パラコンパクト空間

以下で繰り返し用いる事実として、局所有限な族 $\mathcal{A}$ については、合併の閉包が各成員の閉包の合併に等しい：$\overline{\bigcup\mathcal{A}}=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}\overline{A}$。特に局所有限な閉集合の族の合併は閉集合である。この等式の証明は開被覆の記事の命題（局所有限な族の閉包）にある。
(1) 閉集合 $F$ と点 $x\notin F$ をとる。Hausdorff 性により、各 $y\in F$ に対し $y$ の開近傍 $O_y$ と $x$ の開近傍 $N_y$ で $O_y\cap N_y=\emptyset$ となるものをとる（選択公理を用いる）。このとき $x\notin\overline{O_y}$ である。開被覆 $\{X\setminus F\}\cup\{O_y\mid y\in F\}$ の局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ をとり、$F$ と交わる成員全体の合併を $G$ とおく。$G$ は $F$ を含む開集合である。$F$ と交わる成員 $V$ は $X\setminus F$ に含まれないので、ある $O_y$ に含まれ、$\overline{V}\subset\overline{O_y}$ から $x\notin\overline{V}$ である。上の等式により $\overline{G}$ はこれらの $\overline{V}$ の合併なので、$x\notin\overline{G}$ である。したがって $G$ と $X\setminus\overline{G}$ が $F$ と $x$ を分離する。
(2) 交わらない閉集合 $A,B$ をとる。正則性により、各 $a\in A$ に対し $a$ の開近傍 $O_a$ で $\overline{O_a}\cap B=\emptyset$ となるものをとる（$a$ と閉集合 $B$ を交わらない開集合 $O_a\ni a$、$N_a\supset B$ で分離すれば $\overline{O_a}\subset X\setminus N_a$ である）。開被覆 $\{X\setminus A\}\cup\{O_a\mid a\in A\}$ の局所有限な開細分をとり、$A$ と交わる成員の合併を $H$ とおく。(1) と同様に $H$ は $A$ を含む開集合で、$\overline{H}$ は各 $\overline{O_a}$ に含まれる閉集合の合併だから $\overline{H}\cap B=\emptyset$ である。よって $H$ と $X\setminus\overline{H}$ が $A$ と $B$ を分離する。$A$ または $B$ が空なら、空集合と $X$ で分離すればよい。$\square$

各 $x\in X$ に対し $x\in U^x$ となる $U^x\in\mathcal{U}$ を選ぶ。正則性により、$x$ の開近傍 $V_x$ で $\overline{V_x}\subset U^x$ となるものがとれる（$x$ と閉集合 $X\setminus U^x$ を交わらない開集合 $V_x\ni x$、$N\supset X\setminus U^x$ で分離すれば $\overline{V_x}\subset X\setminus N\subset U^x$ である）。開被覆 $\{V_x\mid x\in X\}$ の局所有限な開細分 $(W_i)_{i\in I}$ をとり、各 $i$ に対し $W_i\subset V_{x(i)}$ となる $x(i)$ を選んで $U_i:=U^{x(i)}$ とおく（以上の選択に選択公理を用いる）。すると $\overline{W_i}\subset\overline{V_{x(i)}}\subset U_i$ である。$\square$

$\mathcal{U}$ を開被覆とする。各 $x\in X$ に対し $x\in U^x\in\mathcal{U}$ と、$\overline{V_x}\subset U^x$ となる $x$ の開近傍 $V_x$ をとる（lem-paracompact-space-shrinking の証明と同じ）。Lindelöf 性により、開被覆 $\{V_x\}$ の高々可算な部分被覆 $V_1,V_2,\dots$ をとり、対応する $U^x$ を $U_1,U_2,\dots$ と書く（$\overline{V_n}\subset U_n$）。
$$W_n:=U_n\setminus(\overline{V_1}\cup\cdots\cup\overline{V_{n-1}})$$
とおくと、$W_n$ は開集合で $W_n\subset U_n$ である。$x\in X$ に対し、$x\in\overline{V_n}$ となる最小の $n$ をとると、$x\in\overline{V_n}\subset U_n$ かつ $m< n$ について $x\notin\overline{V_m}$ なので $x\in W_n$ である。よって $\{W_n\}$ は $\mathcal{U}$ の開細分で $X$ を覆う。局所有限性については、$x\in V_n$ となる $n$ をとると、$m>n$ について $V_n\cap W_m=\emptyset$ なので、近傍 $V_n$ は $W_1,\dots,W_n$ としか交わらない。$\square$

$X=\emptyset$ なら空の族をとる。$X\neq\emptyset$ とする。$X$ は正則かつ正規である（prop-paracompact-space-normal）。lem-paracompact-space-shrinking を $\mathcal{U}$ に適用して、局所有限な開被覆 $(W_i)_{i\in I}$ と $U_i\in\mathcal{U}$ で $\overline{W_i}\subset U_i$ となるものをとる。同じ補題を開被覆 $(W_i)_{i\in I}$ に適用して、局所有限な開被覆 $(V_j)_{j\in J}$ と写像 $t\colon J\to I$ で $\overline{V_j}\subset W_{t(j)}$ となるものをとる。
各 $i\in I$ に対し $F_i:=\bigcup_{t(j)=i}\overline{V_j}$ とおく。族 $(\overline{V_j})_{j\in J}$ は局所有限な族の閉包の族なので局所有限であり、その部分族の合併の閉包は閉包の合併に等しい（開被覆の記事の命題（局所有限な族の閉包））。よって $F_i$ は閉集合であり、$F_i\subset W_i$ である。また $(V_j)$ が被覆なので $(F_i)_{i\in I}$ は $X$ を覆う。
$F_i$ と $X\setminus W_i$ は交わらない閉集合なので、正規性と Urysohn の補題（Urysohnの補題：第2可算公理の記事の補題（閉集合を関数で分離する）、Mun00 §33 Theorem 33.1）により、$F_i$ 上で $1$、$X\setminus W_i$ 上で $0$ となる連続関数 $f_i\colon X\to[0,1]$ が存在する（各 $i$ について一つずつ選ぶので選択公理を用いる）。$\{f_i\neq0\}\subset W_i$ より $\operatorname{supp}f_i\subset\overline{W_i}\subset U_i$ であり、$(\overline{W_i})_{i\in I}$ が局所有限なので台の族も局所有限である。
$s:=\sum_{i\in I}f_i$ とおく。各点 $x$ にはその近傍 $N$ で有限個の $\overline{W_i}$ としか交わらないものがあり、$N$ 上では $s$ は有限個の連続関数の和なので、$s$ は $X$ 上で連続である。$(F_i)$ が被覆で $F_i$ 上 $f_i=1$ なので、各点で $s\geq1$ である。$\varphi_i:=f_i/s$ とおくと、各 $\varphi_i$ は連続で値は $[0,1]$ に入り、$\operatorname{supp}\varphi_i=\operatorname{supp}f_i\subset U_i$、$\sum_i\varphi_i=1$ である。$\square$

$A$ の開被覆 $\mathcal{V}$ をとる。相対位相の定義により、各 $V\in\mathcal{V}$ に対し $X$ の開集合 $U_V$ で $V=U_V\cap A$ となるものを選ぶ。$\{U_V\mid V\in\mathcal{V}\}\cup\{X\setminus A\}$ は $X$ の開被覆なので、局所有限な開細分 $\mathcal{W}$ をとる。$\{W\cap A\mid W\in\mathcal{W}\}$ から空集合を除いた族を $\mathcal{W}'$ とする。各成員は $A$ の開集合で、$\mathcal{W}'$ は $A$ を覆う。$W\cap A\neq\emptyset$ なる $W$ は $X\setminus A$ に含まれないので、ある $U_V$ に含まれ、$W\cap A\subset U_V\cap A=V$ である。よって $\mathcal{W}'$ は $\mathcal{V}$ の開細分である。局所有限性は、$a\in A$ の $X$ における近傍 $N$ で有限個の $W$ としか交わらないものをとれば、$N\cap A$ が $A$ における近傍で有限個の $W\cap A$ としか交わらないことから従う。$\square$

$X$ または $K$ が空なら $X\times K=\emptyset$ で主張は明らかなので、両方とも空でないとする。$X\times K$ の開被覆 $\mathcal{U}$ をとる。$x\in X$ を固定する。各 $k\in K$ に対し、$(x,k)$ を含む直積位相の基本開集合 $O\times V$（$O$ は $X$ の、$V$ は $K$ の開集合）で $\mathcal{U}$ のある成員に含まれるものがある。$K$ のコンパクト性により、有限個の基本開集合 $O_{x,1}\times V_{x,1},\dots,O_{x,m_x}\times V_{x,m_x}$ で、各 $O_{x,j}$ が $x$ を含み、$V_{x,1},\dots,V_{x,m_x}$ が $K$ を覆うものが選べる。$O_x:=O_{x,1}\cap\cdots\cap O_{x,m_x}$ は $x$ の開近傍である。
$\{O_x\mid x\in X\}$ は $X$ の開被覆なので、局所有限な開細分 $(W_i)_{i\in I}$ をとり、各 $i$ に対し $W_i\subset O_{x(i)}$ となる $x(i)$ を選ぶ。$m_i:=m_{x(i)}$ とおき、族 $\{W_i\times V_{x(i),j}\mid i\in I,\ 1\leq j\leq m_i\}$ を考える。各成員は $O_{x(i),j}\times V_{x(i),j}$ に含まれるので $\mathcal{U}$ のある成員に含まれ、開集合である。点 $(x',k)$ に対し $x'\in W_i$ となる $i$ と $k\in V_{x(i),j}$ となる $j$ があるので、この族は $X\times K$ を覆う。局所有限性については、$x'$ の近傍 $N$ で有限個の $W_i$ としか交わらないものをとると、近傍 $N\times K$ と交わる成員はそれらの $i$ に対する有限個の $W_i\times V_{x(i),j}$ だけである。$\square$

$X=\emptyset$ なら両条件とも成り立つので、$X\neq\emptyset$ とする。
準備として、各点 $x$ は、閉包がコンパクトで座標近傍に含まれる開近傍をもつことを確かめる。$x$ の開近傍 $U$ と同相写像 $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n$（$\varphi(U)$ は開集合）をとり、閉球 $\overline{B}(\varphi(x),r)\subset\varphi(U)$ となる $r>0$ をとる。$C:=\varphi^{-1}(\overline{B}(\varphi(x),r))$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトであり、$X$ が Hausdorff なので $X$ の閉集合である。したがって $B_x:=\varphi^{-1}(B(\varphi(x),r))$ は $x$ の開近傍で、$\overline{B_x}\subset C\subset U$ であり、$\overline{B_x}$ はコンパクト集合 $C$ の閉部分集合としてコンパクトである。同じ議論を $U$ を任意の開近傍で置き換えて行えば、$X$ が正則であることもわかる。
パラコンパクトと仮定する。開被覆 $\{B_x\mid x\in X\}$ の局所有限な開細分をとり、空の成員を除いたものを $(V_i)_{i\in I}$ とする。各 $\overline{V_i}$ はある $\overline{B_x}$ に含まれるのでコンパクトである。局所有限性により、$\overline{V_i}$ の各点には有限個の $V_j$ としか交わらない近傍があり、コンパクト性によりそのような近傍の有限個で $\overline{V_i}$ を覆えるので、各 $\overline{V_i}$ は有限個の $V_j$ としか交わらない。$I$ を頂点集合とし、$V_i\cap V_j\neq\emptyset$（$i\neq j$）のとき $i$ と $j$ を辺で結ぶグラフ $\Gamma$ を考えると、各頂点に接する辺は有限個である。$\Gamma$ が連結でないとすると、一つの連結成分に属する頂点 $i$ の $V_i$ の合併と、残りの頂点の $V_i$ の合併は、ともに空でない開集合で、交わらず、$X$ を覆うので、$X$ の連結性に反する。よって $\Gamma$ は連結であり、一つの頂点から長さ $m$ 以下の道で到達できる頂点の集合は $m$ についての帰納法により有限なので、$I$ は高々可算である。各 $V_i$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相なので可算な開基をもち（第2可算公理の記事の例と命題（部分空間への遺伝））、それらの合併は $X$ の可算な開基である。
逆に第 2 可算と仮定する。第 2 可算空間は Lindelöf であり（第2可算公理の記事の命題（三つの帰結））、$X$ は上で示したように正則なので、prop-paracompact-space-regular-lindelof によりパラコンパクトである。$\square$

まず、クッション細分の添字をまとめ直せることを確かめる。$(V_\beta)_{\beta\in B}$ を開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ の、$X$ を覆うクッション細分とし、$f\colon B\to A$ をその写像とする。$C_\alpha:=\overline{\bigcup_{f(\beta)=\alpha}V_\beta}$ とおく（$\alpha\notin f(B)$ なら $C_\alpha=\emptyset$）。任意の $A'\subset A$ について、$\bigcup_{f(\beta)\in A'}V_\beta\subset\bigcup_{\alpha\in A'}C_\alpha\subset\overline{\bigcup_{f(\beta)\in A'}V_\beta}$ なので
$$\overline{\bigcup_{\alpha\in A'}C_\alpha}=\overline{\bigcup_{f(\beta)\in A'}V_\beta}\subset\bigcup_{f(\beta)\in A'}U_{f(\beta)}\subset\bigcup_{\alpha\in A'}U_\alpha$$
である。したがって $(C_\alpha)_{\alpha\in A}$ は、$(U_\alpha)$ と同じ添字をもつ閉集合の被覆であり、恒等写像を $f$ として $(U_\alpha)$ のクッション細分である。以後、条件 2 の下では、任意の開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ に対しこの形の閉被覆 $(C_\alpha)_{\alpha\in A}$ がとれる。
1 $\Rightarrow$ 2：$X$ は正則なので（prop-paracompact-space-normal）、開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ に対し lem-paracompact-space-shrinking により局所有限な開被覆 $(W_\beta)_{\beta\in B}$ と写像 $f\colon B\to A$ で $\overline{W_\beta}\subset U_{f(\beta)}$ となるものがとれる。任意の $B'\subset B$ について、部分族 $(W_\beta)_{\beta\in B'}$ も局所有限なので、局所有限な族の閉包の等式（開被覆の記事の命題（局所有限な族の閉包））により $\overline{\bigcup_{\beta\in B'}W_\beta}=\bigcup_{\beta\in B'}\overline{W_\beta}\subset\bigcup_{\beta\in B'}U_{f(\beta)}$ である。よって $(W_\beta)$ は $X$ を覆うクッション細分である。
2 $\Rightarrow$ 1：まず $X$ が正規であることを示す。交わらない閉集合 $A_0,B_0$ に対し、開被覆 $\{X\setminus A_0,X\setminus B_0\}$ に対応する閉被覆 $\{F_1,F_2\}$ を上のようにとると、$F_1\subset X\setminus A_0$、$F_2\subset X\setminus B_0$ である。$X\setminus F_1$ と $X\setminus F_2$ はそれぞれ $A_0$、$B_0$ を含む開集合であり、$F_1\cup F_2=X$ なので交わらない。よって $X$ は正規であり、$T_1$ 性により一点集合が閉なので、$X$ は Hausdorff かつ正則である。
次に、任意の開被覆 $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$ が $\sigma$-離散な開細分をもつことを示す。$A$ を整列する。$(U_\alpha)$ に対応する閉被覆を $(C_{\alpha,1})_{\alpha\in A}$ とする。帰納的に、閉被覆 $(C_{\alpha,n})_{\alpha\in A}$ が得られたら
$$U_{\alpha,n+1}:=U_\alpha\setminus\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}C_{\beta,n}}$$
とおく。$x\in X$ に対し $x\in U_\alpha$ となる最小の $\alpha$ をとると、クッション条件により $\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}C_{\beta,n}}\subset\bigcup_{\beta<\alpha}U_\beta$ であり、この合併は $x$ を含まないので $x\in U_{\alpha,n+1}$ である。したがって $(U_{\alpha,n+1})_{\alpha\in A}$ は開被覆であり、これに対応する閉被覆を $(C_{\alpha,n+1})_{\alpha\in A}$ とする。$U_{\alpha,n+1}\subset U_\alpha$ なので、これは $(U_\alpha)$ のクッション細分でもある。こうして得られる閉被覆の列は次の二式を満たす。
$$\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}C_{\beta,n}}\cap C_{\alpha,n+1}=\emptyset,\qquad C_{\alpha,n}\cap\overline{\bigcup_{\beta>\alpha}C_{\beta,n+1}}=\emptyset.$$
前者は $C_{\alpha,n+1}\subset U_{\alpha,n+1}$ による。後者は、クッション条件により $\overline{\bigcup_{\beta>\alpha}C_{\beta,n+1}}\subset\bigcup_{\beta>\alpha}U_{\beta,n+1}$ であり、$\beta>\alpha$ のとき $U_{\beta,n+1}$ は $\overline{\bigcup_{\gamma<\beta}C_{\gamma,n}}\supset C_{\alpha,n}$ と交わらないことによる。
各 $n$ と $\alpha$ に対し
$$V_{\alpha,n}:=X\setminus\overline{\bigcup_{\beta\neq\alpha}C_{\beta,n}}$$
とおく。これは開集合である。$n$ を固定すると、$\alpha\neq\alpha'$ のとき $V_{\alpha,n}\cap V_{\alpha',n}$ はどの $C_{\beta,n}$ とも交わらないが、$(C_{\beta,n})_\beta$ は被覆なので $V_{\alpha,n}\cap V_{\alpha',n}=\emptyset$ である。同じ理由で $V_{\alpha,n}\subset C_{\alpha,n}\subset U_\alpha$ である。全層を合わせた族 $(V_{\alpha,n})_{\alpha\in A,\,n\geq1}$ が $X$ を覆うことを示す。$x\in X$ に対し $\alpha(n):=\min\{\alpha\mid x\in C_{\alpha,n}\}$ とおき、$\alpha_*:=\min_n\alpha(n)$ が $n$ で達成されたとする（$\alpha(n)=\alpha_*$）。$x\in C_{\alpha_*,n}$ と後の式から、$x$ は $\overline{\bigcup_{\beta>\alpha_*}C_{\beta,n+1}}$ に属さない。また $\gamma:=\alpha(n+2)\geq\alpha_*$ について $x\in C_{\gamma,n+2}$ なので、前の式（$n+1$ に対するもの）から $x$ は $\overline{\bigcup_{\beta<\gamma}C_{\beta,n+1}}\supset\overline{\bigcup_{\beta<\alpha_*}C_{\beta,n+1}}$ に属さない。二つの集合の合併の閉包は閉包の合併なので、$x\notin\overline{\bigcup_{\beta\neq\alpha_*}C_{\beta,n+1}}$、すなわち $x\in V_{\alpha_*,n+1}$ である。
開被覆 $(V_{\alpha,n})_{\alpha,n}$ に対応する閉被覆を $(D_{\alpha,n})_{\alpha,n}$ とする。クッション条件を添字の部分集合 $A\times\{n\}$ に適用すると
$$H_n:=\overline{\bigcup_{\alpha\in A}D_{\alpha,n}}\subset\bigcup_{\alpha\in A}V_{\alpha,n}$$
である。正規性により、開集合 $W_n$ で $H_n\subset W_n\subset\overline{W_n}\subset\bigcup_\alpha V_{\alpha,n}$ となるものをとる（$H_n$ と閉集合 $X\setminus\bigcup_\alpha V_{\alpha,n}$ を分離する）。各 $n$ について族 $(W_n\cap V_{\alpha,n})_{\alpha\in A}$ は離散である。実際、点 $y\notin\overline{W_n}$ に対しては $X\setminus\overline{W_n}$ がこの族のどの成員とも交わらない近傍であり、点 $y\in\overline{W_n}$ に対しては $y$ を含むただ一つの $V_{\alpha,n}$ が、$W_n\cap V_{\alpha,n}$ 以外の成員と交わらない開近傍である。また $D_{\alpha,n}\subset H_n\cap V_{\alpha,n}\subset W_n\cap V_{\alpha,n}$ であり $(D_{\alpha,n})$ は $X$ を覆うので、$(W_n\cap V_{\alpha,n})_{\alpha,n}$ は $X$ を覆う。各成員は $V_{\alpha,n}\subset U_\alpha$ に含まれる開集合である。こうして $(U_\alpha)$ の $\sigma$-離散な開細分が得られた。
離散な族は局所有限なので、この開細分は $\sigma$-局所有限である。$X$ は正則なので、thm-paracompact-space-michael の 2 $\Rightarrow$ 1 により $X$ はパラコンパクトである。$\square$

$X$ をパラコンパクトな正則空間とする。$X$ は正規であり（prop-paracompact-space-normal (2)）、thm-paracompact-space-cushioned の証明の 1 $\Rightarrow$ 2 の部分は正則性しか用いていないので、任意の開被覆は $X$ を覆うクッション細分をもつ。同じ証明の 2 $\Rightarrow$ 1 の部分のうち $\sigma$-離散な開細分を構成する段階は、正規性と、任意の開被覆が $X$ を覆うクッション細分をもつことだけを用いている（$T_1$ 性は Hausdorff 性と正則性を導くためにのみ使った）。よって主張が従う。$\square$