六演算

射 $f\colon X\to Y$ に対し、順像 $f_*$（$X$ 上の層 $\mathcal F$ に対して $U\mapsto\mathcal F(f^{-1}(U))$ で定まる $Y$ 上の層）の右導来関手 $Rf_*\colon D^b(X)\to D^b(Y)$ を導来順像という。上の設定では $Rf_*$ は構成可能複体を構成可能複体に送り、$Rf_*\colon D^b_c(X)\to D^b_c(Y)$ を誘導する（KS90 第VIII章、BBD82）。これに加え、逆像 $f^*\colon D^b_c(Y)\to D^b_c(X)$（完全関手であり導来する必要がない、標準的な事実として引用する）、および $D^b_c(X)$ 上の導来テンソル積 $-\otimes^{\mathbf L}-\colon D^b_c(X)\times D^b_c(X)\to D^b_c(X)$ とその内部Hom $R\mathcal{H}om(-,-)\colon D^b_c(X)^{\mathrm{op}}\times D^b_c(X)\to D^b_c(X)$ が定まる（構成の詳細は層理論の標準的な事実として本記事では立ち入らない、KS90 第II章）。$(f^*,Rf_*)$ は随伴対をなす：
$$ \operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(f^*G,F)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(Y)}(G,Rf_*F) $$
（自然な同型、標準的な事実として引用する）。$(-\otimes^{\mathbf L}-,R\mathcal{H}om(-,-))$ もまた随伴対をなす：$\operatorname{Hom}(F\otimes^{\mathbf L}G,H)\cong\operatorname{Hom}(F,R\mathcal{H}om(G,H))$。

交叉コホモロジーで導入した開埋め込みの！拡張 $j_!$ を一般の射 $f\colon X\to Y$ に拡張したもの——例外的順像（exceptional pushforward、コンパクト台をもつ順像とも呼ばれる）$f_!\colon D^b_c(X)\to D^b_c(Y)$ が存在する（$f$ が固有射のときは $f_!=Rf_*$、$f$ が開埋め込みのときは！拡張そのものに一致する、標準的な事実として引用する、KS90 III.3）。$f_!$ の右随伴として例外的逆像（exceptional pullback）$f^!\colon D^b_c(Y)\to D^b_c(X)$ が定まる：
$$ \operatorname{Hom}_{D^b_c(X)}(f_!F,G)\cong\operatorname{Hom}_{D^b_c(Y)}(F,f^!G) $$
（$f_!$ が常に右随伴を持つことの構成は本記事の範囲を超えるため、標準的な事実として引用する、KS90 III.3）。これら $\{Rf_*,f^*,f_!,f^!,\otimes^{\mathbf L},R\mathcal{H}om\}$ の6つの関手の全体を、（Grothendieckの）六演算（six operations）と呼ぶ。

$a\colon X\to\{*\}$ を構造射とする。$\omega_X:=a^!(\mathbb Q)\in D^b_c(X)$ を $X$ の双対化複体（dualizing complex）と呼ぶ。$F\in D^b_c(X)$ に対し
$$ \mathbb D_X(F):=R\mathcal{H}om(F,\omega_X) $$
を $F$ のVerdier双対（Verdier dual）と呼び、$\mathbb D_X\colon D^b_c(X)^{\mathrm{op}}\to D^b_c(X)$ をVerdier双対関手と呼ぶ。