六演算
概要
六演算（six operations）とは、層化された空間の間の射 $f\colon X\to Y$ に対して定まる6つの関手 $\{f^*,Rf_*,f_!,f^!,\otimes^{\mathbf L},R\mathcal{H}om\}$ の総称——逆像・順像・例外的順像・例外的逆像・導来テンソル積・導来内部Homのことをいう。$(f^*,Rf_*)$、$(f_!,f^!)$、$(\otimes^{\mathbf L},R\mathcal{H}om)$ がそれぞれ随伴対をなし、固有射で $f_!=Rf_*$ に一致するなど、互いに整合的な公理系（Grothendieckの六演算の形式主義）を満たす。Verdier双対性と組み合わさることで層係数コホモロジーの計算を統制する、現代の代数幾何・表現論・特異点論における中心的な道具である。
前提知識: 圏, アーベル圏, 三角圏, 導来圏, 偏屈層, 交叉コホモロジー, 米田の補題
定義
射 $f\colon X\to Y$（層化された空間の間の）に対し、偏屈層で用いた導来順像 $Rf_*\colon D^b_c(X)\to D^b_c(Y)$ に加え、逆像 $f^*\colon D^b_c(Y)\to D^b_c(X)$（完全関手であり導来する必要がない、標準的な事実として引用する）、および $D^b_c(X)$ 上の導来テンソル積 $-\otimes^{\mathbf L}-\colon D^b_c(X)\times D^b_c(X)\to D^b_c(X)$ とその内部Hom $R\mathcal{H}om(-,-)\colon D^b_c(X)^{\mathrm{op}}\times D^b_c(X)\to D^b_c(X)$ が定まる（構成の詳細は層理論の標準的な事実として本記事では立ち入らない）。$(f^*,Rf_*)$ は随伴対をなす：
$$
\operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(f^*G,F)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(Y)}(G,Rf_*F)
$$
（自然な同型、標準的な事実として引用する）。$(-\otimes^{\mathbf L}-,R\mathcal{H}om(-,-))$ もまた随伴対をなす：$\operatorname{Hom}(F\otimes^{\mathbf L}G,H)\cong\operatorname{Hom}(F,R\mathcal{H}om(G,H))$。
交叉コホモロジーで導入した開埋め込みの！拡張 $j_!$ を一般の射 $f\colon X\to Y$ に拡張したもの——例外的順像（exceptional pushforward、コンパクト台をもつ順像とも呼ばれる）$f_!\colon D^b_c(X)\to D^b_c(Y)$ が存在する（$f$ が固有射のときは $f_!=Rf_*$、$f$ が開埋め込みのときは！拡張そのものに一致する、標準的な事実として引用する）。$f_!$ の右随伴として例外的逆像（exceptional pullback）$f^!\colon D^b_c(Y)\to D^b_c(X)$ が定まる：
$$
\operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(f_!F,G)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(Y)}(F,f^!G)
$$
（$f_!$ が常に右随伴を持つことの構成は本記事の範囲を超えるため、標準的な事実として引用する）。これら $\{Rf_*,f^*,f_!,f^!,\otimes^{\mathbf L},R\mathcal{H}om\}$ の6つの関手の全体を、（Grothendieckの）六演算（six operations）と呼ぶ。
直感
六演算の枠組みは、「空間を動かす」演算（$f^*,Rf_*,f_!,f^!$）と「一つの空間の上で係数をいじる」演算（$\otimes^{\mathbf L},R\mathcal{H}om$）を統一的に扱う。$f^*$ と $Rf_*$ は素朴な引き戻し・押し出しであるのに対し、$f_!,f^!$ は「コンパクト台」を尊重する修正版であり、両者は $f$ が固有射（コンパクト台の条件が自動的に満たされる）のときにのみ一致する。この「二種類の順像・逆像」が生まれる理由は、$f^*\dashv Rf_*$ の随伴と $f_!\dashv f^!$ の随伴が独立した公理であり、一方を満たす関手が他方を自動的には満たさないためである。偏屈層・交叉コホモロジーで用いた $j_!,Rj_*$（開埋め込みの場合）は、この六演算の特別な場合に他ならない。
性質
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が2つの右随伴 $G,G'\colon\mathcal D\to\mathcal C$ を持つならば、$G$ と $G'$ は自然同型である。
仮定より、自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)$（$X,Y$ について自然）と $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G'Y)$ が存在する。これらを合成すると、各 $Y$ について自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G'Y)
$$
（$X$ について自然）が得られる。すなわち、$\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ の関手として $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,GY)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,G'Y)$ である。米田の補題（の全充満性）により、この自然同型は一意な同型 $\varphi_Y\colon GY\xrightarrow{\cong}G'Y$ から引き起こされたものである。もとの随伴同型の $Y$ に関する自然性から、$\varphi_Y$ 自身も $Y$ の射と両立する（$Y$ に関して自然である）ことが従う。ゆえに $\varphi\colon G\Rightarrow G'$ は自然同型である。$\blacksquare$
$j\colon U\hookrightarrow X$ が開埋め込みであるとき、$j^!\cong j^*$（例外的逆像は通常の逆像に一致する）である。
$j$ が開埋め込みのとき、$j_!$（！拡張）は $j^*$（制限）の左随伴であることが標準的な事実として知られている：$\operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(j_!F,G)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(U)}(F,j^*G)$。一方def-exceptional-operationsにより $j^!$ は $j_!$ の右随伴として定義される：$\operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(j_!F,G)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(U)}(F,j^!G)$。ゆえに $j^*$ と $j^!$ はいずれも $j_!$ の右随伴であり、lem-adjoint-uniquenessによりこれらは自然同型 $j^!\cong j^*$ である。$\blacksquare$
$a\colon X\to\{*\}$ を構造射とする。$\omega_X:=a^!(\mathbb Q)\in D^b_c(X)$ を $X$ の双対化複体（dualizing complex）と呼ぶ。$F\in D^b_c(X)$ に対し
$$
\mathbb D_X(F):=R\mathcal{H}om(F,\omega_X)
$$
を $F$ のVerdier双対（Verdier dual）と呼び、$\mathbb D_X\colon D^b_c(X)^{\mathrm{op}}\to D^b_c(X)$ をVerdier双対関手と呼ぶ。
$f\colon X\to Y$ を射とするとき
$$
\mathbb D_X\circ f^!\cong f^*\circ\mathbb D_Y,\qquad \mathbb D_Y\circ Rf_*\cong f_!\circ\mathbb D_X,\qquad \mathbb D_X\circ\mathbb D_X\cong\operatorname{id}
$$
が成り立つ（いずれも $D^b_c$ の対象として自然同型）。これらは偏屈層で述べた「Verdier双対が $\operatorname{Perv}(X)$ を保つ」という事実の一般化である。証明は本記事の範囲を大きく超えるため、標準的な事実として引用するSGA4、KS90。
例
$f$ が固有射であるとき $f_!=Rf_*$ である（def-exceptional-operationsの性質、標準的な事実として引用する）。とくに $f$ が閉埋め込みであるときも $f_!=Rf_*$ となり、交叉コホモロジーで扱った開埋め込みの場合（一般には $j_!\ne Rj_*$）と対照的である。
