正則環
概要
正則環は、すべての素イデアルでの局所化が正則局所環となるネーター環である。正則局所環では、極大イデアルの最小生成元数である埋込次元がKrull次元に一致し、剰余体が有限射影次元をもつこととも同値である。正則局所環はCohen–Macaulay環・一意分解整域・Gorenstein環となるが、一般の正則環全体が整域になるとは限らない。
前提知識: ネーター環、局所環、Krull次元、有限生成加群。後半では自由分解、Tor、Extを用いる。
定義：次元と生成元の数が一致する
環は単位元をもつ可換環とする。局所環 $(R,\mathfrak m,k)$ は非零環で、$\mathfrak m$ は唯一の極大イデアル、$k=R/\mathfrak m$ は剰余体である。
ネーター局所環の埋込次元は $\operatorname{edim}R=\dim_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2)$。中山の補題により、これは $\mathfrak m$ の最小生成元数に等しい。Krull次元 $\dim R$ は素イデアルの真の包含列の長さの上限であり、常に $\dim R\leq\operatorname{edim}R$ である。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：Krull次元、極大イデアルの生成元数、正則局所環の基本関係（ Tag 00KD ）。
ネーター局所環 $(R,\mathfrak m,k)$ が正則局所環であるとは
$$
\dim R=\dim_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2)
$$
となることをいう。$d=\dim R$ のとき、$\mathfrak m$ の最小生成系 $x_1,\ldots,x_d$ を正則パラメータ系と呼ぶ。
ネーター環 $R$ が正則環（regular ring）であるとは、すべての素イデアル $\mathfrak p$ において $R_{\mathfrak p}$ が正則局所環となることをいう。
極大イデアルでの局所化だけを調べても同じ条件になる。これは正則局所環の素イデアルでの局所化も正則局所環となる定理による。本記事の「正則」はネーター性を含み、von Neumann正則性とは別の意味である。
幾何学的には、体 $k$ 上のスキームの $k$-有理点において、局所環の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は余接空間、その $k$-双対はZariski接空間を表す。従って正則性は、局所的な次元に対して接空間の次元が余分に大きくならない条件と読める。剰余体が基礎体と一致しない点では相対余接空間に追加の項が入るので、正則性を基礎体上の「滑らかさ」と無条件に同一視してはいけない。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：正則性の局所化と大域次元による特徴づけ（ Tag 065U ）、接空間と余接空間の完全列（ Tag 0B28 ）。
例と反例を同じ指標で比べる
以下で $k$ は任意の体とする。
| 局所環 | 次元 | 埋込次元 | 正則性 |
|---|---|---|---|
| $k$ | 0 | 0 | 正則 |
| $k[x]_{(x)}$ | 1 | 1 | 正則 |
| $k[x,y]_{(x,y)}$ | 2 | 2 | 正則 |
| $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ | 0 | 1 | 非正則 |
| $k[x,y]_{(x,y)}/(y^2-x^3)$ | 1 | 2 | 非正則 |
体では極大イデアルが0なので定義から分かる。多項式局所環では、$x$ または $x,y$ の一次の像が $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の基底になる。次元の下限は $(0)\subsetneq(x)$、または $(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)$ から得られ、生成元数による上限と一致する。
$A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ の素イデアルはすべて冪零元 $\varepsilon$ を含む。$A/(\varepsilon)=k$ より素イデアルは $(\varepsilon)$ のみで、$\dim A=0$。一方 $(\varepsilon)^2=0$ で $\varepsilon\neq0$ だから埋込次元は1となる。したがって $A$ はネーター局所環だが正則でない。
$R=k[x,y]_{(x,y)}$、$f=y^2-x^3$、$A=R/(f)$ とする。$R$ は次元2の正則局所整域で、非零元 $f$ は非零因子である。ネーター局所環を、その極小素イデアルのいずれにも入らない元で割ると次元は1だけ下がるので、$\dim A=1$ である。一方、$f\in(x,y)^2$ なので、$x,y$ の間に一次の関係は生じない。従って
$$
\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2\cong (x,y)/(x,y)^2\cong k^2
$$
となり、$A$ は非正則である。この判定は $k$ の標数によらない。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：非零因子による商での次元低下（ Tag 00KW ）。
ホモロジーによる特徴づけ
$R$-加群 $M$ の射影次元 $\operatorname{pd}_R M$ は、射影分解の最短の長さであり、有限長の分解がなければ $\infty$ とする。環の大域次元 $\operatorname{gldim}R$ は、すべての $R$-加群の射影次元の上限である。「すべて」は有限生成加群だけという意味ではない。
ネーター局所環 $(R,\mathfrak m,k)$ について、次は同値である。
- $R$ は正則局所環である。
- 剰余体 $k$ の $R$ 上の射影次元が有限である。
- $R$ の大域次元が有限である。
このとき
$$ \operatorname{pd}_R k=\operatorname{gldim}R=\dim R $$
となる。
定義は極大イデアルを測っているが、この定理は加群の分解の長さから同じ環を特徴づける。逆に非正則なネーター局所環では、剰余体の射影次元は無限である。これは深い定理として用い、定義から直ちに従う事実とは扱わない。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：Auslander–Buchsbaum–Serreの正則性判定と大域次元の値（ Tag 065U ）。
次元 $d$ の正則局所環 $R$ と非零有限生成加群 $M$ に対して
$$
\operatorname{pd}_R M+\operatorname{depth}_R M=d
$$
が成り立つ。ここで深さは、$\mathfrak m$ に含まれる $M$-正則列の最大長である。従って $M$ は長さ $d$ 以下の有限階数自由分解をもち、深さ $d$ の有限生成加群は自由である。
これは、正則局所環がCohen–Macaulayであること、上の有限射影次元、およびAuslander–Buchsbaum公式を組み合わせた帰結である。一般のネーター局所環上の同公式には、$M\neq0$、有限生成、有限射影次元という仮定が必要となる。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：有限射影次元を仮定したAuslander–Buchsbaum公式（ Tag 090U ）。
次元 $d$ の正則局所環 $R$ 上で、任意の加群 $M,N$ と $i>d$ に対して
$$
\operatorname{Tor}_i^R(M,N)=0,\qquad \operatorname{Ext}_R^i(M,N)=0
$$
である。
大域次元が $d$ なので $M$ の長さ $d$ 以下の射影分解を選べる。それに $-\otimes_R N$ または $\operatorname{Hom}_R(-,N)$ を施して計算すれば、次数 $d$ を超える項がなく、上の消滅が従う。ネーター性だけでは、この一様な消滅は保証されない。
具体的な自由分解：二変数の場合
$R=k[x,y]_{(x,y)}$ の剰余体 $k$ には、次の自由分解がある。
$$
0\longrightarrow R\xrightarrow{c\mapsto(-yc,xc)}R^2
\xrightarrow{(a,b)\mapsto xa+yb}R\longrightarrow k\longrightarrow0.
$$
合成は $x(-yc)+y(xc)=0$。左の写像は $R$ が整域なので単射である。$xa+yb=0$ とし、$R/(x)\cong k[y]_{(y)}$ で見ると $y\bar b=0$。従って $b=xc$ と書け、$x(a+yc)=0$ から $a=-yc$ となる。よって中央も完全で、右端の余核は $R/(x,y)=k$ である。
この分解に $-\otimes_R k$ を施すと二つの微分は0になり、
$$
\operatorname{Tor}_i^R(k,k)\cong
\begin{cases}
k&i=0,2,\\
k^2&i=1,\\
0&i>2
\end{cases}
$$
を得る。次数2で非零なので分解を長さ1以下にはできず、$\operatorname{pd}_R k=2$ と確認できる。
正則性から従う環の性質
次元 $d$ の正則局所環 $(R,\mathfrak m,k)$ の正則パラメータ系 $x_1,\ldots,x_d$ は正則列である。また $0\leq c\leq d$ に対して $R/(x_1,\ldots,x_c)$ は次元 $d-c$ の正則局所環となる。特に $R$ はCohen–Macaulayである。
さらに正則局所環は一意分解整域（UFD）であり、従って整閉整域である。またGorenstein環でもある。これらは追加の定理であり、Cohen–Macaulayの定義だけから導かれるわけではない。
一般の正則環は局所的に上記の性質をもつが、環全体が整域とは限らない。例えば $k\times k$ は二つの極大イデアルでの局所化がいずれも $k$ なので正則であるが、$(1,0)(0,1)=0$ である。「正則環は必ずUFD」と局所性を落として述べてはいけない。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：正則パラメータ系とCohen–Macaulay性（ Tag 00NN ）、正則局所環のUFD性（ Tag 0AG0 ）、正則環のGorenstein性（ Tag 0AWX ）。
保存される操作と、保存されない操作
- 局所化：正則環の局所化は正則環。素イデアルでの二重局所化を元の環の素局所化と同一視すれば、定義から従う。
- 極大イデアル進完備化：ネーター局所環 $R$ は、その完備化 $\widehat R$ が正則であることと同値。
- パラメータの一部による商：上の構造定理により正則性が保たれる。
- 任意の商：保たれない。正則環 $k[x]_{(x)}$ の商 $k[x]_{(x)}/(x^2)$ は、先に計算した双対数環である。$x^2$ は元の環では非零因子だが、極大イデアルの最小生成系の一部ではない。
完備化では剰余体と $\mathfrak m/\mathfrak m^2$、さらにKrull次元が保たれるので、定義の等式を両方向に移せる。例えば $k[x,y]_{(x,y)}$ の $(x,y)$-進完備化は、逆極限の定義から $k[[x,y]]$ と同型であり、次元2の正則局所環となる。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：極大イデアル進完備化による正則性の保存と反映（ Tag 07NU ）。
混同しやすい三つの点
一般の正則環 $R$ について、さらに $\dim R=d<\infty$ と仮定すると $\operatorname{gldim}R=d$ である。局所環の場合と異なり、一般のネーター環のKrull次元は無限になりうるため、「正則環なら有限大域次元」と無条件には言えない。
von Neumann正則性との違い。 可換環のvon Neumann正則性は、各 $a$ に対して $a=a^2b$ となる $b$ が存在する条件である。本記事の正則性と異なる。例えば $k[x]_{(x)}$ は本記事の意味で正則だが、$x=x^2b$ なら整域での約分により $1=xb$ となり、$x$ が極大イデアルに属することに反する。
基礎体上の滑らかさとの違い。 素数 $p$ に対して $k=\mathbb F_p(t)$ とし、$L=k[u]/(u^p-t)$ を考える。$k$ の $t$-進付値では $p$ 乗元の値は $p$ の倍数だが $t$ の値は1なので、$t\notin k^p$ である。従って $X^p-t$ は既約で、$L$ は体だから環として正則である。一方、二つ目の因子の $u$ を $v$ と書けば
$$
L\otimes_k L\cong L[v]/(v^p-u^p)\cong L[\delta]/(\delta^p),\qquad \delta=v-u.
$$
右辺の素イデアルは $(\delta)$ だけで、次元0である一方、$\delta\notin(\delta)^2$ だから埋込次元は1である。従ってこれは非正則で、$L$ は $k$ 上幾何学的に正則ではなく、滑らかでもない。有限型の体上のスキームでは滑らかさと幾何学的正則性が同値であり、この例は基礎体の違いを無視できないことを示す。
根拠となる一般定理（The Stacks Project）：有限次元の正則環に対する大域次元の定理（ Tag 065U ）、有限型の体上での幾何学的正則性と滑らかさの対応（ Tag 038X ）。
参考文献と証明の範囲
双対数環、尖点、二変数Koszul分解、積環、von Neumann正則性との相違、不完全体上の例は、本文中の計算で確認した。正則性の局所化、Auslander–Buchsbaum–Serreの判定、Auslander–Buchsbaum公式、正則パラメータ系、UFD性・Gorenstein性、完備化、滑らかさとの対応には、次の一般定理を用いる。
- The Stacks Project Authors, Commutative Algebra: Dimension, Tag 00KD 、 Regular rings and global dimension, Tag 065U 、 Regular local rings, Tag 00NN 。
- The Stacks Project Authors, More on Algebra: Auslander–Buchsbaum, Tag 090U 、 正則局所環のUFD性, Tag 0AG0 、 正則環のGorenstein性, Tag 0AWX 、 完備化による性質の保存, Tag 07NU 。
- The Stacks Project Authors, Varieties:
接空間, Tag 0B28
、
幾何学的正則性と滑らかさ, Tag 038X
。
これらの一般定理そのものを記事内で証明したとはせず、定義からの短い帰結と具体例の計算だけを本文で展開した。特に、局所環と一般の環、有限生成加群と任意の加群、有限Krull次元の有無、環の正則性と基礎体上の幾何学的正則性を区別して用いている。
関連項目
- 基礎：Noether環・ネーター環、局所環、Krull次元、射影分解。
- 近接するクラス：Cohen–Macaulay環、Gorenstein環。
- 別の性質：G環。環自体の正則性と、形式的ファイバーの幾何学的正則性を区別する。
