Jungの定理

1. 1 辺 $2$ の正三角形の 3 頂点 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(1,\sqrt3)$。どの 2 頂点の距離も $2$ なので、直径は $d=2$ である。3 頂点を通る円（外接円）の中心は重心 $G\left(1,\dfrac{\sqrt3}3\right)$ で、半径は
   $$ GA=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt3}3\right)^2}=\sqrt{\frac43}=\frac2{\sqrt3}\approx1.155 $$
   である。直径 $2$ の円（半径 $1$）には収まらない。実際、後の prop-jung-sharp で、3 頂点を含む円の半径は $\dfrac2{\sqrt3}$ 以上であることを示す。
2. 1 辺 $2$ の正方形の 4 頂点 $(0,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$、$(0,2)$。最も遠い 2 点は対角線の両端で、直径は $d=2\sqrt2$ である。中心 $(1,1)$ から 4 頂点までの距離はどれも $\sqrt2$ なので、4 頂点は半径 $\sqrt2=\dfrac d2$ の円に収まる。
   半径を直径で割った比は、(1) では $\dfrac{2/\sqrt3}{2}=\dfrac1{\sqrt3}\approx0.577$、(2) では $\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac12$ である。

1. $S=\{A(0,0),\,B(6,0),\,C(2,4),\,D(3,2)\}$。6 組の距離の 2 乗は
   $$ AB^2=36,\quad AC^2=20,\quad AD^2=13,\quad BC^2=32,\quad BD^2=13,\quad CD^2=5 $$
   で、最大は $AB^2=36$ である。直径は $d=6$ である。
2. 13, 14, 15 の三角形の 3 頂点 $B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$。$AB=13$、$BC=14$、$CA=\sqrt{9^2+12^2}=15$ で、直径は $d=15$（最長の辺）である。3 点だけの集まりでは、直径は最長の辺の長さである。

$S=\{A(0,0),\,B(6,0),\,C(2,4),\,D(3,2)\}$（直径 $d=6$）。
(1) 出発点。中心 $(3,0)$ から 4 点までの距離の 2 乗は $A:9$、$B:9$、$C:1+16=17$、$D:4$ で、最大は $C$ の $17$ である。半径 $\sqrt{17}$ の円が $S$ を含み、$C$ だけが円周の上にある。
(2) 中心を $C$ に向かって動かす。$O(t)=(3,0)+t(-1,4)=(3-t,\,4t)$ とすると、$O(t)C^2=(1-t)^2+(4-4t)^2=17(1-t)^2$ である。ほかの点との差は
$$ O(t)A^2-O(t)C^2=(3-t)^2+16t^2-17(1-t)^2=28t-8, $$
$$ O(t)B^2-O(t)C^2=(t+3)^2+16t^2-17(1-t)^2=40t-8, $$
$$ O(t)D^2-O(t)C^2=t^2+(4t-2)^2-17(1-t)^2=18t-13 $$
で、どれも $t$ の 1 次式である。最初に $0$ になるのは $B$ の $t=\dfrac15$ で、中心 $O_1\left(\dfrac{14}5,\dfrac45\right)$、半径の 2 乗 $17\cdot\left(\dfrac45\right)^2=\dfrac{272}{25}$ の円の上に $B$ と $C$ がくる。
(3) 判定。円周の上は $B$、$C$ の 2 点だけで、$O_1$ は $BC$ の中点 $M(4,2)$ ではないので、中心を $M$ に近づける。$O(t)=O_1+t\left(\dfrac65,\dfrac65\right)$ とおき、$x$ 座標を $x(t)=\dfrac{14}5+\dfrac65t$ と書く。$A$ と $B$ は $x$ 軸の上にあり、$O(t)$ の $y$ 座標は共通なので
$$ O(t)A^2-O(t)B^2=x(t)^2-(x(t)-6)^2=12x(t)-36=\frac{12(6t-1)}5 $$
である。同じように $O(t)D^2-O(t)B^2=\dfrac{12t-47}5$ は $0\le t\le1$ で負のままである。$t=\dfrac16$ で $A$ が円周にくる。中心は $O_2=O_1+\dfrac16\left(\dfrac65,\dfrac65\right)=(3,1)$ で、
$$ O_2A^2=9+1=10,\quad O_2B^2=9+1=10,\quad O_2C^2=1+9=10,\quad O_2D^2=0+1=1 $$
である。
(4) 判定。三角形 $ABC$ の辺の 2 乗は $AB^2=36$、$BC^2=32$、$CA^2=20$ で、最長の辺 $AB$ について $BC^2+CA^2=52>36$ なので、最大の角 $\angle ACB$ は鋭角である（余弦定理（高校数学））。(b) の形の円 $\boxed{\text{中心 }(3,1)\text{、半径 }\sqrt{10}\approx3.16}$ が得られた。$\dfrac{\sqrt{10}}6\approx0.527<\dfrac1{\sqrt3}\approx0.577$ である。

1 辺 $w$ の正三角形 $ABC$ の各頂点を中心とする半径 $w$ の 3 つの円板の共通部分が、幅 $w$ の Reuleaux の三角形 $K$ である（定幅図形）。
(1) 直径は $w$ である。$K$ の 2 点 $X\ne Y$ をとり、$\vec u=\dfrac{\overrightarrow{XY}}{XY}$ とする。$K$ は向き $\vec u$ と $-\vec u$ の支持線の間の、間隔 $w$ の帯に入る（$K$ は定幅図形）ので、$\vec u\cdot\overrightarrow{XY}=XY$ は $w$ 以下である。頂点どうしの距離は $w$ なので、直径はちょうど $w$ である。
(2) 重心 $G$ を中心とする半径 $\dfrac w{\sqrt3}$ の円に収まる。弧 $BC$（中心 $A$）の上の点 $X$ について、$AX=w$、$AG=\dfrac w{\sqrt3}$ で、$\overrightarrow{AX}$ と $\overrightarrow{AG}$ のなす角 $\varphi$ は $\lvert\varphi\rvert\le30^\circ$ なので $\cos\varphi\ge\dfrac{\sqrt3}2$ である。余弦定理から
$$ GX^2=w^2+\frac{w^2}3-2\cdot w\cdot\frac w{\sqrt3}\cos\varphi\le w^2+\frac{w^2}3-2\cdot\frac{w^2}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{w^2}3 $$
である。ほかの 2 つの弧も同じなので、$K$ の周はすべてこの円の中にあり、周に囲まれた $K$ も円の中にある。$w=1$ のとき、弧の上の $GX$ は端で最大 $\dfrac1{\sqrt3}\approx0.577$、弧の中点で最小 $1-\dfrac1{\sqrt3}\approx0.423$ である。
(3) $K$ は 3 頂点 $A$、$B$、$C$ を含むので、prop-jung-sharp により $K$ を含む円の半径は $\dfrac w{\sqrt3}$ 以上である。(2) とあわせて、最小の円の半径は $\dfrac w{\sqrt3}$ で、比は $\dfrac1{\sqrt3}$ である。

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(1,1)$。$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-1)\cdot3+(-1)\cdot(-1)=-2<0$ なので $\angle C$ は鈍角である。
外接円の中心を $(x,y)$ とすると、$A$ と $B$ から等距離なので $x=2$、$A$ と $C$ から等距離なので $x^2+y^2=(x-1)^2+(y-1)^2$、つまり $x+y=1$ で $y=-1$ である。中心 $(2,-1)$、半径 $\sqrt{4+1}=\sqrt5\approx2.24$ である。
一方、$AB$ を直径とする円（中心 $(2,0)$、半径 $2$）は、$C$ までの距離が $\sqrt{1+1}=\sqrt2<2$ なので 3 点を含む。外接円より小さい円に収まる。lem-jung-shrink の (b) で「鋭角」を課すのは、このためである。直径は $d=AB=4$ で、比は $\dfrac24=\dfrac12$ である。

ex-jung-start (1) の 1 辺 $2$ の正三角形（$d=2$）。prop-jung-sharp により、3 頂点を含む円の半径は $\dfrac2{\sqrt3}\approx1.155$ 以上で、半径 $\dfrac d2=1$ の円には収まらない。prop-jung-trivial (2) の下からの見積もり $\dfrac d2$ は、点の集まりによっては足りない。

空間の 4 点 $P_1(1,1,1)$、$P_2(1,-1,-1)$、$P_3(-1,1,-1)$、$P_4(-1,-1,1)$ は、どの 2 点の距離も $\sqrt{0+4+4}=2\sqrt2$ で、1 辺 $d=2\sqrt2$ の正四面体の頂点である。原点からの距離はどれも $\sqrt3$ で、$\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3}+\overrightarrow{OP_4}=\vec 0$ である。
prf-jung-sharp と同じ計算で、中心 $X$ の球について $\displaystyle\sum_{i=1}^4XP_i^2=4\cdot3+4\,OX^2\ge12$ となる。4 点を含む球の半径 $r$ は $4r^2\ge12$、$r\ge\sqrt3$ を満たす。比は
$$ \frac{\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt6}4\approx0.612>\frac1{\sqrt3}\approx0.577 $$
で、空間では $\dfrac d{\sqrt3}$ の半径の球に収まらない点の集まりがある。thm-jung の「平面」は外せない。