エタールコホモロジー

$k$ を分離閉体とすると、$\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{s}}/k)$ は自明な群なので、基礎的事項 基礎的な比較と計算 の 1 により、任意の層 $F$ について $i > 0$ で $H^i(\operatorname{Spec} k_{\mathrm{\acute{e}t}}, F) = 0$ である。

$k$ を代数閉体、$n$ を $k$ の標数で割り切れない整数、$X = \mathbb{G}_{m,k} = \operatorname{Spec} k[t, t^{-1}]$ とする。このとき $H^1(X, \mu_n) \cong \mathbb{Z}/n$ である。
実際、命題 Kummer列とArtin–Schreier列 の 1 の長完全列から
$$ 0 \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)^\times / n \to H^1(X, \mu_n) \to \mathrm{Pic}(X)[n] \to 0 $$
を得る。$k[t, t^{-1}]$ は一意分解整域なので $\mathrm{Pic}(X) = 0$ である。単元群は $k^\times \times t^{\mathbb{Z}}$ であり、$k$ は代数閉なので $k^\times$ は $n$ 倍で割り切れ、$\Gamma(X, \mathcal{O}_X)^\times / n \cong \mathbb{Z}/n$（$t$ の類が生成元）となる。$k = \mathbb{C}$ のとき、$\mu_n \cong \mathbb{Z}/n$ と合わせてこれは $H^1(\mathbb{C}^\times, \mathbb{Z}/n) \cong \mathbb{Z}/n$ と一致し、比較定理と整合する。
同じ計算で、アフィン直線 $X = \mathbb{A}^1_k$ については、単元群が $k^\times$ で $\mathrm{Pic}(X) = 0$ なので、$H^1(\mathbb{A}^1_k, \mu_n) = 0$ である。

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の種数 $g$ の滑らかで固有な連結曲線、$n$ を $k$ の標数で割り切れない整数とする。次の 2 つの事実を認める（本記事では証明しない。Mil80 第 III 章、Stacks）。

• (a) $q \ge 2$ で $H^q(X, \mathbb{G}_m) = 0$ である（Tsen の定理などによる）。
• (b) $\mathrm{Pic}^0(X)$ は $g$ 次元アーベル多様体（Jacobi 多様体）の $k$ 点の群であり、可除群で、$\mathrm{Pic}^0(X)[n] \cong (\mathbb{Z}/n)^{2g}$ である。
  このとき
  $$ H^i(X, \mu_n) \cong \begin{cases} \mu_n(k) \cong \mathbb{Z}/n & (i = 0) \\ (\mathbb{Z}/n)^{2g} & (i = 1) \\ \mathbb{Z}/n & (i = 2) \\ 0 & (i \ge 3) \end{cases} $$
  である。実際、Kummer 列の長完全列において、$\Gamma(X, \mathcal{O}_X)^\times = k^\times$ は $n$ 倍で割り切れるので、$H^1(X, \mu_n) \cong \mathrm{Pic}(X)[n]$ である。次数が $0$ でない可逆層は捩れ元でないので $\mathrm{Pic}(X)[n] = \mathrm{Pic}^0(X)[n]$ であり、(b) から $i = 1$ の値を得る。次に (a) から $H^2(X, \mathbb{G}_m)[n] = 0$ なので $H^2(X, \mu_n) \cong \mathrm{Pic}(X)/n$ であり、$\mathrm{Pic}^0(X)$ が可除なので、次数写像 $\mathrm{Pic}(X) \to \mathbb{Z}$（$k$ 有理点があるので全射）により $\mathrm{Pic}(X)/n \cong \mathbb{Z}/n$ となる。$i \ge 3$ では、完全列 $H^{i-1}(X, \mathbb{G}_m) \to H^i(X, \mu_n) \to H^i(X, \mathbb{G}_m)$ の両端が (a) により $0$ である。$k = \mathbb{C}$ のとき、これは種数 $g$ の閉 Riemann 面のコホモロジーと一致する。

既約な位相空間 $Y$ の上では、空でない開集合はすべて連結（実際には既約）なので、定数層 $A$ の空でない開集合 $V$ 上の切断は $A$ そのものであり、制限写像は恒等写像である。したがって定数層は脆弱層であり、正の次数の層コホモロジーは $0$ である。
とくに $X = \mathbb{G}_{m,\mathbb{C}}$ では $H^1(X_{\mathrm{Zar}}, \mathbb{Z}/n) = 0$ である。一方、例 乗法群の1次コホモロジー により $H^1(X_{\mathrm{\acute{e}t}}, \mathbb{Z}/n) \cong \mathbb{Z}/n \ne 0$ であり、これが複素位相の $H^1(\mathbb{C}^\times, \mathbb{Z}/n)$ と一致する。定義 小エタール景 の被覆をZariski開被覆に置き換えると、比較定理の結論が崩れる。

$k$ を標数 $p > 0$ の代数閉体、$X = \mathbb{A}^1_k = \operatorname{Spec} k[t]$ とする。命題 Kummer列とArtin–Schreier列 の 2 の長完全列と、基礎的事項 基礎的な比較と計算 の 2（$X$ はアフィンなので $H^1(X, \mathbb{G}_a) = 0$）から、
$$ H^1(X, \mathbb{Z}/p) \cong k[t] / \{\, f^p - f \mid f \in k[t] \,\} $$
である。右辺は無限群である。実際、$p$ で割り切れない $m \ge 1$ について $t^m$ の類は $\mathbb{F}_p$ 上一次独立である。なぜなら、$0$ でない有限和 $h = \sum_m c_m t^m$（$p \nmid m$、$c_m \in \mathbb{F}_p$）が $f^p - f$ に等しいとすると、$h$ は定数項をもたず $0$ でないので $f$ は定数でなく、$f^p - f$ の次数は $p \deg f$ で $p$ の倍数となるが、$h$ の次数は $p$ で割り切れないので矛盾するからである。
一方、例 分離閉体 により $H^1(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}/p) = 0$ であり、また $\ell \ne p$ については例 乗法群の1次コホモロジー の最後の段落により $H^1(\mathbb{A}^1_k, \mu_\ell) = 0$ である（$k$ は代数閉なので $\mu_\ell \cong \mathbb{Z}/\ell$）。したがって、係数の位数が $X$ 上可逆であるという仮定を外すと、アフィン直線のコホモロジーは 1 点のコホモロジーと一致せず、有限性も成り立たない。この仮定は、上に挙げた大きな定理の多く（有限性、滑らかな底変換、Poincaré 双対性）に不可欠である。