記事の命題「積分による上下の評価」）なので $d_n\to0$ である。級数 の記事の定理「Leibnizの判定法」により $\sum c_n$ は収束し、thm-cprod-abel により和は $(\log2)^2$ である。
この例は、Mertens の定理の「一方が絶対収束」という仮定が、Cauchy 積が収束するための必要条件ではないことを示す。
条件収束する級数どうしの Cauchy 積が発散する例は、絶対収束 の記事の例「反例：条件収束する級数どうしのCauchy積」にある。$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ とすると $|c_n|\ge1$ となり、Cauchy 積は発散する（Rud76 Example 3.49、pp. 73–74）。ex-cprod-log2-squared との違いは項の減り方にある。$\frac{1}{n+1}$ では斜めの線の上の $n+1$ 個の積の和が $0$ に近づくが、$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ では $1$ 以上にとどまる。
反例：条件を外すと崩れる例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Mertens の定理の「一方が絶対収束」 | $a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ | Cauchy 積が収束する |
| 「両方が絶対収束」（一方だけにする） | $a=(1,0,0,\dots)$、$b_n=\frac{(-1)^n}{n+1}$ | Cauchy 積が絶対収束する |
| thm-cprod-cesaro の「$\sum b_n$ の収束」（$\sum a_n$ は収束のまま） | $a=(1,0,0,\dots)$、$b_n=(-1)^n(n+1)$ | Cauchy 積の部分和の平均が収束する |
1 行目：絶対収束 の記事の例「反例：条件収束する級数どうしのCauchy積」による。$\sum a_n$、$\sum b_n$ は収束するが、どちらも絶対収束しない。
2 行目：$\sum a_n$ は絶対収束し、$\sum b_n$ は収束するが絶対収束しない（調和級数）。$a=e$ なので $c=e*b=b$ であり、Cauchy 積は $\sum b_n$ そのもので、収束するが絶対収束しない。Mertens の定理の結論は「収束」までであり、「絶対収束」には強められない。
3 行目：$\sum a_n=1$ は収束するが、$\sum b_n$ は項が $0$ に近づかないので収束しない。$a=e$ なので $c=e*b=b$、すなわち $c_n=(-1)^n(n+1)$ であり、部分和は $C_0,C_1,C_2,\dots=1,-1,2,-2,3,\dots$ である。$C_0+\cdots+C_{2m-1}=0$、$C_0+\cdots+C_{2m}=m+1$ なので、平均は $0$ と $\frac{m+1}{2m+1}\to\frac12$ の間を行き来し、収束しない。
補足
収束半径が $\rho$ 以上の 2 つの冪級数の積は、$|x-c|< \rho$ で Cauchy 積の冪級数に等しく、その収束半径も $\rho$ 以上である（冪級数 の記事の命題「冪級数の和・定数倍・積」）。収束半径はより大きくなることもある。$\sum x^n=\frac{1}{1-x}$ と $1-x$（有限個の項の冪級数）の Cauchy 積は $1$ であり、収束半径は $\infty$ になる。
Cauchy 積は添字の和 $i+j=n$ で項をまとめる。添字の積 $ij=n$ でまとめるとDirichlet積になり、Dirichlet 級数 $\sum a_nn^{-s}$ の積の係数を与える。どちらも「表の項をどう束ねるか」の選び方であり、絶対収束していれば束ね方によらず和は積に等しい。表の項を行ごと・列ごとに足す順序の交換は、二重級数の問題として扱われる。
関連項目
- 前提: 級数, 絶対収束, 冪級数
- 関連: Abelの連続性定理, 形式的冪級数, 畳み込み
- 比較: Dirichlet積, 二重級数
参考文献
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