指数写像(Lie群)
概要
指数写像(Lie群)（exponential map of a Lie group）とは、Lie 群 $G$ の単位元での接空間 $\mathfrak{g}=T_eG$ の元 $v$ に、初速度 $v$ の 1 径数部分群（滑らかな準同型 $\mathbb{R}\to G$）の時刻 $1$ での値を対応させる写像 $\exp\colon\mathfrak{g}\to G$ である。行列の群では $X\mapsto e^X$ に一致し、$0$ の近くを単位元の近くへ微分同相に写し、Lie 群の準同型と可換である。一方、全体では単射とも全射とも限らず（$SL_2(\mathbb{R})$ は連結だが全射でない）、$\exp(v+w)=\exp v\exp w$ も一般には成り立たない。Riemann 幾何の測地線による指数写像とは別の写像で、両側不変な計量では一致する。
行列 $X$ の指数関数 $e^{tX}=\sum_{k\ge0}t^kX^k/k!$ は、$e^{(s+t)X}=e^{sX}e^{tX}$ を満たし、$t=0$ での速度が $X$ である。つまり $t\mapsto e^{tX}$ は、加法群 $\mathbb{R}$ から行列の群への準同型で、出発する向きが $X$ のものである。一般の Lie群 $G$ では行列の冪級数は使えないが、「単位元から向き $v$ で出発する $\mathbb{R}$ からの準同型」はやはりただ 1 つ存在する。その時刻 $1$ での値を $v$ に対応させる写像 $\exp\colon T_eG\to G$ が Lie 群の指数写像（exponential map of a Lie group）である。指数写像は、単位元での接空間（Lie 環）という線形の対象と、群という非線形の対象をつなぐ基本の道具である。
Riemann 多様体にも、測地線を使って定める「指数写像」がある（Riemann幾何学 の定義「測地線と指数写像」）。この記事の指数写像は群の構造だけで決まり、計量を使わない。両者の関係は最後の節「Riemann 幾何の指数写像との違い」で述べる。
定義
以下、$G$ を Lie 群（Lie群 の定義「Lie 群」）、$e$ を単位元、$\mathfrak{g}:=T_eG$ を単位元での接空間とする。$\mu\colon G\times G\to G$ を積、$L_g(h):=gh$ を左移動とする。多様体は Hausdorff かつ第 2 可算とする。
- $v\in\mathfrak{g}$ に対し、$G$ 上のベクトル場 $X^v$ を $X^v_g:=(dL_g)_e(v)$ で定める。これを $v$ の定める左不変ベクトル場という。
- 滑らかな群の準同型 $\gamma\colon\mathbb{R}\to G$（$\mathbb{R}$ は加法群）を $G$ の 1 径数部分群（one-parameter subgroup）という。$\gamma'(0)\in\mathfrak{g}$ をその初速度という。
$X^v$ は滑らかである。実際、$X^v_g=d\mu_{(g,e)}(0_g,v)$（$0_g\in T_gG$ は零ベクトル）であり、$d\mu\colon T(G\times G)\to TG$ は滑らかで、$(g,v)\mapsto(0_g,v)$ も滑らかなので、$(g,v)\mapsto X^v_g$ は $G\times\mathfrak{g}$ から $TG$ への滑らかな写像である。連鎖律と $L_g\circ L_h=L_{gh}$ から
$$
(dL_g)_h\bigl(X^v_h\bigr)=(dL_g)_h(dL_h)_e(v)=(dL_{gh})_e(v)=X^v_{gh}
$$
であり、これが「左不変」の意味である。$X^v$ は $e$ での値 $v$ で決まる。
$v\in\mathfrak{g}$ とする。
(R1) 左不変ベクトル場 $X^v$ は完備である。
(R2) $e$ を始点とする $X^v$ の極大な積分曲線 $\gamma_v\colon\mathbb{R}\to G$ は 1 径数部分群であり、初速度は $v$ である。
(R3) 初速度が $v$ の 1 径数部分群は $\gamma_v$ だけである。
段 1（左移動は積分曲線を積分曲線に写す）．$c\colon J\to G$ が $X^v$ の積分曲線なら、$g\in G$ について $L_g\circ c$ も積分曲線である。実際、上の左不変性から $(L_g\circ c)'(t)=(dL_g)\bigl(X^v_{c(t)}\bigr)=X^v_{gc(t)}$ である。
段 2（完備性）．ベクトル場の流れ の定理「流れの基本定理」により、$e$ を始点とする積分曲線 $c\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\to G$ がある。段 1 により、各 $g$ について $L_g\circ c$ は $g$ を始点とし $(-\varepsilon,\varepsilon)$ で定義された積分曲線なので、極大流れの定義域は $(-\varepsilon,\varepsilon)\times G$ を含む。同じ記事の定理「完備性の判定」の (R1) により $X^v$ は完備である。
段 3（準同型であること）．$s\in\mathbb{R}$ を固定し、$\alpha(t):=\gamma_v(s+t)$、$\beta(t):=\gamma_v(s)\gamma_v(t)$ とおく。$\alpha$ は時間を平行移動した積分曲線（ベクトル場の流れ の補題「時間の平行移動」）、$\beta=L_{\gamma_v(s)}\circ\gamma_v$ は段 1 により積分曲線であり、どちらも $t=0$ で $\gamma_v(s)$ を通る。積分曲線の一意性（ベクトル場の流れ の補題「積分曲線の一意性」）から $\alpha=\beta$、すなわち $\gamma_v(s+t)=\gamma_v(s)\gamma_v(t)$ である。$\gamma_v$ は積分曲線なので滑らかであり、$\gamma_v'(0)=X^v_e=v$ である。
段 4（一意性）．$\gamma$ を初速度 $v$ の 1 径数部分群とする。$\gamma(t+s)=L_{\gamma(t)}\gamma(s)$ を $s$ で微分して $s=0$ とおくと
$$
\gamma'(t)=(dL_{\gamma(t)})_e\bigl(\gamma'(0)\bigr)=X^v_{\gamma(t)}
$$
なので、$\gamma$ は $e$ を始点とする $X^v$ の積分曲線であり、ベクトル場の流れ の定理「流れの基本定理」の (R1) から $\gamma=\gamma_v$ である。$\square$
$v\in\mathfrak{g}$ に対し $\exp v:=\gamma_v(1)$ とおく。写像 $\exp\colon\mathfrak{g}\to G$ を $G$ の指数写像という。
$t\in\mathbb{R}$ を固定すると、$s\mapsto\gamma_v(ts)$ は初速度 $tv$ の 1 径数部分群なので、thm-lexp-one-parameter の (R3) から $\gamma_{tv}(s)=\gamma_v(ts)$ である。$s=1$ として
$$
\exp(tv)=\gamma_v(t)\qquad(t\in\mathbb{R})
$$
を得る。したがって 1 径数部分群は、ちょうど $t\mapsto\exp(tv)$（$v\in\mathfrak{g}$）の形のものである。
行列の群での指数写像
- $G=GL_n(\mathbb{R})$ のとき、$\mathfrak{g}=M_n(\mathbb{R})$ と同一視すると $\exp X=e^X$ である。
- $G\subset GL_n(\mathbb{R})$ を行列 Lie 群（Lie群 の定義「行列 Lie 群とその Lie 環」）とすると、$X\in\mathfrak{g}=T_IG$ について $\exp_GX=e^X$ である。
(R1)：$t\mapsto e^{tX}$ は滑らかな準同型 $\mathbb{R}\to GL_n(\mathbb{R})$ で、$t=0$ での速度は $X$ である（行列の指数関数 の定理「指数関数の微分と $x'=Ax$ の解」）。thm-lexp-one-parameter の (R3) から、これは $\gamma_X$ に等しい。
(R2)：Lie群 の定理「1 径数部分群と Lie 環」の (i) により、$t\mapsto e^{tX}$ は $G$ に値をとる滑らかな準同型で、初速度は $X$ である。(R1) と同じく、$G$ の 1 径数部分群の一意性から $\exp_G(tX)=e^{tX}$ である。$\square$
基本性質
$G$ を Lie 群、$v\in\mathfrak{g}$ とする。
(R1) $\exp\colon\mathfrak{g}\to G$ は滑らかである。
(R2) $s,t\in\mathbb{R}$ について $\exp\bigl((s+t)v\bigr)=\exp(sv)\exp(tv)$ であり、$\exp(-v)=(\exp v)^{-1}$、整数 $n$ について $\exp(nv)=(\exp v)^n$ である。
(R3) $0$ での微分 $(d\exp)_0\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ は恒等写像である（$T_0\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$ と同一視する）。したがって、$0$ の開近傍 $U_0\subset\mathfrak{g}$ で、$\exp$ が $U_0$ から $e$ の開近傍 $\exp(U_0)$ への微分同相写像になるものがある。
(R4) $\varphi\colon G\to H$ が Lie 群の準同型なら、$\varphi(\exp v)=\exp\bigl(d\varphi_e(v)\bigr)$ である。
(R5) 左不変ベクトル場 $X^v$ の流れは右からの積 $\Phi_t(g)=g\exp(tv)$ である。
(R1)：積多様体 $G\times\mathfrak{g}$ の上のベクトル場 $\Xi$ を $\Xi_{(g,w)}:=(X^w_g,0)\in T_gG\oplus T_w\mathfrak{g}$ で定める。$(g,w)\mapsto X^w_g$ が滑らかなので $\Xi$ は滑らかである。$t\mapsto(\gamma_w(t),w)$ は $(e,w)$ を始点とする $\Xi$ の積分曲線で、$\mathbb{R}$ 全体で定義される。$\Xi$ の極大流れを $\Theta$ とすると、ベクトル場の流れ の定理「流れの基本定理」により $\Theta$ は開集合の上で滑らかで、その定義域はすべての $(1,(e,w))$ を含む。$\exp w=\mathrm{pr}_G\,\Theta\bigl(1,(e,w)\bigr)$ は滑らかな写像の合成なので、$\exp$ は滑らかである。
(R2)：$t\mapsto\exp(tv)=\gamma_v(t)$ は準同型である。$s=-t$ とおけば 2 つ目、$n\ge0$ は帰納法、$n< 0$ は 2 つ目から従う。
(R3)：$\mathfrak{g}$ の曲線 $t\mapsto tv$ の速度は $v$ で、$\frac{d}{dt}\exp(tv)\big|_{t=0}=\gamma_v'(0)=v$ なので、$(d\exp)_0(v)=v$ である。後半は 逆関数定理 の定理「可微分多様体の間の写像の局所可逆性」による。
(R4)：$t\mapsto\varphi(\exp tv)$ は滑らかな準同型 $\mathbb{R}\to H$ で、初速度は $d\varphi_e(v)$ である。thm-lexp-one-parameter の (R3) から、これは $t\mapsto\exp\bigl(t\,d\varphi_e(v)\bigr)$ に等しい。$t=1$ とおけばよい。
(R5)：$t\mapsto g\exp(tv)=L_g\bigl(\gamma_v(t)\bigr)$ は、thm-lexp-one-parameter の証明の段 1 により $g$ を始点とする $X^v$ の積分曲線である。$\square$
- の可換図式は次のとおりである。
$$ \begin{array}{ccc} \mathfrak{g} & \xrightarrow{\ d\varphi_e\ } & \mathfrak{h}\\ {\scriptstyle\exp}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\exp}\\ G & \xrightarrow{\ \ \varphi\ \ } & H \end{array} $$
$\det\colon GL_n(\mathbb{R})\to GL_1(\mathbb{R})=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ は Lie 群の準同型である。$GL_1(\mathbb{R})$ の指数写像は prop-lexp-matrix の $n=1$ の場合で、実数の指数関数 $x\mapsto e^x$ である。$\det$ の単位元での微分はトレースである：$H\in M_n(\mathbb{R})$ について、$\det$ の列についての多重線形性から
$$
\frac{d}{ds}\det(I+sH)\Big|_{s=0}=\sum_{j=1}^n\det(e_1,\dots,He_j,\dots,e_n)=\sum_{j=1}^nH_{jj}=\operatorname{tr}H
$$
（$j$ 番目の列だけを $He_j$ に替えた行列式は $H_{jj}$）。したがって thm-lexp-properties の (R4) から
$$
\det e^X=e^{\operatorname{tr}X}\qquad(X\in M_n(\mathbb{R}))
$$
である。とくに $\det e^X>0$ なので、$\det< 0$ の行列は指数写像の像に入らない。トレースが $0$ の行列 $X$ では $\det e^{tX}=1$ なので、$t\mapsto e^{tX}$ は $SL_n(\mathbb{R})$ の 1 径数部分群である。
積の公式と生成
指数写像は一般に $\exp(v+w)=\exp v\exp w$ を満たさない（ex-lexp-not-additive）。それでも、細かく刻んで交互に掛ければ和の指数が取り戻せる。
$G$ を Lie 群、$v,w\in\mathfrak{g}$、$t\in\mathbb{R}$ とする。
$$
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\exp\bigl(\tfrac tnv\bigr)\exp\bigl(\tfrac tnw\bigr)\Bigr)^n=\exp\bigl(t(v+w)\bigr)
$$
である。
thm-lexp-properties の (R3) の $U_0$ をとり、$\exp(U_0)$ 上の逆写像を $\log\colon\exp(U_0)\to U_0$ とする。$s\mapsto\exp(sv)\exp(sw)$ は連続で $s=0$ で $e$ なので、$\lvert s\rvert< \delta$ でこの値は $\exp(U_0)$ に入る。そこで $Z(s):=\log\bigl(\exp(sv)\exp(sw)\bigr)$ とおくと、$Z$ は滑らかで $Z(0)=0$ である。
$\mu(g,e)=g$、$\mu(e,h)=h$ から $d\mu_{(e,e)}(a,b)=a+b$ なので、$\frac{d}{ds}\exp(sv)\exp(sw)\big|_{s=0}=v+w$ である。$(d\log)_e$ は $(d\exp)_0=\mathrm{id}$ の逆なので、$Z'(0)=v+w$ である。
$t=0$ なら両辺は $e$ である。$t\neq0$ とし、$n>\lvert t\rvert/\delta$ とすると、thm-lexp-properties の (R2) から
$$
\Bigl(\exp\bigl(\tfrac tnv\bigr)\exp\bigl(\tfrac tnw\bigr)\Bigr)^n=\Bigl(\exp Z\bigl(\tfrac tn\bigr)\Bigr)^n=\exp\Bigl(nZ\bigl(\tfrac tn\bigr)\Bigr)
$$
である。微分の定義から $nZ(t/n)=t\cdot\frac{Z(t/n)-Z(0)}{t/n}\to tZ'(0)=t(v+w)$ であり、$\exp$ は連続なので結論が従う。$\square$
行列の群では、これは $\lim_n\bigl(e^{X/n}e^{Y/n}\bigr)^n=e^{X+Y}$（Lie の積公式）である。この公式は、閉部分群の Lie 環が線形部分空間になることの証明に使われる（閉部分群定理）。
$G$ を連結な Lie 群とすると、$G$ のすべての元は $\exp v_1\exp v_2\cdots\exp v_k$（$v_i\in\mathfrak{g}$）の形に書ける。
thm-lexp-properties の (R3) の $U_0$ を $U_0\cap(-U_0)$ に取り替えると、$U:=\exp(U_0)$ は $e$ の開近傍で、(R2) から $U^{-1}=\exp(-U_0)=U$ である。Lie群 の定理「連結な位相群は単位元の近傍で生成される」から、$G$ のすべての元は $U$ の元の有限個の積である。$\square$
全射性・単射性・加法性
指数写像は単位元の近くでは微分同相だが、全体では全射とも単射とも限らない。
| 期待されること | 反例 | 満たす性質 | 成り立たないこと |
|---|---|---|---|
| 単射である | $U(1)$ の $i\theta\mapsto e^{i\theta}$ | 可換・連結・コンパクト | 単射性（$0$ と $2\pi i$ が同じ点へ） |
| 連結な群なら全射である | $SL_2(\mathbb{R})$ の $\operatorname{diag}(-2,-\frac12)$ | 連結 | 全射性 |
| $\exp(v+w)=\exp v\exp w$ | Heisenberg 群の $E_{12}$ と $E_{23}$ | 連結・$\exp$ は全単射 | 加法性 |
$U(1)=\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z\rvert=1\}$ の Lie 環は $T_1U(1)=i\mathbb{R}$ で、$t\mapsto e^{it\theta}$ は初速度 $i\theta$ の 1 径数部分群なので、$\exp(i\theta)=e^{i\theta}$ である。$\exp(0)=\exp(2\pi i)=1$ なので単射でない（全射ではある）。破る含意は「指数写像は単射である」であり、成り立つのは単位元の近くでの単射性（thm-lexp-properties の (R3)）だけである。
$SL_2(\mathbb{R})$ は連結である（極分解 の例「群ごとの分解」の 1）。$A:=\operatorname{diag}\bigl(-2,-\frac12\bigr)\in SL_2(\mathbb{R})$ は $\exp X$（$X\in\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$）の形に書けない。
prop-lexp-matrix から $\exp X=e^X$ であり、$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ はトレースが $0$ の実 $2\times2$ 行列の全体である（Lie群 の定理「古典群は行列 Lie 群である」）。そこで、$\operatorname{tr}X=0$ ならつねに $\operatorname{tr}e^X\ge-2$ であることを示す。$\operatorname{tr}X=0$ なので $X$ の固有多項式は $\lambda^2+\det X$ で、Cayley–Hamilton の定理から $X^2=-(\det X)I$ である。
- $\det X< 0$ のとき、$\mu:=\sqrt{-\det X}>0$ とおくと $X^2=\mu^2I$ なので、偶数次と奇数次の項をまとめて $e^X=\cosh\mu\cdot I+\frac{\sinh\mu}{\mu}X$ であり、$\operatorname{tr}e^X=2\cosh\mu>2$ である。
- $\det X>0$ のとき、$\nu:=\sqrt{\det X}$ とおくと $X^2=-\nu^2I$ なので $e^X=\cos\nu\cdot I+\frac{\sin\nu}{\nu}X$ であり、$\operatorname{tr}e^X=2\cos\nu\ge-2$ である。
- $\det X=0$ のとき、$X^2=0$ なので $e^X=I+X$ であり、$\operatorname{tr}e^X=2$ である。
$\operatorname{tr}A=-\frac52< -2$ なので、$A$ は像に入らない。一方、$J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$、$D=\operatorname{diag}(\log2,-\log2)$ とおくと $e^{\pi J}e^{D}=(-I)\operatorname{diag}(2,\frac12)=A$ であり、$A$ は 2 つの指数の積である（prop-lexp-generate と整合する）。満たす性質は「$G$ は連結」、満たさない性質は「$\exp$ は全射」である。
逆に、連結なコンパクト Lie 群のうち $U(N)$ の閉部分群であるもの（$U(n)$、$SU(n)$、$SO(n)$ など）では、指数写像は全射である（極大トーラスの共役定理 の補題「指数写像の全射性」）。
Heisenberg 群（Lie群 の例「Heisenberg 群」）の Lie 環で $X=E_{12}$、$Y=E_{23}$ とする（$E_{ij}$ は $(i,j)$ 成分だけが $1$ の $3\times3$ 行列）。$X^2=Y^2=0$、$XY=E_{13}$、$YX=0$ なので $(X+Y)^2=E_{13}$、$(X+Y)^3=0$ であり、
$$
e^Xe^Y=(I+X)(I+Y)=I+E_{12}+E_{23}+E_{13},\qquad e^{X+Y}=I+E_{12}+E_{23}+\tfrac12E_{13}
$$
である。したがって $\exp(X+Y)\neq\exp X\exp Y$ である。この群では $\exp$ は全単射である（同じ例）ので、全単射であっても加法性は成り立たない。$\exp(v+w)=\exp v\exp w$ が成り立つのは、たとえば行列の群で $XY=YX$ のときである（行列の指数関数 の定理「可換な行列の指数法則」）。
Riemann 幾何の指数写像との違い
Riemann 多様体 $(M,g)$ の点 $p$ での指数写像 $\exp_p$ は、$v\in T_pM$ に、$p$ を初速度 $v$ で出発する測地線の時刻 $1$ での位置を対応させる（Riemann幾何学 の定義「測地線と指数写像」）。Lie 群に計量を入れれば両方が定まる。
- 左移動でも右移動でも不変な計量（両側不変計量）では、1 径数部分群は測地線であり（Riemann幾何学 の注意「両側不変計量と等質空間」）、$\exp_e$ は Lie 群の指数写像に一致する。$U(N)$ の閉部分群では 極大トーラスの共役定理 の補題「1 径数部分群は測地線」がこれを示している。
- 両側不変でない計量では一致するとは限らない。$SL_2(\mathbb{R})$ に左不変な Riemann 計量 $g$ を入れると、左移動は等長写像で推移的に作用する（Riemann幾何学 の命題「Lie 群の左不変計量」）ので、$(SL_2(\mathbb{R}),g)$ は等質 Riemann 多様体であり、測地的に完備である（等質空間 の命題「等質 Riemann 多様体の性質」）。$SL_2(\mathbb{R})$ は連結なので、Hopf–Rinow の定理（Riemann幾何学 の定理「Hopf–Rinow の定理」）から、どの点も $e$ と測地線で結ばれ、$\exp_e$ は全射である。一方 Lie 群の指数写像は全射でない（ex-lexp-not-surjective）。よって、$SL_2(\mathbb{R})$ のどの左不変計量でも、2 つの指数写像は異なる。とくに $SL_2(\mathbb{R})$ には両側不変な Riemann 計量がない。
補足
- 文献では、Lie 環を $T_eG$ ではなく左不変ベクトル場の全体として定めることが多い。$v\mapsto X^v$ によって両者は線形同型であり、指数写像は同じものになる（Lee13 Proposition 20.5・Proposition 20.8、pp. 518–520）。
- thm-lexp-properties の (R4) は、Lie 群の準同型が微分で決まること（Lie群とLie環の対応）の出発点である。
- $\exp$ の像は連結で $e$ を含むので、連結でない Lie 群では単位元の連結成分に含まれる（$O(n)$ では $SO(n)$ に含まれる）。連結な群でも像そのものは部分群とは限らない（ex-lexp-not-surjective の $A$ は像に入らないが、像の 2 つの元の積である）。
関連項目
- 前提: Lie群, Lie環, ベクトル場の流れ, 行列の指数関数
- 比較: Riemann幾何学, 測地線
- 直後に読む: 閉部分群定理, Lie群とLie環の対応
- 発展: 極大トーラスの共役定理, Heisenberg群, 等質空間
参考文献
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