Bernoulli多項式

1．$\beta(t)e^{(x+y)t}=\bigl(\beta(t)e^{xt}\bigr)e^{yt}=\bigl(\sum_kB_k(x)\frac{t^k}{k!}\bigr)\bigl(\sum_jy^j\frac{t^j}{j!}\bigr)$ の $t^n$ の係数に $n!$ を掛ければよい。$x=0$ のとき $\beta(t)e^{0\cdot t}=\beta(t)$ なので $B_k(0)=B_k$ で、続く式は 1 の $x$ と $y$ を $0$ と $x$ にしたものである。$B_0=1$ なので最高次の係数は $1$ である。
2．$e^{xt}=\sum_jx^jt^j/j!$ を $x$ で係数ごとに微分すると $te^{xt}$ になるので、$\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\beta(t)e^{xt}\bigr)=t\,\beta(t)e^{xt}=\sum_{n\ge1}nB_{n-1}(x)\frac{t^n}{n!}$ である。係数を比べればよい。
3．$\beta(t)e^{(x+1)t}-\beta(t)e^{xt}=\beta(t)(e^t-1)e^{xt}=te^{xt}=\sum_{n\ge1}nx^{n-1}\frac{t^n}{n!}$ の係数を比べる。$x=0$ とすると $B_n(1)-B_n(0)=n\cdot0^{n-1}$（$0^0=1$）で、$n\ge2$ なら右辺は $0$ である。
4．2 により $B_{n+1}(x)/(n+1)$ は $B_n(x)$ の原始関数なので、$\int_0^1B_n=\frac{B_{n+1}(1)-B_{n+1}(0)}{n+1}$ で、$n+1\ge2$ だから 3 により $0$ である。
5．$\beta(-t)=\frac{-t}{e^{-t}-1}=\frac{te^t}{e^t-1}=\beta(t)e^t$ である（$\beta(t)e^t(e^{-t}-1)=-\beta(t)(e^t-1)=-t$ と $\beta(-t)(e^{-t}-1)=-t$ を比べて約す）。よって $\beta(t)e^{(1-x)t}=\beta(-t)e^{x(-t)}=\sum_nB_n(x)\frac{(-t)^n}{n!}$ で、係数を比べればよい。$\square$

$n$ についての帰納法による。$n=0$ では $P_0=1=B_0$ である。$n\ge1$ で $P_{n-1}=B_{n-1}$ とすると、prop-bp-basic の 2 から $(P_n-B_n)'=n(P_{n-1}-B_{n-1})=0$ なので、$P_n-B_n$ は定数 $c$ である。prop-bp-basic の 4 と仮定から $c=\int_0^1(P_n-B_n)=0$ である。$\square$

prop-bp-basic の 2 から左辺は $\frac{B_{n+1}(x+1)-B_{n+1}(x)}{n+1}$ で、3 により $x^n$ である。多項式 $P,\tilde P$ がともにこの式をみたせば、$Q:=P-\tilde P$ について $\int_x^{x+1}Q(t)\,dt=0$ がすべての $x$ で成り立つ。$x$ で微分すると $Q(x+1)-Q(x)=0$ で、多項式 $Q(x)-Q(0)$ はすべての整数を根にもつから $Q$ は定数であり、積分が $0$ なので $Q=0$ である。$\square$

prop-bp-basic の 3 を $n=m+1$、変数 $k+x$ で使うと $(k+x)^m=\frac{B_{m+1}(k+1+x)-B_{m+1}(k+x)}{m+1}$ である。$k=a,\dots,b-1$ について足すと、右辺は隣どうしが打ち消し合う。$\square$

1．$c_k^{(n)}:=\int_0^1B_n(x)e^{-2\pi ikx}\,dx$ とおく。$k=0$ なら prop-bp-basic の 4 により $c_0^{(n)}=0$ である。$k\ne0$ とする。$c_k^{(0)}=\int_0^1e^{-2\pi ikx}\,dx=0$ である。$n\ge1$ で部分積分すると、prop-bp-basic の 2 により
$$ c_k^{(n)}=\Bigl[\frac{B_n(x)e^{-2\pi ikx}}{-2\pi ik}\Bigr]_0^1+\frac{n}{2\pi ik}\int_0^1B_{n-1}(x)e^{-2\pi ikx}\,dx=-\frac{B_n(1)-B_n(0)}{2\pi ik}+\frac{n}{2\pi ik}c_k^{(n-1)} $$
である（$e^{-2\pi ik}=1$）。$n=1$ では $B_1(1)-B_1(0)=1$、$c_k^{(0)}=0$ なので $c_k^{(1)}=-\frac1{2\pi ik}$ である。$n\ge2$ では $B_n(1)=B_n(0)$ なので $c_k^{(n)}=\frac n{2\pi ik}c_k^{(n-1)}$ で、帰納法により $c_k^{(n)}=-\frac{n!}{(2\pi ik)^n}$ である。
2．$\widetilde B_n$ は周期 $1$ で、各区間 $[j,j+1]$ の上では多項式 $B_n(x-j)$ に一致する（端点の値を除く）ので、区分的に $C^1$ 級である。周期を $1$ に替えた形の Fourier級数 の系「区分的に $C^1$ 級の関数の各点収束」（同記事の注意「周期が $2\pi$ でない場合」）により、1 で求めた係数の Fourier 級数の対称な部分和は、各点 $x$ で $\frac12\bigl(\widetilde B_n(x+0)+\widetilde B_n(x-0)\bigr)$ に収束する。$\widetilde B_n$ が連続な点、すなわち $n\ge2$ ならすべての $x$、$n=1$ なら整数でない $x$ では、これは $\widetilde B_n(x)$ である。$n=1$ で $x$ が整数なら、値は $\frac12\bigl(B_1(0)+B_1(1)\bigr)=0$ である。$n\ge2$ なら $\sum_{k\ne0}\lvert k\rvert^{-n}<\infty$ なので絶対収束する。
3．2 の和で $k$ と $-k$ の項を組にする。$n=2m$ なら $\frac{e^{2\pi ikx}}{k^{2m}}+\frac{e^{-2\pi ikx}}{(-k)^{2m}}=\frac{2\cos2\pi kx}{k^{2m}}$、$(2\pi i)^{2m}=(-1)^m(2\pi)^{2m}$ である。$n=2m+1$ なら組は $\frac{2i\sin2\pi kx}{k^{2m+1}}$、$(2\pi i)^{2m+1}=(-1)^mi\,(2\pi)^{2m+1}$ である。$0\le x<1$ では $\widetilde B_n(x)=B_n(x)$ であり、$n\ge2$ なら $x=1$ でも両辺は連続で、$x=0$ の値と等しい。$\square$

1 は thm-bp-fourier の 3 で $x=0$ とすればよい。2 では $x=\frac12$ とし、$\cos\pi k=(-1)^k$ と
$$ \sum_{k\ge1}\frac{(-1)^k}{k^{2m}}=-\zeta(2m)+2\sum_{j\ge1}\frac1{(2j)^{2m}}=-\bigl(1-2^{1-2m}\bigr)\zeta(2m) $$
を 1 と比べる。3：$\bigl\lvert\sum_k\cos(2\pi kx)k^{-2m}\bigr\rvert\le\zeta(2m)$ と 1 から不等式が従う。等号が成り立てば、すべての $k$ で $\cos2\pi kx$ が同じ符号の $\pm1$ でなければならない。$\cos2\pi x=-1$ なら $\cos4\pi x=2\cos^22\pi x-1=1$ で符号がそろわないので、$\cos2\pi x=1$、すなわち $x=0,1$ である。4 も同様に $\lvert\sin\rvert\le1$ から従う。$\square$

1．まず $0,\frac12,1$ が零点であることを見る。Bernoulli数 の命題「漸化式・奇数番目・大きさ」の 2 により $B_{2m+1}(0)=B_{2m+1}=0$ で、prop-bp-basic の 3 により $B_{2m+1}(1)=B_{2m+1}(0)=0$ である。5 で $x=\frac12$ とすると $B_{2m+1}(\frac12)=-B_{2m+1}(\frac12)$ なので $B_{2m+1}(\frac12)=0$ である。
ほかに零点をもつ $m\ge1$ があったとし、そのうち最小の $m$ をとる。$B_{2m+1}(z)=0$、$z\in(0,1)$、$z\ne\frac12$ とすると、5 により $B_{2m+1}(1-z)=0$ で、$1-z\ne z$ である。よって $B_{2m+1}$ は $[0,1]$ に少なくとも 5 個の相異なる零点 $0< u_1<\frac12< u_2<1$（$\{u_1,u_2\}=\{z,1-z\}$）と $0,\frac12,1$ をもつ。Rolleの定理 を隣り合う零点の間に当てると、$B_{2m+1}'=(2m+1)B_{2m}$ は $(0,1)$ に 4 個の相異なる零点をもち、もう一度当てると $B_{2m}'=2mB_{2m-1}$ は $(0,1)$ に 3 個の相異なる零点をもつ。$m=1$ なら $B_1(x)=x-\frac12$ の零点は 1 個なので矛盾である。$m\ge2$ なら、$B_{2m-1}$ の $(0,1)$ の 3 個の零点のうち少なくとも 1 個は $\frac12$ でなく、$m-1\ge1$ についての主張に反し、$m$ の最小性に矛盾する。
2．$B_{2m}'=2mB_{2m-1}$ の $(0,1)$ の中の零点は、1（$m\ge2$）または $B_1(x)=x-\frac12$（$m=1$）により $\frac12$ だけである。よって $B_{2m}'$ は $(0,\frac12)$ と $(\frac12,1)$ のそれぞれで符号が一定で、$B_{2m}$ はそれぞれの閉区間で狭義単調である。$B_{2m}(0)=B_{2m}$ は $0$ でなく（Bernoulli数 の系「符号と大きさ」）、cor-bp-values の 2 により $B_{2m}(\frac12)=-(1-2^{1-2m})B_{2m}$ は $B_{2m}(0)$ と逆の符号をもつ。したがって $(0,\frac12)$ にちょうど 1 個の零点 $\alpha_m$ がある。5 により $B_{2m}(1-x)=B_{2m}(x)$ なので、$(\frac12,1)$ の零点はちょうど $1-\alpha_m$ である。$\frac12$ と端点は零点でない。$\square$